2021_2022学年高中数学第3章导数应用章末复习课学案北师大版选修2_2.pdf

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1、.第第 3 3 章章 导数应用导数应用x利用导数研究函数的单调性1【例 1】设函数f(x)x alnx(aR R)，讨论f(x)的单调性求出导函数根据a的取值情况对导数的表达式符号的影响进展分类讨论思路探究：解函数f(x)的定义域为(0，)ax2ax1f(x)12.xxx21令g(x)xax1，那么对于方程xax10，a4.(1)当2a2 时，0，f(x)0，只有当a2，x1 或a2，x1 时，等号成立，故函数f(x)在(0，)上单调递增(2)当a0，g(x)0 的两根都小于 0，g(x)在(0，)上单调递增，那么在(0，)上g(x)g(0)1，所以f(x)0，故函数f(x)在(0，)上单调递

2、增(3)当a2 时，0，g(x)0 的两根为x1222aa242，x2aa242.当 0 x0；当x1xx2时，f(x)x2时，f(xf(x)在(0，x1)，(x2，)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减综上，当a2 时，函数f(x)在(0，)上单调递增；aa24aa24当a2 时，函 数f(x)在0，上 单 调 递 增，在22aa24aa24，上单调递减22利用导数研究单调性的步骤利用导数研究函数的单调性是导数的主要应用之一，其步骤为：下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.(1)求函数的定义域，并求导；(2)研究导函数f(x)的符号，解不等式f(x)0 或f(x)0 时，令 3xa0，

3、得x当x当3a3a或x0；333a3ax时，f(x)0 时，f(x)在，3a3a3a3a，上为增函数，在，上为减函数.333332利用导数研究函数的极值与最值【例 2】函数f(x)xaxb的图像上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线 3xy0 平行(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值；f10，思路探究：(1)由f13，求出a，b即可(2)对t分 0t2 与 2t3 两种情况求最值解(1)因为f(x)3x2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f(1)32a，即 32a3，a3.又函数过(1,0)点，即2b0，b2所以a3，b2，f(x)

4、x3x2下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。322.322(2)由f(x)x3x2，得f(x)3x6x.由f(x)0，得x0 或x2当 0t2 时，在区间(0，t)上f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t3t2当 2t3 时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：32x0(0,2)单调递减20极小值2(2，t)单调递增tf(x)0f(x)2t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个f(t)f(0)t33t2t2(t3)0.所以f(x)maxf(0)2本例在(1)的结论下，关于x的方程

5、f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围解令g(x)f(x)cx3x2c，32g(x)3x26x3x(x2)在x1,2)上，g(x)0；在x(2,3上，g(xg(x)0 在1,3上恰有两个相异的实g10，根，那么g20，g30，解得2c0.利用导数求极值和最值的步骤导数是求函数极值与最值的最有力工具，求函数极值的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f(x)0 的根；(3)检验f(x)0 的根的两侧f(x)的符号假设左正右负，那么f(x)在此根处取得极大值；假设左负右正，那么f(x)在此根处取得极小值；否那么，此根不是f(x)的极值点对于求函数的最值问题

6、，只需直接将极值与区间端点函数值比拟即可2函数f(x)x12xm.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。3.(1)假设xR，求函数f(x)的极大值与极小值之差；(2)假设函数yf(x)有三个零点，求m的取值范围；(3)当x1,3时，f(x)的最小值为2，求f(x)的最大值解(1)f(x)3x12当f(x)0 时，x2 或x2当f(x)0 时，2x2当f(x)0 时，x2 或x2f(x)在(，2)，(2，)上单调递减，在(2,2)上单调递增f(x)极小值f(2)16m.2f(x)极大值f(2)16m.f(x)极大值f(x)极小值32fx极小值0，(2)由(1)知要使函数yf(x)有三个零点，必

7、须fx极大值0，16m0，即16m0，16m16.m的取值范围为(16,16)(3)当x1,3时，由(1)知f(x)在1,2)上单调递增，f(x)在2,3上单调递减，f(x)的最大值为f(2)又f(1)11m，f(3)m9，f(1)f(3)，在1,3上f(x)的最小值为f(1)11m，11m2，m9.当x1,3时，f(x)的最大值为f(2)(2)3122925.导数的实际应用【例 3】请你设计一个包装盒，如下图，ABCD是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影局部所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状包装盒，E，F

8、在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm)(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。32.面边长的比值思路探究：根据侧面积和体积公式建立侧面积和体积关于x的函数，利用配方法或导数法求出最值解设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.602x由得a 2x，h 2(30 x)，0 x0；当x(20,30)时，V0.所以当x20 时，V取得极大值，也是最大值2322h11此时 ，即包装盒的高与底面边长的比值为.a22利用导

9、数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的值应舍去(2)在实际问题中，由f(x)0 常常仅解到一个根，假设能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，那么这个根处的函数值就是所求的最大(小)值3统计说明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y13x3x8(0 x120)甲、乙两地相距100 千米，128 00080当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？100解当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x

