高中数学必修五第一章.pdf

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1、解三角形复习知识点解三角形复习知识点一、知识点总结一、知识点总结【正弦定理】【正弦定理】1正弦定理:abc 2R(R为三角形外接圆的半径).sin Asin BsinC2.正弦定理的一些变式：abc；,sin B,sin C 2R2R2Ra a b b c c 2 2R Riiia 2Rsin A,b 2RsinB,b 2RsinC；（4）sinsin A A sinsinB B sinsinC Ciabc sin AsinBsinC；iisin A 3两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解

2、）【余弦定理】【余弦定理】a2b2c22bccos A2221余弦定理：b a c 2accosBc2 b2a22bacosC2.推论：b2c2a2cos A 2bca2c2b2.cosB 2acb2a2c2cosC 2ab设a、b、c是C的角、C的对边，则：若a b c，则C 90；若a b c，则C 90；若a b c，则C 903.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.222222222【面积公式】【面积公式】已知三角形的三边为 a,b,c,1.S 1aha1absinC 1r(abc)（其中r为三角形内切圆半径）2222.2.

3、设p p 1 1(a a b b c c),S S 2 2p p(p p a a)()(p p b b)()(p p c c)【三角形中的常见结论】【三角形中的常见结论】（1）A A B B C C (2)sin(A B)sinC,cos(A B)cosC,tan(A B)tanC,sinsinA A B BC CA A B BC C coscos,coscos sinsin;sinsin2 2A A 2 2sinsin A A coscosA A,2 22 22 22 2（3）若A A B B C C a a b b c csinsin A A sinsinB B sinsinC C若sin

4、sin A A sinsinB B sinsinC Ca a b b c cA A B B C C（大边对大角，小边对小角）（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（5）三角形中最大角大于等于6060，最小角小于等于6060(6)锐角三角形锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形钝角三角形最大角是钝角最大角的余弦值为负值（7）ABCABC中，A,B,C 成等差数列的充要条件是B B 6060.(8)ABCABC为正三角形的充要条件是 A,B,C 成等差数列，且 a,b,c 成等比数列.二、题型汇总二、题型汇总题型题型

5、1 1【判定三角形形状】【判定三角形形状】判断三角形的类型（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.a2b2c2A是直角 ABC是直角三角形（2）在ABC中，由余弦定理可知:a2b2c2A是钝角 ABC是钝角三角形a2b2c2A是锐角ABC是锐角三角形（注意：A是锐角ABC是锐角三角形）(3)若sin2A sin2B，则 A=B 或A B 2.例 1.在 ABCABC中，c c 2 2b bcoscos A A，且(a a b b c c)()(a a b b c c)3 3abab，试判断 ABCABC形状.题型题型

6、 2 2【解三角形及求面积】【解三角形及求面积】一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形解三角形.例 2.在 ABCABC中，a a 1 1，b b 3 3，A A 30300 0，求的值例 3.在 ABCABC中，内角A A,B B,C C对边的边长分别是a a,b b,c c，已知c c 2 2，C C 3 3（）若 ABCABC的面积等于3 3，求a a,b b；（）若sinsinC C sinsin(B B A A)2 2sinsin2 2A A，求 ABCABC的面积题型题型 3 3【证明等式成立

7、】【证明等式成立】证明等式成立的方法：（1）左右，（2）右左，（3）左右互相推.例 4.已知 ABCABC中，角A A,B B,C C的对边分别为a a,b b,c c，求证：a a b bcoscosC C c ccoscosB B.题型题型 4 4【解三角形在实际中的应用】【解三角形在实际中的应用】仰角俯角方向角方位角视角例 5如图所示，货轮在海上以 40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为 140的方向航行，为了确定船位，船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110，航行半小时到达 C点观测灯塔 A 的方位角是 65，则货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的距离是多少？