高二数学教案不等式期末复习讲义.pdf

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1、-不等式期末复习讲义不等式期末复习讲义一、一、知识点知识点1 1不等式性质不等式性质实数的运算性质与大小顺序之间的关系实数的运算性质与大小顺序之间的关系a ba 0a b a传递性:a b,b c可加性:a ba+c b+c可积性:a b,c 0 ；a b,c 0 b,c d a+c b+d乘法法则：a b 0,c d 0 乘方法则：a b 0,(nN)开方法则：a b 0,na nb(n N)2 2算术平均数与几何平均数定理：算术平均数与几何平均数定理：（1）如果 a、bR,那么 a2+b22（当且仅当时等号）a b（2）如果 a、bR,那么ab（当且仅当时等号）2推广：推广：22 aba

2、b如果如果a,b为实数，则为实数，则ab 222-重要结论重要结论1）如果积是定值 P，那么当 xy 时，和 xy 有最小值 2P；（2）如果和 xy 是定值 S，那么当 xy 时，和有最大值 S2/4。条件为“一正二定三相等”一正：各项都是正数二定：求和积定，求积和定三相等：等号能成立当等号不成立时，利用下列函数求最值。a函数 f(x)x(a 0)在(0,a x上递增，在a,)上递减。3 3证明不等式的常用方法：证明不等式的常用方法：比较法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法；当不等式的两边都是正数且它们的商能与 1 比较

3、大小，则选择作商比较法；碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。综合法：综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。分析法分析法：不等式两边的联系不够清楚，通过寻找不等式成立的充分条件，逐步将欲证的不等式转化，直到寻找到易证或已知成立的结论。a ma结论：已知 a、b、m都是正数，且 a b，则：b mb4 4不等式的解法不等式的解法（1）不等式的有关概念同解不等式：同解不等式：两个不等式如果解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。同解变形：同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做

4、同解变形。提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形去分母、去括号、移项、合并同类项（2 2）不等式不等式 b b 的解法的解法当 a0 时不等式的解集是；当 a0 时不等式的解集是；当 0 时 af(x)a 或 f(x)a；|f(x)|aaf(x)a(a0)f2(x)a2；|f(x)|0)f2(x)且且0b，则B、若 ab，则 1b，则 a3b3D、若 ab，则12、已知 a0.1b2B、2aC、a2D、2a3、当 0ab(1a)bB、(1)a(1)bC、(1a)b(1a)2D、(1a)a(1b)b4、若 330，则 a、b 的关系是（B）A、0aba1C、0ba1D、1bb0，则下列不

5、等式1b；(a+1)(b+1)；2 2 中成立的是（A）A、B、C、D、（二）比较大小（二）比较大小1、若 0 x()4、设 a01,比较 2 与(1)/2 的大小。5、比较ba与ab的大小。6、若a 1，比较M a 1 a与N a a1的大小。a b2a2 b27、设a、b是不相等的正数，A，G ab，H，Q21/a 1/b2试比较A、G、H、Q的大小。分析：要比较大小的式子较多，为避免盲目性，可先取特殊值估测各式大小关系，然后用比较法（作差）即可。（三）利用不等式性质判断（三）利用不等式性质判断 P P 是是 Q Q 的充分条件和必要条件的充分条件和必要条件-1、设 x、yR,判断下列各题

6、中，命题甲与命题乙的充分必要关系命题甲：x0 且 y0，命题乙：0 且0充要条件命题甲：x2 且 y2，命题乙：4 且4充分不必要条件2、已知四个命题，其中a、bR22222222a b 的充要条件是；a b 的充要条件是 ；a b 的充要条件是()与(ab)异号；22a 2c”的一个充分条件是（C）A、ac 或 bcB、ac 或 bcC、ac 且 bcD、ac 且 bc（四）范围问题（四）范围问题1、设 60a84,28b33,求：的范围。2、若二次函数(x)的图象过原点，且 1f(1)2,3f(1)3，求 f(2)的范围。（五）均值不等式变形问题（五）均值不等式变形问题1、当 a、bR 时