10、)升，x依题意得h(x)1x33x81001x280015(0 x120)x1 28080 x4128 00033800 x80h(x)22(0 x120)，640 x640 x令h(x)0，得x80.因为x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数，下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.所以当x80 时，h(x)取得极小值h(80)1125(升)因为h(x)在(0,120上只有一个极小值，所以它是最小值答：汽车以 80 千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为1125 升.导数在最值中应用232【例 4】函数f(x)xaxbx在区间(2,1)内x1 时取极小值，x 时取极

11、3大值(1)求函数yf(x)在x2 时的对应点的切线方程；(2)求函数yf(x)在2,1上的最大值与最小值思路探究：先求出a，b的值，然后求出对应点(即切点)的坐标和切线斜率，即可得出(1)的结论，列出x变化时，f(x)及f(x)的变化情况，从而得出(2)的结论解(1)f(x)3x2axb.232又x1，x 分别在f(x)xaxbx上取得极小值、极大值，322所以1，为方程3x2axb0 的两个根322b2所以a1，(1).33331123于是a，b2，那么f(x)xx2x.222x2 时，f(2)2，即(2,2)在曲线上又切线斜率为kf(x)3xx2，2f(2)8，所求切线方程为y28(x2

12、)，即为 8xy140.(2)x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如表所示：xf(x)f(x)2(2，1)103极小值21，2323022极大值272，1131223那么f(x)在2,1上的最大值为 2，最小值为.2导数是求函数极值与最值的最有力工具，函数yfx的极值是其定义域内的一个局部概念，用fx0 的根，将fx的定义域分成假设干个小区间，并列成表格，结合每个小区间下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.内fx的正负号来判定fx在相应区间上的增减性来确定fx的极值.fx0 的根x不一定是函数的极值点.对于求函数的最值问题，只需将极值与区间端点函数值比拟即可.4设函数f(x)ae 解f(

13、x)ae xx1b(a0)求f(x)在0，)内的最小值aex1，令f(x)0，得xlna.aex当xlna时，f(x)0；当xlna时，f(x)0.当 0a0，所以f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增，从而f(x)在0，)内的最小值为f(lna)2b；当a1 时，lna0，所以f(x)在0，)上单调递增，从而f(x)在0，)内的1最小值为f(0)a b.a【例 5】函数f(x)axxlnx(aR R)导数的综合应用(1)假设函数f(x)在区间e，)上为增函数，求a的取值范围；(2)当a1 且kZ Z 时，不等式k(x1)f(x)在x(1，)上恒成立，求k的最大值思路探究

14、：(1)转化为f(x)0 恒成立，别离参数求解(2)别离参数中，转化为求函数最值解(1)f(x)alnx1，由题意知f(x)0 在e，)上恒成立，即 lnxa10 在e，)上恒成立，即a(lnx1)在e，)上恒成立，而(lnx1)max(ln e1)2，a2，即a的取值范围为2，)(2)当a1 时，f(x)xxlnx，x(1，)，原不等式可化为k即k1 恒成立x1xxlnxxlnx2，那么g(x).2x1x1令g(x)下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.令h(x)xlnx2(x1)，1x1那么h(x)1 0，xxh(x)在(1，)上单调递增h(3)1ln 30，存在x0(3,4)使h(x

15、0)0，即g(x0)0.即当 1xx0时，h(x)0，即g(x)x0时，h(x)0，即g(x)0.g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增由h(x0)x0lnx020，得 lnx0 x02，x01lnx0 x01x02g(x)ming(x0)x01x01x0(3,4)，kg(x)minx0且kZ，即kmax3.恒成立问题的处理策略恒成立问题是导数的常见题型，往往靠别离参数后，转化为用导数求函数的最值问题，在函数中，导数与不等式严密结合，要注意分类讨论和数形结合的思想5(2021全国卷)函数f(x)lnxx1.x1(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)

16、设x0是f(x)的一个零点，证明曲线ylnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线ye 的切线解(1)f(x)的定义域为(0,1)(1，)12因为f(x)0，所以f(x)在(0,1)，(1，)单调递增xx12e1e 1e 32因为f(e)10，f(e)2220，e1e 1e 1所以f(x)在(1，)有唯一零点x1，即f(x1)0.1又 0 1，22xx1x1111f lnx1f(x1)0，故f(x)在(0,1)有唯一零点.x11x1x1下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.综上，f(x)有且仅有两个零点11x(2)因为 elnx0，故点Blnx0，在曲线ye 上x0 x0由题设知f(x0)0，即 lnx0 x01，x01故直线AB的斜率1kx0lnx01lnx0 x0 x01.x01x0 x0 x01x0 x0 x01x0111x曲线ye 在点Blnx0，处切线的斜率是，曲线ylnx在点A(x0，lnx0)处切线1x的斜率也是，所以曲线ylnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线ye 的切线x0下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。