高等数学下册期末考试试题及答案1.pdf

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1、高等数学高等数学(下册下册)期末考试试题期末考试试题考试日期：2012 年院（系）别大题小题得分班级学号姓名二3三四五成绩六七一1245一、填空题：（本题共本题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分，满分 2020 分，分，把答案直接填在题中横线上把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a、b满足a b 0，a 2，b 2，则ab 3z2、设z xln(xy)，则2xy3、曲面x y z 9在点(1,2,4)处的切平面方程为4、设f(x)是周期为2的周期函数，它在,)上的表达式为f(x)x，则f(x)的傅里叶级数在x 3处收敛于，在x 处收敛于5、设L为连接(1,0)与(0,1

2、)两点的直线段，则22(x y)ds L以下各题在答题纸上作答，以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：并在每张答题纸写上：姓名、姓名、学号、学号、班级班级二、解下列各题：（本题共本题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 7 7 分，满分分，满分 3535 分分）2222x 3y z 91、求曲线2在点M0(1,1,2)处的切线及法平面方程22z 3x y2、求由曲面z 2x 2y及z 6 x y所围成的立体体积22223、判定级数(1)nlnn1n1是否收敛如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛nz2zx,4、设z f(xy,)s

3、in y，其中f具有二阶连续偏导数，求xxyy5、计算曲面积分dS,其中是球面x2 y2 z2 a2被平面z h(0 h a)截出的顶部z三、（本题满分（本题满分 9 9 分分）抛物面z x y被平面x y z 1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值22四、四、（本题满分本题满分 1010 分）分）计算曲线积分L(exsin y m)dx(excos y mx)dy，22其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周x y ax(a 0)五、（本题满分（本题满分 1010 分）分）xn求幂级数n的收敛域及和函数3 nn1六、（本题满分 10 分）计算曲面积分I

4、 3322x dydz2y dzdx3(z 1)dxdy，22其中为曲面z 1 x y(z 0)的上侧七、（本题满分（本题满分 6 6 分）分）设f(x)为连续函数，f(0)a，F(t)22222，其中是由曲面z f(x y z)dvz x ytt与z t x y所围成的闭区域，求limt0222F(t)3t-备注：考试时间为 2 小时；考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。高等数学 A(下册)期末考试试题【A 卷】参考解答与评分标准2009 年 6 月一、填空题【每小题【每小题 4 4 分，共分，共 2020 分】分】1、4；2、二、试解下列各题【每小题

5、每小题 7 7 分，共分，共 3535 分分】1；3、2x 4y z 14；4、3，0；5、2.2ydzdy3y z 2xdy5xdz7xdxdx1、解：方程两边对x求导，得，从而，.【4 4】dx4ydx4zydy zdz 3xdxdx该曲线在1,1,2处的切向量为T (1,4,8)8(8,10,7).【5 5】x 1y 1z 2.【6 6】81075 71故所求的切线方程为法平面方程为8x110y17z20即8x 10y 7z 12.【7 7】z 2x22y22222x y 2、解：，该立体在面上的投影区域为xOyD:x y 2.xy22z 6 x y【2 2】故所求的体积为V dv d0

6、220d6222dz 220(632)d 6.【7 7】11n、解：由limn un limnln(1)limln(1)1 0，知级数un发散【3 3】nnnnnn1又|un111|ln(1)ln(1)|un1|,lim|un|limln(1)0.故所给级数收敛且条件收敛【7 7】nnnn1n、解：z11(f1 y f2)0 yf1f2，【3 3】xyy1x2zx11x f xyf f f.【7 7】f1 y f11x f12(2)2f2 f21x f22(2)11122322xyyyyyyy、解：的方程为z又221 zx zy aa2 x2 y2，在xOy面上的投影区域为Dxy(x,y)|x

7、2 y2 a2h2a2 x2 y2，.【】故dSadxdy ad22200zDxya x y2a2h2d 122 2a ln(a)22a 20a2h2a 2aln.【7 7】h三、【9 9 分分】解：设M(x,y,z)为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为d 令L(x,y,z)x y z(z x y)(x y z 1)，22222x2 y2 z2【1 1】Lx 2x2x 0L 2y 2y 0y13则由，z 2Lz 2z 0，解得x y 2z x2 y2x y z 13于是得到两个可能极值点M1(13 1313 13,2 3),M2(,2 3).【7 7】2222又由题意知，距离的最大值和最小

8、值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得故dmax|OM2|95 3,dmin|OM1|95 3.【9 9】四、【1010 分分】解：记L与直线段OA所围成的闭区域为D，则由格林公式，得I2而I1LOA(exsin y m)dx(excosy mx)dy md D8ma2【5 5】(e sin ym)dx(e cosymx)dy mdx ma【8 8】OA0 xxa(exsin y m)dx(excos y mx)dy I2 I1 ma L8ma2.【1010】an1n3n1 lim R 3，收敛区间为(3,3)【2 2】五、五、【1010 分分】解：limnann13n13n1

9、1又当x 3时，级数成为，发散；当x 3时，级数成为，收敛【4 4】nn1n1nn故该幂级数的收敛域为3,3【5 5】xn令sxn（3 x 3），则n1n3xn11xn1111,(|x|3)【8 8】s(x)n()3n1331 x/33 xn13于 是s(x)s(x)dx 0 xxdx ln3 x0 ln3ln3 x，（3 x 3）.03 xx【1010】22六、【1010 分分】解：取1为z 0(x y 1)的下侧，记与1所围成的空间闭区域为，则由高斯公式，有I212x3dydz 2y3dzdx 3z21dxdy 6x2 y2 zdv.【5 5】6而I120dd011202 zdz 2.【7 7】2x3dydz 2y3dzdx 3z21dxdy 3z21dxdy 311x2y21dxdy 3.【9 9】I I2 I1 23.【1010】七、【6 6 分分】解：Ft202r2dr.【2 2】d4sindrcos f r 00ttt32244 2sincosdr dr sindfrr dr0000t4 22822.【4 4】r f rdr0 tt3 22 t2f(t2)Ft222lim f(t2)22a.【6 6】lim故limt0t0t0t33t233