7、,下列不等式不正确的是（D）A、a222 B、(22)2C、(22)2a2/22/2D、1/2(a22)1/2(2)2、x、y(0)，则下列不等式中等号不成立的是（A）A、x 1x11(x)(y)4 2B、1xyx x1C、()(11)4D、(22)222223、已知 a001，则(121)(121)的最小值为（D）A、6B、7C、8D、94、已知 a000，1，求证：11195、已知 a0000,求证：（六）求函数最值（六）求函数最值1、若 x4,函数y x ad bcbc ad 4bdac1 1 的代换的代换1，当x _时，函数有最值是_。4 x5、大、62、设 x、yR,5，则 33y的

8、最小值是（）DA、10B、6 3C、4 6D、18 33、下列各式中最小值等于2 的是（）DA、B、x25x2 4C、D、22x4、已知实数 a、b、c、d 满足 75,求()2+()2的最小值。-5、已知 x00,21,求 11 的最小值。（七）实际问题（七）实际问题1、98（高考）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为 2 的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为，高度为，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b 的乘积成反比，现有制箱材料60m2，问当a、b 各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B 孔的面积忽略不计）。解一：设

9、流出的水中杂质的质量分数为y，A由题意，其中 k 为比例系数(k0)据题设 222260(a00)ab 30 a2 abB由 a00 可得 0a0)要求 y 的最小值，即要求的最大值。据题设 222260(a00)，即 230a 2b 2 2ab(当且仅当a 2b时等号成立）ab 2 2ab 30，解得5 2 ab 3 2即0 ab 18,由a 2b及ab a 2b 30解得a 6,b 3即 63 时，有最大值，从而 y 取最小值。综上所述，当 63m 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。2、某工厂有旧墙一面长14 米,现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126米2的厂房，工程

10、条件是：建1 米新墙的费用为a 元；修 1 米旧墙的费用为 4 元；拆去 1 米旧墙用所得材料建 1 米新墙的费用为 2 元.经过讨论有两种方案：利用旧墙的一段 x(x14)米为矩形厂房的一面边长；矩形厂房的一面长为x(x14).问如何利用旧墙，即 x 为多少米时，建墙费用最省？两种方案哪种方案最好？-解：设总费用为 y 元，利用旧墙的一面矩形边长为x 米，则另一边长为 126 米。若利用旧墙的一段 x 米(xx114，则 f(x2)f(x1)=x2+1262(x1+1261)=(x2x1)(11261x2)0f(x)126 在14，)上递增，f(x)f(14)14 时 72+2a(14+12

11、6/147)=35.5a综上所述，采用方案，即利用旧墙12 米为矩形的一面边长，建墙费用最省。（八）比较法证明不等式（八）比较法证明不等式1、已知 a、b、m、n,证明：变：已知 a、b,证明：a33a222、已知 a、b(x)=2x2+11,证明：对任意实数 p、q 恒有 af(p)f(q)f()（九）综合法证明不等式（九）综合法证明不等式1、已知 a、b、c 为不全相等的正数，求证：b c aa c ba b c 3abc2、已知 a、b、cR，且 1，求证：a2221/33、已知 a、b、c 为不全相等的正数，且 1,求证：a b c 111abc4、已知 a、b，1,求证：a 1/2

12、b 1/2 2（十）分析法证明不等式（十）分析法证明不等式1、已知 a、b、c 为不全相等的正数，求证：2、已知函数 f(x)(11)1、x2(0,1/2)，且 x1x2，求证：-f(x1)f(x2)x x2 f 1223、设实数满足2=0,0ac 求证：.1 a1b1c3、已知 abc,求证：5、已知 a、b、cR，证明：a22+3b()0，并指出等号何时成立。分析：整理成关于 a 的二次函数 f(a)2+(3b)3b2+322=(3b)4(3b2+32)=3(b2+22)0f(a)0226、已知：x 2+y +x+y+10，求证：1/337、在直角三角形中，角C 为直角，n2 且 nN，求

13、证：+8、设an12 23 34 n(n 1)(nN)n(n 1)(n 1)2求证：an对所有正整数n都成立。22（十二）解不等式（十二）解不等式123x 1x 3x 2a x2、解关于 x 的不等式：2 0 x x 21、解不等式：（十三）不等式应用（十三）不等式应用不等式的应用主要有三个方面：不等式的应用主要有三个方面：一是能转化为求解不等式（组）的有关问题（如求函数的定义域、讨论一元二次方程的根的分布等）；二是能转化为不等式证明的有关问题（如证明函数的单调性）；三是能转化为重要不等式的极端情形解决的最值问题。x2 x)的定义域是。1、已知 f(x)的定义域是（0,1，则函数y f(lg2

