2012届高考数学一轮复习 6.3 正弦余弦定理教案 新课标.pdf

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1、3.3.正弦、余弦定理正弦、余弦定理一、知识点回顾一、知识点回顾1基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180，sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,CA BCA B=sin,sin=cos；22221111（2）面积公式：S=aha ,S=absinC=bcsinA=casinB2222a b cS=pr=p(p a)(p b)(p c)(其中 p=,r 为内切圆半径)2abc2正弦定理：2R外sin Asin BsinCcos利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsi

2、nAab 时有两解；a=bsinA 或 a=b 时有 解；absinA 时无解。b2 c2 a23余弦定理：a=b+c-2bccosA,cos A；2bc222利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。4熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力二、例题讨论：二、例题讨论：一）正弦定理的应用一）正弦定理的应用例 1、（1）在 ABC 中，已知 a=3,b=2,B=45，求 A,C 及边 c（2 2）在ABC）在ABC 中，中，

3、a=8a=8，B=60，C=75.求边，B=60，C=75.求边 b b 和和 c c；（3 3）在ABC在ABC 中，中，a a，b b，c c 分别是A,B,C分别是A,B,C 的对边长，的对边长，已知已知 a a，b b，c c 成等比数列，成等比数列，且且 a a-c-c=ac-bc ac-bc，求A，求A 及及的值的值.2 22 2bsin BcasinB3sin453解：由正弦定理得：sinA=,因为 B=4590且 ba,b22所以有两解 A=60或 A=120bsinC(1)当 A=60时,C=180-(A+B)=75，c=sin B2 sin75sin456 2,2bsinC

4、(2)当 A=120时,C=180-(A+B)=15，c=sin B(2)B=60,C=75,A=45.(2)B=60,C=75,A=45.由正弦定理a2 sin15sin456 22sin Abcsin Bsin C得b sin Bsin Ca 4 6,c a 4 3 4.sin Asin A222222（3 3）解法一：）解法一：a、b、c成等比数列，b=ac.又ac=acbc，b+ca=bc.b2 c2 a2bc1在ABC中，由余弦定理得 cosA=，A=60.2bc2bc2bsin A2在 ABC中，由 正 弦 定 理 得sinB=，b=ac，A=60，a3bsin Bb2sin60=

5、sin60=.2cac11解法二：解法二：在ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB.22b=ac，A=60，bcsinA=bsinB.二）余弦定理的应用二）余弦定理的应用223bsin B=sinA=.2ccos Bb.例 2、在ABC 中，a、b、c 分别是角 A，B，C 的对边，且cos C2ac（1）求角 B 的大小；（2）若 b=13，a+c=4，求ABC 的面积.三）三角形中的形状判断22例 3、在ABC 中，a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边，如果（a+b）sin（A-B）=22（a-b）sin（A+B），判断三角形的形状.方法一已知等式可化为22 a si

6、n（A-B）-sin（A+B）=b-sin（A+B）-sin(A-B)222a cos Asin B=2b cos Bsin A22由正弦定理可知上式可化为：sin Acos Asin B=sin Bcos Bsin Asin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0sin 2A=sin 2B,由 02A,2B2 得 2A=2B 或 2A=-2B,即 A=B 或 A=-B,ABC 为等腰或直角三角形.22方法二同方法一可得 2a cos Asin B=2b sin Acos B22222222由正、余弦定理,可得a(b+c-a)=b(a+c-b)22222222即(a-b

7、)(a+b-c)=0a=b 或 a+b=c ABC 为等腰或直角三角形.例 3、在三角形 ABC 中，已知tan（2）0 sin Asin B A B sinC，给出以下四个判断：（1）tan AcotB 1；2222222，（3）sin A cos B 1，（4）cos A cos B sin C其中正确的是；0解：由已知可得 C=90，易知（2）（4）正确；四）三角形的综合问题四）三角形的综合问题例 4、在ABC 中，a，b，c 分别是 A，B，C 的对边，且满足（2a-c）cos B=bcos C.(1)求角 B 的大小；(2)若 b=,a+c=4,求ABC 的面积.7三、课后作业：三、

8、课后作业：走向高考走向高考P86-87P86-871.1.在ABC在ABC 中，角中，角 A A、B B、C C 所对边长分别为所对边长分别为 a a、b b、c,c,c12 22 22 23求角求角,设设 a a、b b、c c 满足条件满足条件 b b+c+c-bc=a-bc=a 和和A Ab2和和 tan Btan B 的值的值.b2c2a21,解解由由 b2+c2-bc=a2,b2+c2-bc=a2,得得2bc21即cos A,又0 A,A.23c1sin C1又3,3,b2sin B2C A B 2 B,321sin(B)(3)sin B,32311整理得cos Bsin B sin

9、 B3sin B.22211cos B sin B,则tan B.222.在 三 角 形ABC中，a,b,c分 别 为 三 内 角A，B，C的 对 边，已 知2 2(sin2Asin2C)(a b)sin B，且三角形ABC 的外接圆半径为2，（1）求角C；（2）求三角形 ABC 面积 S 的最大值；解：由已知可得到：a c (a b)b，结合余弦定理可得cosC（2221，所以C；23）S 12absin 2 3sin Asin B 3cos(A B)cos(A B)3coscos(A B)233333cos(A B)，故当 A=B=时，S 有最大值3；223所以S 3.在三角形 ABC 中，a,b,c 分别为三内角 A，B，C 的对边，若 a,b,c 成等比数列，（1）求 B 的取值范围；（2）求y 1sin2B得取值范围；sin B cos(AC)a2 c2b2a2 c2 ac2ac ac1，所解：（1）由已知得：b=ac，所以cosB 2ac2ac2ac22以0 B 3；1sin2B(sin B cosB)2 sin B cosB 2sin(B)（2）y sin B cos(AC)sin B cosB4由0 B 3 y 2sin(B 4)(1,2