2015年高考理科数学试题与答案-全国卷2.pdf

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1、20152015 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷 2)2)理科数学绝密启用前20152015 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷 2)2)理科数学注意事项：1本试卷分第I 卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。2回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第 II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题5 5 分，在每小题给出的四个选

2、项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合 A=-2，-1,0，1,2，B=x|（X-1）（x+2）0,则 AB=（）（A）-1,0（B）0,1（C）-1,0,1（D）,0,，1，2（2）若 a 为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则 a=（）（A）-1（B）0（C）1（D）2（3）根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是()（A）逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著（B）2007 年我国治理二氧化硫排放显现（C）2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势（D）2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份

3、正相关（4）等比数列 an满足 a1=3，a1a3 a5=21，则a3a5a7()（A）21（B）42（C）63（D）84120152015 年普通高等学校招生全国统一2考试(全国卷 2)2)理科数学（5）设函数f(x)1 log2(2 x),x1,1,f(2)f(log212)()2x 1,x（A）3（B）6（C）9（D）12（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则体积与剩余部分体积的比值为截去部分（A）1（B）1（C）1（D）18765（7）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于 y 轴于 M、N 两点，则MN=（A）2（C）466（B）8（D）

4、10（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入 a,b 分别为 14,18，则输出的 a=A.0B.2C.4D.14（9）已知 A,B 是球 O 的球面上两点，AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为A 36B.64 C.144 D.256 10.如图，长方形 ABCD 的边 AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记 BOP=x 将动点P 到 A、B 两点距离之和表示为 x 的函数 f（x），则 f（x）的图像大致为（11）已知 A

5、，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点M 在 E 上，?ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E 的离心率为（A）5（B）2（C）3（D）2220152015 年普通高等学校招生全国统一3考试(全国卷 2)2)理科数学（12）设函数 f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f（-1）=0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的 x 的取值范围是A (,1)(0,1)B(1,0)(1,)C(,1)(1,0)D(0,1)(1,)二、填空题（13）设向量a，b不平行，向量ab与 a 2b平行，则实数_，xy1 0（14）若 x，y 满足约束条件x2 y 0,，则 zx y的最大

6、值为_ x2 y 20,（15）(a x)(1 x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a_（16）设Sn是数列an的前 n 项和，且 a11，an 1 Sn Sn 1，则 Sn_ 三解答题（17）?ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分 BAC，?ABD 是?ADC 面积的 2 倍。()求sinBsinC;()若AD=1，DC=2求BD和AC的长.2(18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：627381929585746453767886956697 7888827689B 地区：73

7、83625191465373648293486581745654766579（）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于 70 分 70 分到 89 分不低于 90 分满意度等级不满意满意非常满意记时间 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率320152015 年普通高等学校招生全国统一4考试(全国卷

8、 2)2)理科数学19（本小题满分 12 分）如图，长方体 ABCD A1B1 C1 D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点 E，F 分别在 A1 B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线 AF 与平面 所成的角的正弦值。20（本小题满分 12 分）已知椭圆 C：9 x2AB 的中点为 M。y2m2(m 0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段（1）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；（2）若 l 过点(m

9、,)3m，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由。21（本小题满分 12 分）设函数 f(x)emxx2mx。,0)单调递减，在 (0,)单调递增；f(x2)|e 1，求 m 的取值范围。（1）证明：f(x)在(（2）若对于任意 x1,x2 1,1，都有|f(x1)请考生在第 22 22、2323、24 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号22（本小题满分 10 分）A选修 4-1：几何证明选讲如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点，O 与ABC 的底边 BC 交GE于 M，N 两点，

10、与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB，AC 分别相切于 E，F（1）证明：EF BC；两点。FO（2）若 AG 等于 O 的半径，且 AE MN 23，求四边形 EBCFBMDNC 的面积。23（本小题满分 10 分）420152015 年普通高等学校招生全国统一5考试(全国卷 2)2)理科数学选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：xt cosyt sin（t 为参数，t 0），其中 0 cd；则abc d；（2）abcd 是|a b|cd|的充要条件。520152015 年普通高等学校招生全国统一1考试(全国卷 2)2)理科数学参考答案一选择题（1）A（2

11、）B（3）D（4）B（5）C（6）D（7）C（8）B（9）C（10）B（11）D（12）A二填空题（13）1（14）3（15）3（16）122n三解答题（17）解：（）S1ABD AB AD sinBADS2 ADC1 AC AD sinCAD2，因为 SSABDADCBADCAD，所以 AB 2AC由正弦定理可得sinBAC1sinCAB2（）因为 SABD :SADCBD:DC，所以 BD2在ABD和 ADC中，由余弦定理知AB2AD2BD22 AD BD cos ADB，AC2AD2DC22AD DC cosADC故 AB22AC23AD2BD22DC26由（）知AB2 AC，所以 AC

12、1（18）解：（）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值；满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散。A 地区用户120152015 年普通高等学校招生全国统一2考试(全国卷 2)2)理科数学（）记 CA1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；CA 2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；CB1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”；CB 2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”，则 CA1与 CB1独立，CA2与 CB 2独立，CB1与 CB 2互斥，CCB1CA1

