(完整版)《实变函数》第二章点集.pdf

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1、(完整版)实变函数第二章点集第二章第二章点集点集（总授课时数 8 学时)教学目的：教学目的：欧氏空间Rn上的测度与积分是本课程的主要研究对象。本节讨论欧氏空间上的若干拓扑概念。通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集，闭集和Borel集，Cantor 集等常见的集,为后面的学习打下基础。本章要点本章要点由Rn上的距离给出邻域，内点，聚点的定义,从而给出开集，闭集的定义.由开集生成一个-代数引入Borel 集.Cantor 集是一个重要的集,它有一些很特别的性质。应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用.充分利用几何图形的直观，可以帮助理解本节的内容。本章难点本章难点Borel集、Can

2、tor 集的性质。授课时数授课时数8学时-本章先介绍Rn中的距离、极限、邻域、区间及其体积等基本概念，然后定义了内点、聚点、外点、边界点、开集、闭集等特殊点和集,并讨论了开集与闭集的性质及其构造。最后介绍了聚点原理、有限覆盖定理.1 1 度量空间，度量空间，n维欧氏空间维欧氏空间教学目的教学目的1、深刻理解Rn中的距离、邻域、点列收敛等概念，弄清它们在刻划不同类型的点及点集中的作用。2、理解距离的性质、点到集合的距离、两集合之间的距离、集合的直径等概念,理解有界集、无界集、区间及区间的体积等概念.3、了解邻域的四条性质.本节要点本节要点度量空间的概念。本节难点本节难点度量空间的概念。授课时数授

3、课时数2学时-一、一、度量空间度量空间定义定义 1 1：设X为一非空集合,d:X X R为一映射，且满足第1页（共 11 页）(完整版)实变函数第二章点集（1）d(x,y)0,d(x,y)0 x y(正定性）（2）d(x,y)d(y,x)（对称性)（3)d(x,y)d(x,z)d(z,y)（三角不等式)则称(X,d)为度量空间。例例 1 1：（1）欧氏空间(R,d),其中d(x,y)n(xi1ni yi)21x y（2）离散空间(X,d)，其中d(x,y)0 x y（3）Ca,b空间（Ca,b表示闭区间a,b上实值连续函数全体），其中d(x,y)max|x(t)y(t)|atb二、二、邻域邻域

4、定义定义2 2：称集合P|d(P,P0)为P0的邻域，并记为U(P0,).P0称为邻域的中心,称为邻域的半径。在不需要特别指出是什么样的半径时，也简称为P0的邻域,并记为U(P0).不难看出：点列Pm收敛于P0的充分必要条件是对任意 0,存在N，当m N时有：PmU(P0).容易验证邻域具有下面的基本性质：1）PU(P);2）对于U1(P)和U2(P),如果存在PU1(P)U2(P)，则存在U3(P)U1(P)U2(P)3）对于QU(P)，存在U(Q)U(P);4）对于Q P,存在U(Q)和U(P)满足U(Q)U(P)定义定义3:3:两个非空的点集A,B间的距离定义为dA,BinfdP,QPA

5、,QB如果A,B中至少有一个是空集，则规定dA,B 0；若B X,则记第2页（共 11 页）(完整版)实变函数第二章点集dA,B dA,X显然，若A B ，则dA,B 0.定义定义4:4:一个非空的点集E的直径定义为：E sup dP,QP,QE当E 时，规定 0。显然，E 0 E至多只有一个元素。若E,则称E为有界集。定义定义5 5：称X1,X2,Xn|Xi Ai,i 1,2,n为集合Ai的直积，记为X1 X2 Xn或Aii1nn定义定义6 6：若I Ii，其中Ii ai,bi为直线上的区间，则称I为n维欧氏空间Rn中的区间；如果所i1有Ii都是开（闭、左开右闭、左闭右开）区间,则称I是开(

6、闭、左开右闭、左闭右开)区间。如果所有的Ii都是直线上的有界区间，则称I是Rn中的有界区间；如果至少有一个Ii是直线上的无界区间，则称I是Rn中的无界区间.注：注：R2中的有界区间即矩形,R3中的区间即长方体，因此Rn中的区间有时也称为“长方体”。显然,E为有界集的充要条件是存在有界区间I E或E为有界集的充要条件是存在有界邻域E0U(x0,)定义定义7 7：I I,I a,b，称I(b a)为区间I的“体积”，即I Ii。当然，这iiiinniini1i1i1里约定0 0 0,当a 0时，a a 。注：注：R1中的区间体积即区间的长度，R2中的区间体积即矩形面积长宽，R3中的区间体积即长方体