14、5，2)(1,422、已知不等式20 的解集是x(0),求不等式 0 的解集。-2x3、设f(x)(x0).求证：f(x)是减函数；求 f(x)的值域。x1 44、由于对某种商品实行征税，其售价比原价上涨，涨价后商品卖出量减少36x%，已100知税率为销售金额的 20%.为实现销售金额和扣除税款的余额y 不比原销售金额少，求上涨率的取值范围；x 为何值时，y 最大？（保留一位小数）解：设原价为 a，销售量为 b，则36x36x%)(1 20%)ab(1 x%)(1%)80%10010036xy ab,(1 x%)(1%)80%11001631整理得：36(x%)264(x%)25 0,0 x%

15、182y ab(1 x%)(25 x%)80%36ab(1 x%)(25 x%)91259y a(1 x%)b(1251 x%x%369ab12522当且仅当 125/9，即8/9.x88.9 时 y 最大。（十四）恒成立问题（十四）恒成立问题1、若不等式 af(n)，即 f(n)在 N 上是增函数，f(n)的最小 03(n 4)(n 2)(n 3)值是 f(1)又 f(1)=1/2+1/3+1/4=13/12故对一切正整数 n 使得 f(n)2a5 的充要条件是 13/122a5，a73/24故所求自然数 a 的最大值是 3。22、已知抛物线(x)2过点（1,0），问是否存在常数 a、b、c

16、，使得不等式 xf(x)(1)/2对于一切实数 x 都成立？2解：假设存在常数 a、b、c，使得 xf(x)(1)/2 对一切实数 x 恒成立，令 x1 有 1f(1)1，f(1)1，即 abc1抛物线过点（1,0）abc02解得：1/21/2a,f(x)2+1/2a222由 xf(x)(1)/2 得 2x2 12a1正整数 n 都成立，若存在，求出k 的最大值；若不存在，说明理由。解：令111f(n)，对任意的n Nn 1n 2-1/4,三、数学思想与方法三、数学思想与方法（一）分类讨论的思想：（一）分类讨论的思想：1、设 f(x)=13(x)=22，其中 x0 且 x1，试比较 f(x)与

17、 g(x)的大小。2、解关于 x 的不等式x a 0(x 1)(x 1)分析：当 a1 时，原不等式的解集为a 或1x1当1a时，原不等式的解集为1 或 ax1当 a1 时，原不等式的解集为1 或 1xa当 a1 时，原不等式的解集为1 当 a1 时，原不等式的解集为1 且 x1（二）数形结合的思想（二）数形结合的思想1、关于x 的方程 x2x(m1)0 只在1,1上有解，则实数a 的取值范围是（）A、5/4)B、(5/4,1)C、5/4，1D、(，12、设k、a 都是实数，关于x 的方程|2x1(xa)对于一切实数 k 都有解，求实数a 的取值范围。3、已知 0a1，0b1.求证：+222分

18、析观察待证式左端，它的每个根式都使我们想到中的等式a，激起我们构造平面图形利用几何方法证明这个不等式的大胆想法.-如图 27-3，作边长为 1 的正方形，分别在、上取，过E、G 分别作、的平行线，交、于 F、H，、交于 O 点.由题设条件及作图可知，、皆为直角三角形.再连结对角形，易知，（三）函数与方程的思想（三）函数与方程的思想1、函数 f(x)(x21)的值域为 R，求实数 a 的取值范围。1 2x3x 4xa2、已知f(x)lg，若f(x)在（，1有意义，求实数a 的取值范4围。3、设不等式22xm1 对于满足2 的一切实数 m 都成立，求 x 的取值范围。2分析：设 f(m)=(x 1

19、)m2x1，则对于满足2 的一切实数 m 都有 f(m)0f(2)0 且 f(2)04、已知 x、y、z（0,1），求证：x(1y)+y(1z)+z(1x)1证明：构造函数 f(x)=x(1y)+y(1z)+z(1x)1即 f(x)=(1yz)x+y(1z)+z1当 1yz=0,即 y+z=1 时，f(x)=y(1z)+z1=y+z 1=0当 1yz 0 时，f(x)为一次函数，又 x（0,1），由一次函数的单调性，只需证明 f(0)0,f(1)0y、z（0,1）-f(0)=y(1z)+z1=(y1)(z1)0 f(1)=(1yz)+y(1z)+z1=0对任意的 x（0,1）都有 f(x)0即