13、CB2 CA2，P(C)P(CB1CA1CB2CA2)P(CB1CA1)P(CB 2CA2)P(CB1)P(CA1)P(CB2)P(CA2)由所给数据得 C16 4 10 8A1,CA2,CB1,CB 2发生的频率分别为,，故2020P(C16A1),P(CA2)4,P(CB1)102020,P(CB2)820P(C)1620410202080.48202020 20（19）解：（）交线围成的正方形EHGF如图：（）作 EMAB，垂足为 M，则AMA1E4,EMAA1 8因为 EHGF为正方形，所以EHEFBC 10于是 MHEH2EM26，所以AH10以 D 为坐标原点，DA的方向为x轴正方

14、向，建立如图所以的空间直角坐标系A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),FE(10,0,0),HE (0,6,8)设n (x,y,z)是平面 EHGF的法向量，则n FE0,10 x0,即n HE0,6 y8z 0,D xyz，则220152015 年普通高等学校招生全国统一3考试(全国卷 2)2)理科数学所以可取 n(0,4,3)又 AF(10,4,8)，故|cos n,AF|n AF|n|AF|4 515所以 AF 与平面EHGF所成角的正弦值为4 1515（20）解：（）设直线l:ykxb(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM

15、,yM)将 ykxb代入9x2y2m2得(k29)x22kbxb2m20，故kbxMx1x2 ,yMkxMb9b2k29k299k9于是直线 OM的斜率kOMyM，即 kOMxMk所以直线 OM的斜率与 l的斜率的乘积为定值（）四边形 OAPB能为平行四边形因为直线 l过点(m,m)，所以 l不过原点且与 C有两个交点的充要条件是 k0,k33由（）得 OM的方程为 y9xk设点 P的横坐标为xP22y9由kx,得 xP2k m，即 xPkm3 k299x2y2m2,9k281m将点(,m)的坐标代入 l的方程得 bm(3k)，因此 xMk(k 3)m333(k29)四变现 OAPB为平行四边

16、形当且仅当线段AB与线段 OP互相平分，即xP2 xM于是km3)m2k(k，解得k147,k2473 k293(k29)因为 ki0,ki3,i1,2，所以当 l的斜率为47或 47时，四边形OAPB为平行四边形（21）解：（）()(mx1)2fxm ex若 m0，则当 x(,0)时，mxmx10,()0；当时，ef xx (0,)e1 0f(x)0320152015 年普通高等学校招生全国统一4考试(全国卷 2)2)理科数学若 m0，则当 x(,0)时，emx1 0,f(x)0；当x(0,)时，emx 10，f(x)0所以，f(x)在(（）由（）知，对任意的,0)单调递减，在 (0,)单调

17、递增m,f(x)在-1，0单调递减，在0,1 单调递增，故f(x)在x0处取得最小值，所以对于任意 x1,x2 1,1,|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是f(1)f(0)e 1,f(1)f(0)e1,即emme1,emme1,设函数()t1，则tg te teg(t)e 1当 t0时，g(t)0；当 t0时，g(t)0，故 g(t)在(,0)单调递减，在 (0,)单调递增。又 g(1)0,g(1)e12e0，故当t 1,1时，g(t)0当 m 1,1时，g(m)0,g(m)0，即式成立；当 m1时，由 g(t)的单调性，g(m)0，即 emm e 1；当 m1时，g(m)0，即emm e

18、 1综上，m的取值范围是-1,1（22）解：（）由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以 AD是CAB的平分线又因为O分别与 AB，AC 相切于点 E，F，所以 AEAF，故 ADEF从而 EF/BC（）由（）知，AEAF，ADEF，故 AD是EF的垂直平分线.又EF为O的弦，所以 O在 AD上连结 OE,OM，则 OEAE由 AG等于O的半径得AO2OE，所以OAE30，因此ABC和AEF都是等边三角形因为 AE2 3，所以AO4,OE2420152015 年普通高等学校招生全国统一5考试(全国卷 2)2)理科数学因为 OMOE2,DM1 MN3，所以 OD1，于是 AD5,AB10323所以

19、四边形 EBCF的面积为1(10 3)231(23)2316 3232223（23）解：（）曲线 C2的直角坐标方程为x2y22 y0，曲线 C3的直角坐标方程为 x2y22 3x 0.x2y22 y0,x3,联立x0,22解得或2y0,y3.xy23x 02所以 C与 C交点的直角坐标为(0,0)和(3,3)2322（）曲线 C1的极坐标方程为(R,0)，其中0因此 A的极坐标为 (2sin,)，B的极坐标为(23cos ,)所以|AB|2sin2 3 cos|4|sin()|3当5时，|AB|取得最大值，最大值为 46（24）解：（）因为 (ab)2ab2 ab,(cd)2cd 2cd，由题设 abcd,abcd得(ab)2(cd)2因此abcd（）（）若|ab|cd|，则(ab)2(c d)2，即(ab)24ab(cd)24cd因为 abcd，所以 abcd由（）得abcd（）若abcd，则(ab)2(cd)2，即a b 2abcd2 cd因为 abcd，所以 abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(c d)2520152015 年普通高等学校招生全国统一6考试(全国卷 2)2)理科数学因此|ab|cd|综上，abcd是|ab|cd|的充要条件6