2021_2022学年高中数学第2章解析几何初步11.1直线的倾斜角和斜率学案北师大版必修2.pdf

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1、.1 11 1直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率学 习 目 标核 心 素 养1.通过直线的倾斜角和斜率的概念培养数学1.理解直线的倾斜角和斜率的概念(重点)抽象素养2 掌握过两点的直线斜率的计算公式(重点)2通过学习过两点的直线的斜率公式的应用培养数学运算素养.1直线确实定及直线的倾斜角(1)直线确实定：在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：直线上的一个点和这条直线的方向(2)直线的倾斜角：定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，通常用表示范围：0180.思考 1：假设一条直线的倾斜角为

2、0时，此直线与x轴什么关系？提示：平行或重合2直线的斜率(1)直线的斜率：tan，90，直线倾斜角的正切值叫作直线的斜率，即k不存在，90.(2)经过两点的直线斜率的计算公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1x2)的直线的斜率公式为k(3)斜率与倾斜角的关系：图示y2y1.x2x1倾斜角(范围)斜率(范围)09090901800k0k0不存在k0下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.思考 2：所有直线都有斜率吗？假设直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？提示：不是假设直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为90.思考 3：在同一直线(与x轴不重合)上任意取不同的两点

3、的坐标计算的斜率都相等吗？提示：相等对于一条直线来说其斜率是一个定值，与所选择点的位置无关，所以取任意不同的两点的坐标计算同一条直线的斜率一定相等1假设直线l的倾斜角为 60，那么该直线的斜率为_3ktan 60 3.2经过两点A(3,2)，B(4,7)的直线的斜率是_5ky2y1725.x2x1433经过两点P(1，4)，Q(1，4)的直线的倾斜角是_0ktany2y1440，0.x2x111那么其倾斜角为()AC180或 90B180D90或 90直线的倾斜角【例1】一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向的夹角为(090)，D如图，当直线l向上方向的局部在y轴左侧时，倾斜角为 90

4、；当直线l向上方向的局部在y轴右侧时，倾斜角为 90.求直线的倾斜角的方法及两点注意：1方法：结合图形，构造含倾斜角的特殊三角形求解.2两点注意：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0，当直线与x轴垂直时，倾斜角为 90；注意直线倾斜角的取值范围是0180.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.1设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转 45后得直线l1，有以下四个选项：45；135；45；135，那么直线l1的倾斜角可能的取值是()ACBDB当45时，直线l绕点A顺时针旋转 45后得直线l1的倾斜角为45；当045时，直线l1的倾斜角为 180(45)135，应选 B.求

5、直线的斜率【例 2】(1)点A(4，5)，B(2，3)，那么直线AB的斜率kAB_；(2)过A(3,1)，B(m，2)的直线的斜率为 1，那么m的值为_思路探究利用直线的斜率公式求解352(1)1(2)0(1)kAB1.242(2)当m3 时，直线AB平行于y轴，斜率不存在213当m3 时，k1，解得m0.m3m31熟记斜率公式是解答此题的关键2求直线的斜率有两种思路：一是公式，二是定义当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在2直线l经过两点P1(2,1)和P2(m,2)(mR)(1)求直线l的斜率；(2

6、)假设直线l的倾斜角为 45，求m的值解(1)当m2 时，x1x22，直线l垂直x轴，故直线l的斜率不存在211当m2 时，直线l的斜率k.m2m2(2)45，ktan1，11，即m21，m3.m2斜率的应用下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.探究问题1假设三点A(2，3)，B(4,3)，C(5，k)在同一条直线上，求k的值提示：A，B，C在同一条直线上，kABkBC，33k3，解得k6.42542点A(1，3)，B(0，1)，C(4,7)，试判断这三点是否共线？1373提示：kAB2，kAC2，0141kABkAC.直线AB与AC重合，点A，B，C共线【例 3】坐标平面内三点A(1,1

7、)，B(1,1)，C(2，31)(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；(2)假设D为ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围思路探究(1)解题时可利用斜率公式求出斜率，再求倾斜角；(2)可采用数形结合法来解解(1)由斜率公式得kABkAC113110，kBC 3，11213113.213tan 00，AB的倾斜角为 0；tan 60 3，BC的倾斜角为 60；tan 303，AC的倾斜角为 30.3(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围是1将本例(2

8、)中条件改为“假设点D为BC边上的一动点，其它条件不变，试求直线AD斜率k的变化范围解依题意直线AD与BC始终有交点，所以kABkADkAC，所以 0kAD33，所以直线AD斜率的范围为0，.333，3.32将本例(2)中条件改为“假设点D为AC边上的一动点，其它条件不变，试求直线BD下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.斜率k的变化范围解依题意，直线BD始终与AC有交点，所以应有kBDkBC或kBDkAB，所以kBD 3或kBD0.所以直线BD斜率的变化范围为(，0(3，)1求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围2利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共

9、线kABkAC或kAB与kAC都不存在3.y2y1的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题x2x11求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围2求直线斜率时，一定要根据题目条件对斜率是否存在做出判断，以免漏解3当直线的倾斜角0，90)时，随着的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角(90，180)时，随着的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大1思考辨析(1)任何一条直线都有斜率()(2)斜率相等的两直线倾斜角相等()(3)直线的倾斜角越大，那么直线的斜率越大答案(1)(2)(3)2假设经过P(2，m)和

10、Q(m,4)的直线的斜率为 1，那么m等于()A1C1 或 3B4D1 或 4()4mA由题意，得kPQ1，解得m1.m23在平面直角坐标系中，直线AB的位置如下图，那么直线AB的倾斜角为_，斜率为_下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.303根据倾斜角定义可知直线AB的倾斜角为 30，33.33，ktan 304如图，四边形OABC为等腰梯形，其中上底长为1，下底长为高为 1，求梯形各边所在直线的倾斜角和斜率解如图，分别过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为D和E，1那么有OEEDDA1，CEBD1，所以C(1,1)，B(2,1)，A(3,0)，所以kOC 1，kOA1kBC0，所以OA，BC，CO三边所在直线的倾斜角分别为0，0，45.又OC与AB倾斜角互补，那么直线AB的倾斜角为 18045135，直线AB的斜率kABtan 1351.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。