2012届高考数学压轴题跟踪训练9.pdf

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1、20122012 届高考数学压轴题跟踪训练届高考数学压轴题跟踪训练 9 91(本小题满分 14 分)已知动圆过定点p p,0，且与直线x 相切，其中p 0.22（I）求动圆圆心C的轨迹的方程；（II）设 A、B 是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当,变化且为定值(0)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.解：（I）如图，设M为动圆圆心，p,0为记为F，过点M作直线2x pp的垂线，垂足为N，由题意知：MF MN即动点M到定点F与定直线x 22的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F准线，所以轨迹方程为y 2px(P 0)；2p p,0为焦

2、点，x 为22（II）如图，设Ax1,y1,Bx2,y2，由题意得x1 x2（否则）且x1,x2 0所以2y12y2,x2直线AB的斜率存在，设其方程为y kxb，显然x1，将y kxb与2p2py2 2px(P 0)联 立 消 去x，得ky22py2pb 0由 韦 达 定 理 知y1 y22p2pb,y1 y2kk（1）当2时，即2时，tantan1所以y1y21,x1x2 y1y2 0，x1x22y12y22pb22 y y 0所以由知：所以b 2pk.因此直线AB的方程可表y y 4p 4p121224pk示为y kx2Pk，即k(x2P)y 0所以直线AB恒过定点2p,0（2）当2时，

3、由，得tan tan()=tan tan=1tantan2p2p2p(y1 y2)将式代入上式整理化简可得：，所以tanb 2pk，2tany1y24pb2pk此时，直线AB的方程可表示为y kx2p2p2pk即k(x2p)y tantan 0所以直线AB恒过定点2p,所以由（1）（2）知，当点2p,2ptan2时，直线AB恒过定点2p,0，当2时直线AB恒过定2ptan.2（2012 年衡水一模）（本小题满分 12 分）x2已知椭圆 C1的方程为 y21，双曲线 C2的左、右焦点分别为 C1的左、右顶点，而4C2的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点.（）求双曲线 C2的方程；（）若直线l:y

4、 kx 2与椭圆 C1及双曲线 C2都恒有两个不同的交点，且 l 与 C2的两个交点 A 和 B 满足OAOB 6（其中 O 为原点），求 k 的取值范围.22xy解：（）设双曲线 C2的方程为，则a2 41 3,再由a2b2 c2得b21.1a2b2x2故 C2的方程为 y21.3x2（II）将y kx 2代入 y21得(1 4k2)x28 2kx 4 0.4由直线 l 与椭圆 C1恒有两个不同的交点得1(8 2)2k216(1 4k2)16(4k21)0,即k21.4x2将y kx 2代入 y21得(13k2)x26 2kx 9 0.3由直线 l 与双曲线 C2恒有两个不同的交点A，B 得

5、213k 0,222 (6 2k)36(13k)36(1 k)0.21即k2且k21.3设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA xB由OAOB 6得xAxB yAyB 6,而6 2k9,x xAB13k213k2xAxB yAyB xAxB(kxA2)(kxB2)(k21)xAxB2k(xA xB)2(k21)96 2k2k 213k213k23k2 7.3k213k2 715k213于是2 6,即 0.解此不等式得3k 13k21k2131或k2.153由、得1113 k2或 k21.4315故 k 的取值范围为(1,3（本小题满分 12 分）数列an满足a11且an1(1133113

6、13)(,)(,)(,1)1532231511)a(n 1).n2nn n2（）用数学归纳法证明：an 2(n 2)；（）已 知 不 等 式ln(1 x)x对x 0成立,证明:an e2(n 1)，其 中 无 理 数e=2.71828.（）证明：（1）当 n=2 时，a2 2 2，不等式成立.（2）假设当n k(k 2)时不等式成立，即ak 2(k 2),那么ak1(111)akk 2.这就是说，当n k 1时不等式成立.k(k 1)2根据（1）、（2）可知：ak 2对所有n 2成立.（）证法一：由递推公式及（）的结论有an1(1两边取对数并利用已知不等式得lnan11111)a (1)an.

7、(n 1)nn2 n2nn2 n2n11 ln(12n)lnann n2 lnan1111故(n 1).lnalna.n1nn2nn(n 1)2n n2上式从 1 到n1求和可得lnanlna11111112n11223(n 1)n22211n1111111121()11n 2.1223n 1n2n212即lnan 2,故an e2（）证法二：由数学归纳法易证2 n(n 1)对n 2成立，故n(n 1).an1(11111)a (1a nnn(n 1)n(n 1)n2 n2n(n 2),则bn1(11)bnn(n 1)(n 2).令bn an1(n 2).取对数并利用已知不等式得lnbn1 l

8、n(11)lnbnn(n 1)lnbn1n(n 1)(n 2).1111223n(n 1)上式从 2 到 n 求和得lnbn1lnb21111111.223n 1n(n 2).因b2 a21 3.故lnbn11 ln3,bn1 e1ln3 3e故an1 3e 1 e2,n 2,又显然a1 e2,a2 e2,故an e2对一切n 1成立.4（本小题满分 12 分）已知数列an的各项都是正数,且满足:a01,an1（1）证明an an1 2,n N;（2）求数列an的通项公式 an.解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1当 n=1 时，a01,a11an,(4 an),n N.213a0(4 a0

9、),22a0 a1 2，命题正确.2假设 n=k 时有ak1 ak 2.则n k 1时,ak ak111ak1(4 ak1)ak(4 ak)221 2(ak1 ak)(ak1 ak)(ak1 ak)21(ak1 ak)(4 ak1 ak).2而ak1 ak 0.又ak14 ak1 ak 0,ak ak1 0.11ak(4 ak)4(ak 2)2 2.22n k 1时命题正确.由 1、2知，对一切 nN 时有an an1 2.方法二：用数学归纳法证明：1当 n=1 时，a01,a113a0(4 a0),0 a0 a1 2；22 2假设 n=k 时有ak1 ak 2成立，1x(4 x)，f(x)在0，2上单调递增，所以由假设2111有：f(ak1)f(ak)f(2),即ak1(4 ak1)ak(4 ak)2(4 2),222令f(x)也即当 n=k+1 时ak ak1 2成立，所以对一切n N,有ak ak1 2（2）下面来求数列的通项：an111an(4 an)(an 2)2 4,所以222(an1 2)(an 2)2121122112221122n12n令bn an 2,则bn bn(b)()b()bn,1n2n12222221n1n又 bn=1，所以bn()2 1,即an 2bn 2()2 122