古典概型中不同解法得到同样结论的一类问题.pdf

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1、古典概型中不同解法得到同样结论的一类问J一、问题的提出先来看这样一道题目：例一.将一副扑克牌的2,3,4共12张洗匀，从中一次随机抽取2张牌。试求抽出2张都为2的概率。现在给出如下的解法：解1：基本事件总数为66（殆）种，其中2张都是2的方法有6（&）种，故所求概率为仝=丄。66 11解2：基本事件总数为132（4）种，其中2张都是2的方法有12（盃）种，故所求概率为旦=丄。13211有些同行认为此题应该作“无序”考虑，因此第一种解法正确，而第二种解法虽然答案正确，但是过程错误。笔者的观点是，两种方法都对，不仅答案正确，过程也是正确的。二、问题的分析下而从古典概型的定义入手。苏教版必修3第3.

2、2节表述了古典概型的定义：（1）所有基木事件只有有限个；（2）每个基木事件的发生都是等可能的。我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型。上述两种解法中，基木事件显然有限，并且基木事件也是等可能1/4的，事实上结果正确也验证了其等可能性，因此笔者认为上述两种解法都符合古典概型的定义，那么答案和过程显然都是正确的。但是很多同行存在异议的地方在于，这个问题中基本事件只能是66个，不能是132个，那么我们就需要讨论下基本事件的定义。苏教版必修3第3.2节对于基本事件的表述如下：在1次试验中 可能出现的每一个基木结果称为基本事件。2004年版苏淳先生所著概率论给岀的基木事件定义如下：样本空间O

3、中的每一个元素都称为一个基木事件，也称为一个样本 点。从这些表述中，我们可以看出，基本事件的定义并没有限制了基 木事件的选取是唯一的，事实上1次试验可能出现的基木结果，因为 我们关注的不同，可以得到不一样的结论。在1999版杨振明先生所 著概率论给出了这样的例子：“抛掷两枚硬币观察其正反面出现 情况的样本空间可以是正，正,正，反,反，正,反，反,如果我们只关心硬币出现正面的个数，也可以定义样本空间为0,1,2。”也就是说基本事件的选取方式可以不唯一。且在一次抛掷两枚硬币的试验中，正，正,正，反,反，正,反，反的样本空间是按照“有序”考虑，那么如果仅仅为了 考虑一正一反这个事件的概率，不是应该按

4、照“无序”处理吗，显然 这里选取基木事件的理由是为了满足等可能这个条件，而并非满足“有序”“无序”。因此，在例一中，只要132个基木事件是等可能的，认为其错误 的并没有理论根据。两枚硬币的例子也同时解释了一次抽取并非是必 须作2/4“无序”抽取的理由，因为两枚硬币也是一次抛掷，而我们为了 使基木事件等可能，将其作了“有序”处理。下而可以再给出例一的另一种解法：解3：假定第一次取出的是2,那么下一次有11种取法，同理，第一次取3或4,均有11中取法，一共有33个基本事件，其中2张 都是2的方法有3种，故所求概率为=丄。3311依据刚才诉述，这个方法中的33个基本事件有限且等可能，显 然也是一个答

5、案和过程均正确的解法。那么下而的解法呢：解4：基本事件有如下6种，分别是2,2,2,3,2,4,3,3,3,4,4,4,其中抽到两张2包含一个基本事件，概率 为；。6这个解法中的基本事件选取是允许的，不过所选基本事件并不是等可能的，因此答案是错误的。事实上我们可以计算出上述6个基本事件的概率分布情况。三、问题的结论通过上而的论述，我们得到的结论是，基本事件的选取并没有特定的要求，只是在一些概率问题中，为了使用古典概型，我们通常选 取等可能的基本事件，“有序”“无序”在很多问题中并不是选取基本 事件的根据。当然也不能因为“有序”“无序”判断古典概型的正确 性。这与排列组合问题是不同的。通过这样的

6、论述，笔者也想在平时的教学中做出一些思考。3/4第一，数学作为一门处在公理化体系下的学科，其中很多问题应 该在定义，公理，定理的基础上思考研究，而不是盲目的用经验主义 处理，作为一名数学教师，也应该要有数学家的基木思维方式。第二，教学中，对于学生提出的问题，我们经常会做出这样的回 答你那样是错的，用老师教的方法。”在学生不满意这样的回答时,我们还会怪罪这个学生不听话，不按照老师要求去做。其实，如果我 们能从书本上的定义，定理，基本概念出发，给学生解释清楚来龙去 脉，让他心服口服，不仅仅能解决他的疑问，更是另一种形式的数学 教育，甚至说，这才是作为数学教师真正应该教会学生的东西。第三，作为数学教师，在一些数学问题上存在不一样的见解和看 法，合情合理，但是理性的讨论也是应该的，我希望这样的讨论在我 们平时的教学中多些。4/4