7、体积长宽高，因此规定Rn中的区间体积n个边长的乘积，既是合理的又是自然。2 2、聚点、内点、界点、聚点、内点、界点教学目的教学目的1、深刻理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的概念，弄清它们的区别与联系.2、理解并掌握开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概念，对一个已知的点集E，会求这些相关的点集。第3页（共 11 页）(完整版)实变函数第二章点集 3、了解 Bolzano-Weierstrass 定理.本节要点本节要点内点、外点、界点、聚点、孤立点及开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概念。本节难点本节难点对一个已知的点集E，求这些相关的点集。授课时数授课时数2学时-一、一、欧氏空间中各类点的定义

8、欧氏空间中各类点的定义（1）P0为E的内点：0,使得U(P0,)E，记为Eo（2)P0为E的外点:0,使得U(P0,)E ，E的外点的全体记为Ec.（3）P0为E的边界点：0,有U(P0,)E 且U(P0,)Ec，记为E(4）P0为E的聚点：0,有U(P0,)(E p0),E的聚点的全体称为E的导集，记为E（5）P0为E的孤立点：0,使得U(P0,)E p0（6）P0为E的接触点：0,有U(P0,)E 注：注：聚点、边界点不一定属于E，内点、孤立点一定属于E。由定义可知E EE的孤立点全体 E E E E例例 1 1：(1）令E Q，则E E E R，E 1 1 (2）令E 1,2 31,k1

9、,则对一切(k 1,2,3,)均为E的孤立点E 0k二、二、聚点的等价定义聚点的等价定义定理定理1 1 下面三个陈述是等价的：（1）P0 E；（2）对 0，U(P0,)P0E （3）E中有各项互异的点列P,2,3,kPk P0,k 1证明证明（1）（2)是显然的（2）（3）:因为UP0,1P0E ，取P1UP0,1P0E，则第4页（共 11 页），使Pk P0k (完整版)实变函数第二章点集1P EP P min d P,P,且.令，则UP1102E且1100,1中至少有一点P21P2 P0，P2 P min d P,P,。令,则UP13E且2200,2中至少有一点P3P,2。这样继续下去，便

10、得到点列Pk且满足要求.3 Pii 0,1P E。(3）（1）：0，存在自然数k0,当k k0时，有PkUP0,即UP0,E为无限集，故0三、三、开核、边界、导集之间的关系开核、边界、导集之间的关系定理定理2 2设AB，则A B，A0 B0，A B定理定理 3 3AB AB,A B A B证明：证明：（1）因为A AB，B AB，由定理 2 知,A AB，B AB从而AB AB。另一方面,任取PAB，若P AB，则P A且PB.于是1 0,使UP,P A ,12 0，使UP,PB，2取 min1,2，则UP,PAB UP,P A UP,P B 这说明PAB，这与PAB矛盾.所以P AB，即AB

11、 AB综合以上两个方面，即有AB AB。（2）A B A BA B A BA BA ABB A B。证毕定理定理 4 4(Bolzano-Weierstrass 定理）Rn中的有界点列必有收敛子列（证略）-第5页（共 11 页）(完整版)实变函数第二章点集作业作业：P49 2，3，4，5练习题1E是R与R上的全体有理点，在R与R中分别看E时，E,E,E,E各是有哪些点构成的。2 设AB,证明A B，A0 B0,A B121203 3、开集、闭集、完备集、开集、闭集、完备集教学目的教学目的1、掌握开集、闭集和完备集的概念、性质及相关定理（对偶性定理及运算方面的定理）.2、理解 Heine-Bor

12、el 有限覆盖定理.本节要点本节要点开集、闭集和完备集的概念、性质及相关定理.本节难点本节难点Heine-Borel 有限覆盖定理.授课时数授课时数2学时-一、开集、闭集的定义一、开集、闭集的定义若E0 E,则称E为开集(E中每个点都为内点)若E E，则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外）注：注：由于E E E EE的孤立点全体，故E E等价于E E说明：说明：要证E是开集,只要证E E(E E显然)要证E是闭集，只要证E E或E E（E E显然)例例 1 1：开区间(a,b)为开集证明：证明：任取x(a,b)取 minxa,xb,则U(x,)(a,b)从而x是(a,b)的内点，故(a,b)是

