八年级数学上册7.1为什么要证明拓展资源哥德巴赫猜想素材北师大版(2021-2022学年).pdf

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1、哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想两百多年前，彼得堡科学院院士哥德巴赫曾研究过“将一个数表示成几个素数的和”的问题,他取了很 多数做试验，想把它们分解成几个素数的和,结果得到一个断语:“总可将任何一个数分解成不超过三个素数之和.但是哥德巴赫不能证明这个问题，甚至 连如何证明的方法也没有,于是他写信给另一名彼得堡科学院院士、著名数学家欧拉，他在 1742 年 6 月日的信中写道：“我想冒险发表下列假定大于 5 的任何数都是三个素数的和.这就是后来举世闻名的哥德巴赫猜想.同年 6 月日,欧拉在给哥德巴赫的回信中说:“我认为每一个偶数都是两个素数之和，虽然我还不能证明它，但我确信这个论断是完全正确的”这两个数

2、学家的通信内容传播出来之后,人们就称这个猜想为哥德巴赫猜想或者哥德巴赫-欧拉猜想完整地说,哥德巴赫猜想是:大于 1 的任何数都是三个素数的和后来，人们把它归纳为：命题 A：每一个大于或者等于 6 的偶数,都可以表示为 两个奇素数的和;命题 B:每一个大于或者 等于 9 的奇数，都可以表示为三个奇素数的和.例如例如:50=9+31；=+13+；52=3+29;53+9+31.或 50=3+47=+3=13+7=1+3等1900 年，著名数学家希尔伯特在巴黎国际数学家会议上提出了国际数学要研究的个题目(后被称为希尔伯特问题）,其中哥德巴赫猜想命题 A 与另外两个有关问题一起，被概括成希尔伯特第 8

3、问题.这是著名的世界难题.112 年,第五届国际数学 家会议上，著名数论大师兰道发言说，有四个数论上的问题是当时的科学水平不能解决的，其中一个是哥德巴赫猜想,即使把它改为较弱的命题:不论是不超过 3 个，还是不超过 30 个,只要证明存在着这样的正数 C,而能使每一个大于或等于 2 的整数,都可以表示为不超过个素数之和”(称为命题 C）,也是当代数学 家力所不能及的.1921 年,著名数论大师哈代,在哥本哈根召开的国际数学会议上说，哥德巴赫猜想的困难程度，可以与任何没有解决的数学问题相比,是极其困难的，但 是他没有说是不可能的.事情出乎意料，哥 德巴赫猜想问题的解决出现了一些转机，坚不可摧的哥

4、德巴赫堡垒正在逐个被攻破.930 年,25 岁的苏联数学家列夫格里高维奇西涅日尔曼（951938），用他创造的“正密率法”证明了兰道认为当代数学家力所不能及的命题 C,还估算出这个数 C 不会超过 S,并算出 S80000.人们称 S 为西涅日尔曼常数这是哥德巴赫猜想的第一个重大突破,可惜这位天才数学家只活了3 岁1930 年以后,数学家兰道、罗曼诺夫、赫力邦、李奇等对西涅日尔曼方法作了最准确的分析，竞相缩小 S 的估值,到 137 年，得到 S67，又是一大进步.重要的是,不论一个数是多么大,都可将它分解成素数的和的问题已被证明了，如对于数83042000000000000000或者对于我们

5、已知的 9(这个数之大可以写出来编成 30 大卷的书),我们同样可以断定,它们可以表示成不超过7 个素数的和甚至休克斯提出的“空前的数”这种比 9 大得多的数，也能根据西涅日尔曼的证明，表示成不超过7 个素数的和的形状37 年，苏联科学院院士伊凡马特维奇维诺格拉多夫,应用英国数学家哈代与李脱伍特创造的“圆法”和他创造的“三角和法”证明了：对于充分大的奇数，西涅日尔曼常数不 超过 3或者说成:对于充分大的奇数,都可表示为三个奇数之和.99维诺格拉多夫基本上解决了命题 B、通常称为“三素数定理”.他的工作,相当于证明了西涅日尔曼常数4命题 B 基本上被解决了,然而到命题 A 的证明竟是如此困难,有

