初中数学竞赛专题选讲-辅助圆(含答案).pdf

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1、=Word行业资料分享-可编辑版本-双击可删=初中数学竞赛专题选讲（初三初中数学竞赛专题选讲（初三.22.22）辅助圆辅助圆一、内容提要一、内容提要1.经过两个点可以画无数个圆；经过三个点作圆，必须是不在同一直线上的三个点，可以作一个圆，并且只能作一个圆.2.经过四点作圆(即四点共圆)有如下的判定定理：到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上(圆的定义).一组对角互补的四边形顶点在同一圆上.一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆.同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆.推论：同斜边的直角三角形顶点共圆(斜边就是圆的直径).3.画出辅助圆就可以应用圆的有关性质.常用的有：同弧所对的圆周角相等.圆内接

2、四边形对角互补，外角等于内对角.圆心角(圆周角)、弧、弦、弦心距的等量关系.圆中成比例线段定理：相交弦定理，切割线定理.4.证明 型如 ab+cd=m2常用切割线定理二、例题二、例题OA例 1.已知：点 O 是ABC 的外心，BE，CD 是高.求证：AODE证明：延长 AO 交ABC 的外接圆于 F，连接 BF.O 是ABC 的外心AF 是ABC 外接圆的直径，ABF=Rt.BE，CD 是高，BDC=CEB=Rt.B，C，E，D 四点共圆(同斜边的直角三角形顶点共圆)ADE=ECB=F.AGD=ABF=Rt，即 AODE.BDGECF例 2.正方形 ABCD 的中心为 O，面积为 1989cm

3、2，P 为正方形内的一点，且OPB=45，源-于-网-络-收-集=Word行业资料分享-可编辑版本-双击可删=PAPB=514，则 PB=_cm.解：OPB=OAB=45ABOP 四点共圆(同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆)APB=AOB=Rt.在 RtAPB 中，设 PA为 5x，则 PB 是 14x.(5x)2+(14x)2=1989.解得 x=3,14x.42.PB=42(cm).例 3.已知：平行四边形ABCD 中，CEAB 于 E，AFBC 于 F.求证：ABAE+CBCF=AC2.证明：作 BGAC 交 AC 于 G.CEAB，AFBC.A，F，B，G 和 B，E，C，G 分别共圆

4、.(对角互补的四边形顶点共圆)根据切割线定理，得ABAE=AGACCBCF=CGACABAE+CBCF=AC(AG+CG)=AC2.FABEDGCADPOCB例 4.已知：AD 是 RtABC 斜边的高，角平分线BE 交 AD 于 F.求证：AE2=AB2BEBF.AGEFBDC分析：根据同角的余角相等，可证AE=AF.由射影定理 AB2=BDBC.故只要证 AEAFBDBCBEBF创造应用切割线定理的条件，作ABC 的外接圆并延长 BE 交圆于 G，得F、D、C、G 四点共圆.BDBC=BFBG.右边=BFBG.BEBF=BF(BGBE)=BFEG源-于-网-络-收-集=Word行业资料分享-可编辑版本-双击可删=从而转为要证 AEAF=BFBG.即AEEGBFAF只要证AEGBFA(证明由同学自已完成)例 5 已知：从O 外一点 P 作O 的两条切线 PA，PB 切点 A 和 B，在 AB 上任取一点 C，经过点 C 作 OC 的垂线交 PA于 M，交 PB 于 N.求证：OM=ON.证明：连结 OA，OB.A，B 是切点 OAPA，OBPB.又OCMN.AA，M，C，O 和 B，N，O，C 分别共圆.(辅助圆可以不画)根据同弧所对的圆周角相等，得OAC=OMC，ONC=OBC.OA=OB，OAC=OBC.OMC=ONC，OM=ON.PMlJ OCBN源-于-网-络-收-集