13、开集.例例 2 2：闭区间a,b为闭集.证明证明：任取xa,bc,取 minxa,xb,则U(x,)a,bc,从而a,b的接触点都在a,b内,从而a,b是闭集。注注:闭集为对极限运算封闭的点集.即:A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点.第6页（共 11 页）(完整版)实变函数第二章点集定理定理 1 1对任何E Rn,E是开集，E和E都是闭集.证明：证明：(1）E是开集.只要证E (E)任取xE，由内点的定义知 0,使得U(x,)E。任取yU(x,),取 d(x,y)，则U(y,)U(x,)E,从而y为E的内点，从而U(x,)E，所以x为E的内点，即x(E)，从而E (E)，即E 为

14、开集。(2）E是闭集。只要证E E任取xE，由聚点的定义知 0,有U(x,)(Ex),取xU(x,)(Ex)，有xE,（当 min d(x,x),d(x,x)时,有xU(x,)U(x,)，从而U(x,)(E x)，即x为E的聚点，从而E E。利用(E)(E E)E (E)E E E E可得E为闭集.注：注：E为含于E内的最大开集。二、开集与闭集的对偶性二、开集与闭集的对偶性a）(E)c(Ec)(Ec)(E)cb)若E为开集，则Ec为闭集;若E为闭集,则Ec为开集。证明：证明：设E为开集，即xE,0,使得U(x,)E，从而U(x,)Ec，从而x不是Ec的接触点，也即Ec的接触点一定在Ec内，从而

15、CE CE,即Ec为闭集.设E为闭集，即E E，任取xEc，假如x不是Ec的内点,则x的任一邻域内至少有一个属于E的点，从而x为E的接触点,由E为闭集可知x在E内，这与xEc矛盾，所以Ec中的点都为Ec的内点,即Ec为开集.三、开集的性质三、开集的性质1）空集，Rn为开集；2）任意多个开集之并仍为开集;3)有限个开集之交仍为开集。注：注：无限多个开集的交不一定为开集，如：En(0,1/n),第7页（共 11 页）(完整版)实变函数第二章点集Rn中只有空集和Rn既开又闭，存在大量既不开又不闭的集合，如：E 0,1)四、四、闭集的性质闭集的性质1)空集，Rn为闭集;2）任意多个闭集之交仍为闭集；3

16、）有限个闭集之并仍为闭集。注：注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En0,11/n说明：说明：不仅Rn中开集具有以上三性质，一般距离空间也有此性质，在拓扑空间中以上三性质则是描述开集概念的三公理。五、完备集五、完备集定义定义 1 1设E Rn,如果E E，称E是自密集。注注:（1）如果集合中的每个点都是这个集合的聚点，则这个集合是自密集。(2)没有孤立点的集合是自密集。定义定义 2 2设E Rn,如果E E,则称E为完备集或完全集。注：注：完备集是自密闭集，也就是没有孤立点的闭集。-作业作业：P49 6，8,11练习题练习题1、证明每个闭集必是可数个开集的交,每个开集必是可数个闭集的并。2

17、设f(x)是Rn上的实函数,证明：f(x)是连续函数的充分必要条件是对任意开集G R1,f1(G)是Rn的开集.3、设f(x)是直线上的实值连续函数，则对任意常数a，E x|f(x)a是开集，而E1x|f(x)a是闭集。4、设f(x)在E上有定义，称(x0)limsup|f(x)f(x)|:x,xO(x0,)E0为f(x)在x0E处的振幅，若f(x)在闭集E上定义,则对任意实数t，点集xE:(x)t为闭集.第8页（共 11 页）(完整版)实变函数第二章点集4 4直线上的开集、闭集及完备集的构造直线上的开集、闭集及完备集的构造教学目的教学目的介绍直线上的开集，闭集及完备集构造.本节要点本节要点直