6、人从 6330000 中的任何偶数，发现都能表示成两个奇素数之和，但这仅是验证,人们追求的仍然是从数学上证明，每个大于或等于 6的偶数都可表示为两个奇素数之和，再多的有限数,即使大到无法想象的数 也无用,除非找到反例否定哥德巴赫猜想.人们在研究命题 A 的过程中，开始引进了“殆素数的概 念所谓“殆素数”就是素数因子（包括相同的和不同的)的个数不超过某一固定常数的自然数.我们知道,除 1 以外，任何一个正整数，一定能表示成若干素数的乘积，其中每一个素数,都叫做这个正整数的素因子.相同的素因子要重复计算,它有多少素因子是一个确定的数.例如，从 230 这六个数中,25=5有 2 个素因子，2623

7、有 2 个素因子,2=333有个素因子,23=27有 3 个素因子，9 是素数有 1 个素因子，3=35有 3 个 素因子.于是可说 2、6、2是素因子不超过 2 的殆素数，7、28、30 是素因子不超过 3 的殆素数用殆素数的新概念，可以提出命题 D 来接近命题 A命题 D：每一个充分大的偶数,都是素因子的个数不超过 m 与 n 的两个殆素数之和这个命题简化为“n”这样,哥德巴赫猜想的最后证明的方向就更明朗化了:如果能证明,凡是比某一个正整数大的任何偶教,都能表示成一个素数加上两个素数相乘，或者表示成一个素数加上一个素数,就算证明了“1+”.当然如果能证明“11”就基本上证明了命题 A，也就

8、基本解决了哥德巴赫猜想了.19年,挪威数学家布朗证明了“9+9”.1924 年,德国数学家拉代马哈证明了“7+”1932 年,英国数学家埃斯特曼证明了“+6”.93年，苏联数学家布赫雪托布证明了“55 140 年，苏联数学家布赫雪托布证明了“4+4”1938 年,中国数学家华罗庚证明了几乎全体偶数都能表示成两个素 数之和,即几乎所有偶数“1+1成立1956 年，中国数学家王元证明了“3+4”.95年,苏联数学家维诺格拉多夫证明了“+3”1957 年,中国数学家王元又证明了“2+3”.962 年,中国年轻数学家潘承桐证明了“15”,这是证明了相加的两个数中,有一个肯定是素数的成果，而另一个殆素数

9、的因子小到不超过 5 12 年,苏联数学家巴尔巴恩也证明了”1+1963 年，中国数学家王元、潘承桐及苏联数学家巴尔巴恩分别证明了“1+4”.1965 年,维诺格拉多夫、布赫雪托布证明了“+3”195 年，意大利数学家朋比尼也证明了“1+3166 年,中国数学家陈景润宣布证明了“2这是在经历了0 年的漫长的历程中所取得的全世界公认的最好的研究成果,可是由于没有发表详细的 证明,因此在国际上反响不大197年,陈景润在极其困难的条件下,继续奋战,发表了他的著名论文:大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和,公布了全部详细的论证.这一成就立即轰动了全世界,在数学界引起了强烈的反响.人们都称道中国年轻数学家陈景润的巨大贡献.英国数学家哈勃斯丹和西德数学家李希特合著的数论著作筛法已在印刷厂排印,当见到陈景润的论文后，立即增补了专章,并冠以“陈氏定理”,基本上全文转载了陈景润的论文.这使我国在哥德巴赫猜想研究上居于世界领先的地位.当然,从陈景润的“1”到“1+1”似乎只差最后的一步就可以摘取数学皇冠上的这颗明珠-哥德巴赫猜想的证明了，可这最后的冲刺有多少艰难险阻谁也难以预料,从96 年陈景润证明了“12到现在，多少数论学家、数学家努力改进证明方法,但至今仍无明显进展.