全等三角形--动点问题.pdf

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1、全等三角形的动点问题全等三角形的动点问题教学重点难点利用熟悉的知识点解决陌生的问题思路：1.利用图形想到三角形全等 2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度 3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据 4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏 5.动点一般都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路 6.动点类问题一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论.【典型例题】【典型例题】例 1.如图 1，在ABC 中，ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF

2、解答下列问题：（1）如果 AB=AC，BAC=90，点D 在射线 BC 上运动时（与点 B 不重合），如图，线段CF，BD 之间的位置关系为_，数量关系为_请利用图 2 或图 3 予以证明（选择一个即可）1例 2.如图，在等腰 RtABC 中，ACB=90，AC=CB，AC=8，F 是 AB 边上的中点，点 D、E 分别在 AC、BC边上运动，且始终保持 AD=CE，连接 DE、DF、EF.（1）求证：ADFCEF.（2）试证明DFE 是等腰直角三角形.（3）在此运动变化的过程中，四边形 CDFE的面积是否保持不变试说明理由（4）求CDE 面积的最大值变式如图，在等腰 RtABC 中，C=90

3、，AC=8，F 是 AB 边上的中点，点D、E 分别在 AC、BC 边上运动，且保持AD=CE连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，下列结论：DFE 是等腰直角三角形；DE 长度的最小值为 4；四边形 CDFE 的面积保持不变；CDE 面积的最大值为 8其中正确的结论是（）A B C D例 3.正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有一公共点 A，点 GE 分别在线段 AD、AB 上（如图（1）所示），连接 DF、BF（1）求证：DF=BF（2）若将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转，连接 DG、BE（如图（2）所示），在旋转过程中，请猜想线段 DG、BE 始终有什么数量关系和位

4、置关系并证明你的猜想例 4.如图，已知ABC 中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点 D 为 AB 的中点.（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3cm/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动.1若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1 秒后，BPD 与CQP 是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP 全等（2）若点 Q 以中的速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在

5、ABC 的哪条边上相遇变式变式如图，在等边ABC 中，AB=9cm，点 P 从点 C 出发沿 CB 边向点 B 点以 2cm/s 的速度移动，点 Q 点从B 点出发沿 BA 边向 A 点以 5cm/s 速度移动P、Q 两点同时出发，它们移动的时间为t 秒钟（1）你能用 t 表示 BP 和 BQ 的长度吗请你表示出来（2）请问几秒钟后，PBQ 为等边三角形（3）若 P、Q 两点分别从 C、B 两点同时出发，并且都按顺时针方向沿ABC 三边运动，请问经过几秒钟后点 P 与点 Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇【拓展提高】【拓展提高】1.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1 所示放置，图 2 是

6、由它抽象出的几何图形，B，C，E 在同一条直线上，连结 DC1（1）请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DCBE2.如图，在RtABC 中，BAC=90，AC=2AB，点D 是 AC 的中点，将一块锐角为45的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D 重合，连结BE、EC试猜想线段BE 和 EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想3.已知 RtABC 中，AC=BC，C=90，D 为 AB 边的中点，EDF=90，EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC、CB（或它们的延长线）于E、F.当EDF 绕 D 点旋转到 DEAC

7、于 E 时（如图 1），易证SDEF SCEF1SABC2当EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，SDEF、SCEF、SABC又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明4.如图，AC 为正方形 ABCD 的一条对角线，点 E 为 DA 边延长线上的一点，连接 BE，在 BE 上取一点 F，使BF=BC，过点 B 做 BKBE 与 B，交 AC 于点 K，连接 CF，交 AB 于点 H，交 BK 于点 G.（1）求证：BH=BG；1（2）求证：BE=BG+AE.5.正方形四条边都相等，四个角都是90如图，

8、已知正方形ABCD 在直线 MN 的上方，BC 在直线 MN 上，点 E 是直线 MN 上一点，以 AE 为边在直线 MN 的上方作正方形 AEFG（1）如图 1，当点 E 在线段 BC 上（不与点 B、C 重合）时：判断ADG 与ABE 是否全等，并说明理由；过点 F 作 FHMN，垂足为点 H，观察并猜测线段 BE 与线段 CH 的数量关系，并说明理由；（2）如图 2，当点 E 在射线 CN 上（不与点 C 重合）时：判断ADG 与ABE 是否全等，不需说明理由；过点 F 作 FHMN，垂足为点 H，已知 GD=4，求CFH 的面积6.如图 1，若ABC 和ADE 为等边三角形，M、N 分

