高等数学下册期末考试试题及答案3.pdf

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1、0 0高高 等等 数数 学学A A(下下 册册)期期 末末 考考 试试 试试 题题【A卷】考试日期：2009 年院（系）别大题一小题得分班级学号二3三45姓名四五六成绩七12一、填空题：（本题共本题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分，满分 2020 分，分，把答案直接填在题中横线上把答案直接填在题中横线上）rrrrrrrrr1、已知向量a、b满足a b 0，a 2，b 2，则ab 3z2、设z xln(xy)，则2xy3、曲面x y z 9在点(1,2,4)处的切平面方程为224、设f(x)是周期为2的周期函数，它在,)上的表达式为f(x)x，则f(x)的傅里叶级数在x

2、3处收敛于，在x 处收敛于5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则(x y)ds L以下各题在答题纸上作答以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上并在每张答题纸写上：姓名姓名、学学号、班级号、班级二、解下列各题：（本题共本题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 7 7 分，满分分，满分 3535 分分）2222x 3y z 91、求曲线在点M0(1,1,2)处的切线及法平面方程222z 3x y2、求由曲面z 2x 2y及z 6 x y所围成的立体体积22223、判定级数(1)nlnn1n1是否收敛？如果是收敛的，是绝对收

3、敛还是条件收敛？nxz2z4、设z f(xy,)sin y，其中f具有二阶连续偏导数，求,yxxy5、计算曲面积分dS2222,x y z a其中是球面被平面z h(0 h a)截出的顶部z三、（本题满分（本题满分 9 9 分分）抛物面z x y被平面x y z 1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值22四、四、（本题满分本题满分 1010 分）分）计算曲线积分L(exsin y m)dx(excos y mx)dy，22其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周x y ax(a 0)五、（本题满分（本题满分 1010 分）分）xn求幂级数n的收敛域及和函

4、数n13 n六、（本题满分 10 分）计算曲面积分I 2x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy，22其中为曲面z 1 x y(z 0)的上侧七、（本题满分（本题满分 6 6 分）分）设f(x)为连续函数，f(0)a，F(t)222z f(x y z)dv，其中t是由曲面tz x2 y2与z t2 x2 y2所围成的闭区域，求limt0F(t)t3-备注：考试时间为 2 小时；考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。高等数学 A(下册)期末考试试题【A 卷】参考解答与评分标准2009 年 6 月一、填空题【每小题【每小题 4 4 分，共分，共 2020

5、 分】分】1、4；2、1；3、2x 4y z 14；4、3，0；5、2y2.二、试解下列各题【每小题每小题 7 7 分，共分，共 3535 分分】dzdy3y z 2xdy5xdz7xdxdx1、解：方程两边对x求导，得，从而，.dx4ydx4zydy zdz 3xdxdx【4 4】u r5 71该曲线在1,1,2处的切向量为T (1,)(8,10,7).【5 5】4 88故所求的切线方程为x 1y 1z 2.【6 6】8107法平面方程为8x110y17z2 0即8x 10y 7z 12.【7 7】z 2x22y222x y 2，该立体在xOy面上的投影区域为、解：22z 6 x yDxy:

6、x2 y2 2.【2 2】故所求的体积为V【7 7】11n、解：由limn un limnln(1)limln(1)1 0，知级数unnnnnnn1dvd2020d6222dz 220(632)d 6.发散【3 3】又|un111|ln(1)ln(1)|un1|,lim|un|limln(1)0.故所给级数收敛且条件nnnn1n收敛【7 7】、解：z11(f1 y f2)0 yf1f2，【3 3】xyy2zx11xx f12(2)2f2 f21 x f22(2)f1 y f11xyyyyy f1 xyf111x f f.【7 7】22322yy、解：的方程为z a2 x2 y2，在xOy面上的

7、投影区域为Dxy(x,y)|x2 y2 a2h2又故2a2h2ddSadxdy2 ad2200zDxya x ya22221 zx zy aa2 x2 y2，.【】1 2aln(a22)20a2h2 2alna.【7 7】h三、【9 9 分分】解：设M(x,y,z)为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为d【1 1】令L(x,y,z)x2 y2 z2 x2 y2 z2(z x2 y2)(x y z 1)，Lx 2x2x 0L 2y 2y 0y13则由，z 2m 3于是得到两个可能极值点Lz 2z 0，解得x y 2z x2 y2x y z 1M1(13 1313 13,2 3),M2(,2 3

8、).【7 7】2222|OM2|95 3,dmin|OM1|95 3.【9 9】又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得故dmax四、【1010 分分】解：记L与直线段OA所围成的闭区域为D，则由格林公式，得I2LOAxx(e sin y m)dx(e cosy mx)dy md D8ma2【5 5】而I1(exsin y m)dx(excosy mx)dy mdx ma【8 8】OA0a(exsin y m)dx(excos y mx)dy I2 I1 ma L8ma2.【1010】an1n3n1 lim R 3，收敛区间为(3,3)五、五、【10

9、10 分分】解：limnann13n13n【2 2】11又当x 3时，级数成为，发散；当x 3时，级数成为nn1n1nn，收敛【4 4】故该幂级数的收敛域为3,3【5 5】x 3），则xn令sxnn1n3（3xn11xn1111,(|x|3)【8 8】s(x)n()3n1331 x/33 xn13于是s(x)（3s(x)dx 0 xxdx ln3 x0 ln3ln3 x，03 xxx 3）.【1010】六、【1010 分分】解：取1为z 0(x2 y21)的下侧，记与1所围成的空间闭区域为，则由高斯公式，有I212x dydz 2y dzdx 3z3321dxdy 6x2 y2 zdv.【5 5】120 620dd012 zdz 2.【7 7】而I12x3dydz 2y3dzdx 3z21dxdy 3z21dxdy 311x2y21dxdy 3.【9 9】I I2 I1 23.【1010】2r2dr.【2 2】rcos f r七、【6 6 分分】解：Ftd4sind 0002tt4 22822.【4 4】r f rdr0 tt3 22 t2f(t2)Ft222lim f(t2)22a.lim故limt0t0t0t33t233【6 6】