20、 x(1y)+y(1z)+z(1x)1（四）转化与化归思想（四）转化与化归思想1、关于 x 的方程 4(m3)20 有两个不等的实数根，求实数m 的取值范围。（五）换元的思想（五）换元的思想1、解不等式：2x 5 x 1变：关于 x 的不等式ax 5 x b的解集为5/2,2），求实数 a、b 的值。2、（六）（六）1 1 的代换的代换1、已知 a、b，1、yR,求证：22()22、已知 x、y 都是正数，a、b 都是正常数，且+=1，求证：2x y (a b)3、已知 x、y 都是正数，且 x+y=1,求证：(1+1)(1+1)94、已知 x、y,且 1+9=1，求 x+y 的最小值。5、若

21、 0 x10，b0，求+(1x)的最小值是。6、已知是正数，且 a+b=1，求证：(+)(+)分析：是正数，且 a+b=1(+)(+)=a2+2+2+b2=(a2+b2)(x2+y2)=(12)(x2+y2)=(x2+y22)=+(xy)2（七）特殊与一般的思想（七）特殊与一般的思想1、已知a、b、c R,函数 f(x)=2+c,g(x)=2+a,当 1 时，有(x)2。（1）求证：(1)|2；（2）求证：当 1 时，(x)|4.证：（1）当 1 时，(x)|2,(1)|2又(1)|(1)|(1)|22（2）f(x)=f(1)=(1)=a,f(0)=c f(1)(-1)-2f(0)/2 f(1

22、)(-1)/21 时(x)|2(1)|2(-1)|2(0)|22(x)-2f(0)+f(1)(-1)2+f(1)(-1)-2f(0)/2|2(x 1)f(0)+(1)f(1)/2+(1)f(-1)/2|2|(x 1)f(0)(1)f(1)/2(1)f(-1)/2|2|(1)/2(1)|(1)/2(-1)(1x)(0)|1+12=42小结：对于二次函数 f(x)(0)2(1)(1)2f(0)2(1)f(1)2、已知 a、b、c R,函数 f(x)=2+c,g(x)=+b,当1x1 时，有(x)1。（1）证明：1；（2）证明：当1x1 时，(x)|2；（3）设 a0，1x1 时，g(x)的最大值为

23、 2，求 f(x)的解析式。证明：1x1 时，有(x)|1,当 x=0 时，有 f(0)=c,即=(0)|1,故1。证明：欲证当1x1 时，有(x)|2,即证1x1 时，2g(x)2。对 a 分类讨论当 a0 时，g(x)在1,1上是增函数，g(x),=f(1)c(1)|+2,a=f(1)c(1)2，2g(x)2，即(x)|2。当 a0 时，g(x)在1,1上是减函数，g(x),=f(1)c(1)2，a=f(1)c(1)2,，2g(x)2，即(x)|2。综上所述，有(x)|2。a0，g(x)在1,1上是增函数，x1 时，g(x)取最大值 2，即2。f(1)f(0)2，1f(0)f(1)2121

24、，即 f(0)1，1x1 时，f(x)1=f(0)，x=0 为函数 f(x)图象的对称轴，b=0,故 a2，所以 f(x)2x21。2另解：f(x)=f(1)=(1)=a,f(0)=c f(1)(-1)-2f(0)/2 f(1)(-1)/21 时(x)|1(1)|1(-1)|1(0)|1(x)f(1)(-1)-2f(0)2+f(1)(-1)/2|-(1)f(1)/2+(1)f(-1)/2(0)|(1)f(1)/2(1)f(-1)/2(0)|(1)/2(1)|(1)/2(-1)(0)|(1)/2+(1)/2+1=23、是否存在满足下列条件的二次函数f(x)：当1 时，(x)|1；f(2)7。若存在，求出解析式；若不存在，说明理由。24、设f(x)(b、c 为常数)，定义域为1,1，设(x)|的最大值为 M，求证：M1/2；求出中当 M1/2 时，f(x)的表达式。-