9、别为 EB、CD 的中点，易证：CD=BE，AMN 是等边三角形.（1）当把ADE 绕点 A 旋转到图 2 的位置时，CD=BE 是否依然成立若成立请证明，若不成立请说明理由；1（2）当ADE 绕点 A 旋转到图 3 位置时，AMN 是否还是等边三角形若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，ADE 与ABC 及AMN 的面积之比；若不是，请说明理由.7.在ABC 中，AB=AC，点 D 是直线 BC 上一点（不与 B、C 重合），以 AD 为一边在 AD 的右侧做ADE，使 AD=AE，DAE=BAC，连接 CE.（1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上，如果BAC=90，则BCE=_度；

10、（2）设BAC=，BCE=.1如图 2，当点 D 在线段 BC 上移动，则，之间有怎样的数量关系请说明理由；当点 D 在直线 BC 上移动，则，之间有怎样的数量关系请直接写出你的结论.8.思考与推理思考与推理如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=6cm，CB=CD，ABBC，CDAD，BCD=120.PCQ=60，两边分别交线段 AB、AD 于点 P、Q，把PBC 绕点 C 顺时针旋转 120得到MDC.请在图中找出一对全等的三角形并加以证明（PBC 与MDC 除外）.探究与应用探究与应用在上边的条件下，若PCQ 绕顶点 C 在BCD 内转动，两边始终与线段 AB、AD 相较于点 P、1Q

11、，试探究在转动过程中APQ 的周长是否变化，若不变，求它的周长；若变化，请说明理由.9.问题情境：如图 1，在直角三角形 ABC 中，BAC=90，ADBC 于点 D，可知：BAD=C（不需要证明）；特例探究：如图 2，MAN=90，射线 AE 在这个角的内部，点 B、C 在MAN 的边 AM、AN 上，且 AB=AC，CFAE于点 F，BDAE 于点 D证明：ABDCAF；归纳证明：如图 3，点 B，C 在MAN 的边 AM、AN 上，点 E，F 在MAN 内部的射线 AD 上，1、2分别是1ABE、CAF 的外角已知 AB=AC，1=2=BAC求证：ABECAF；拓展应用：如图4，在ABC

12、中，AB=AC，ABBC 点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，1=2=BAC 若ABC 的面积为 15，则ACF 与BDE 的面积之和为_.10.如图，已知ABC是等腰直角三角形，BAC=90，BC=2，AD 是 BC 边上的高作正方形DEFG，使点A、C 分别在 DG 和 DE 上，且 DE=BC，且连接 AE、BG（1）试猜想线段 BG 和 AE 的数量关系，请直接写出你得到的结论；（2）将正方形DEFG 绕点 D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0，或小于90），DG、DE 分别交AB、AC 于点 M 和 N（如图），则（1）中的结论是否仍然成立如果成立，请予以证明

13、；如果不成立，请说1明理由11.如下图，已知正方形ABCD 中，边长为 10 厘米，点 E 在 AB 边上，BE=6 厘米（1）如果点 P 在线段 BC 上以 4 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CD 上由 C 点向 D 点运动若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1 秒后，BPE 与CQP 是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPE 与CQP 全等（2）若点 Q 以中的运动速度从点C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿正方形 ABCD四边运动，求经过多长时间点P

14、 与点 Q 第一次在正方形 ABCD 边上的何处相遇12.（1）操作发现：如图，D 是等边ABC 边 BA 上一动点（点 D 与点 B 不重合），连接 DC，以 DC 为边在BC 上方作等边DCF，连接 AF你能发现线段 AF 与 BD 之间的数量关系吗并证明你发现的结论（2）类比猜想：如图，当动点D 运动至等边ABC 边 BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与 BD 在（1）中的结论是否仍然成立（3）深入探究：1如图，当动点 D 在等边ABC 边 BA 上运动时（点 D 与点 B 不重合）连接 DC，以 DC 为边在 BC 上方、下方分别作等边DCF 和等边DCF，连接 AF、BF，探究 AF、BF与 AB 有何数量关系并证明你探究的结论如图，当动点D 在等边三角形边 BA 的延长线上运动时，其他作法与图相同，中的结论是否成立若不成立，是否有新的结论并证明你得出的结论1