18、线上开集构造定理尤为重要，由它演绎出闭集，完备集构造定理。本节难点本节难点直线上开集构造定理。授课时数授课时数2学时-本节所讨论的点集都是R1的子集一、直线上的开集、闭集的构造一、直线上的开集、闭集的构造定义定义设G是开集，若非空开区间(,)G，且,G，就称(,)是G的一个构成区间定理定理：直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的并。直线上的闭集或是全直线，或是从直线上挖去有限个或可数个互不相交的开区间所得之集。直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区间的公共端点；但并不意味无孤立点的闭集定为互不相交的闭区间之并。Rn中的开集一般不能表示成至多可数个互不相交

19、的开区间之并,但总可表示成至多可数个互不相交的半开半闭区间之并。二、二、R中有关紧性的两个结论中有关紧性的两个结论BolzanoBolzanoWeierstrassWeierstrass 定理：定理：若E是Rn中的一个有界的无限集，则E至少有一个聚点。点列a1,a2,a3,a1(a11,a12,a13,a14，,a1n）a2=（a21,a22,a23,a24，,a2n)a3=（a31,a32,a33,a34，,a3n）注注：对无限维空间不一定成立.Heine HeineBorelBorel 有限覆盖定理有限覆盖定理第9页（共 11 页）(完整版)实变函数第二章点集设F为有界闭集,若开集簇Ui:

20、i I覆盖F(即F Ui）,则Ui:i I中存在有限个开集iIU1,U2,Un,它同样覆盖F。注注：HeineBorel 有限覆盖定理的逆命题也成立.(3(3）可数覆盖定理）可数覆盖定理设F为Rn中一 集合，若开集簇Ui:i I覆盖F（即F Ui)，则Ui:i I中iI存在可数个开集U1,U2,Un，它同样覆盖F提示提示：利用空间中以有理点为中心，正有理数为半径的圆全体为可数集，开集中的点为内点，以及有理点全体在Rn中稠密和有理数全体是R的稠密集。三、直线上完备集的构造三、直线上完备集的构造如：如：CantorCantor 集集对0,1区间三等分，去掉中间一个开区间,然后对留下的两个闭区间三等

21、分，各自去掉中间一个开区间,此过程一直进行下去，最后留下的点即为 Cantor 集.定义：定义：令G I(in)n,j第n次去掉的开区间iI(1)iI(2)留下的闭区间12ni 1i 1,2Ii(1)Ii(2)i 1,2i 1,2,22I(in)i 1,2,2n1Ii(n)i 1,2,2n称P 0,1G 0,1Gc为 Cantor 集。Cantor Cantor 集的性质集的性质1）分割点一定在 Cantor 集中 Cantor 集P 0,1G 0,1Gc为闭集，G I(in)n,i2)P的“长度”为 0，去掉的区间长度和1n12n3n1132131注：注：第n次共去掉2n1个长为1/3n的开

22、区间3)P没有内点第10页（共 11 页）(完整版)实变函数第二章点集证明证明：对任意xP，x必含在“去掉手续进行到第n次”时留下的2n个长为1/3n的互不相交的某个闭区间中Ii(n).0,当31n时，有Ii(n)U(x,),但由 Cantor 集的作法知，我们要对继续三等分去掉中间一个开区间，从而U(x,)内至少有一点不属于P，所以x不可能是P的内点。4)P中的点全为聚点，从而没有孤立点。证明证明:对任意xP,只要证：0,有U(x,)(P x),由 Cantor 集的作法知n,13n而Ii(n)的两个端点定在P中，从而x为P的聚点,及某个i，使U(x,)Ii(n)，当然不为孤立点.5）P的势

23、为 (利用二进制，三进制证明）证明思路证明思路：把0,1区间中的点都写成三进制小数，则 Cantor 集的作法中去掉的点为小数位出现 1 的点的全体,从而 Cantor 集为小数位只是 0，2 的点的全体，作对应（三进制数）0.a1a2a3 0.a1a2a32 2 2（二进制数）说明说明：三等分的端点有必要特殊考虑，因为它有两种表示，如0。1000000=0。0222222（三进制小数)0.2000000=0.1222222注注：Cantor 集中除了分割点外，还有大量其他点。-作业作业：P50 12,13练习题练习题1 设E为 Cantor 集的余集的构成区间的中点所成之集，求E。2 证明用十进位小数表示0,1中的数时，其中用不着数字 6 的一切数成为完备集。3 证明如果闭集A不含任何开区间，则A必是疏朗集。4 疏朗集的余集是否一定为稠密集？第11页（共 11 页）