试题及其答案--弹性力学与有限元分析.pdf

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1、.如下图所示三角形薄板，按三结点三角形单元划分后，对于与局部编码 ijm 对应的整体编码，以下叙述正确的是（D）。I 单元的整体编码为 162 II 单元的整体编码为 42616IIIV45I II 单元的整体编码为 246 III 单元的整体编码为 2432 IV 单元的整体编码为 564A.一、填空题一、填空题B.C.D.3III1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。4、物体

2、受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是 L-1MT-2。5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。7、已知一点处的应力分量x100MPa，y50MPa，xy10 50MPa，则主应力1150MPa，20MPa，135 16。y0MPa，xy400MPa，8、已知一点处的应力分量，x200MPa，则主应力1512MPa，2-312 MPa，1-3757。9、已知一点处的应力分量，x2000MPa，y100

3、0MPa，xy400MPa，则主应力11052 MPa，2-2052 MPa，1-8232。10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部.分是由

4、于其他单元发生了形变而连带引起的。16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。19、在有限单元法中，单元的形函数 Ni在 i 结点 Ni=1；在其他结点 Ni=0

5、 及Ni=1。20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。1.边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式，它可以分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。2.体力是作用于物体体积内的力，以单位体积力来度量，体力分量的量纲为L-2MT-2；面力是作用于物体表面上力，以单位表面面积上的力度量，面力的量纲为L-1MT-2；体力和面力符号的规定为以沿坐标轴正向为正，属 外力；应力是作用于截面单位面积的力，属内力，应力的量纲为L-1MT-2，应力符号的规定为：正

6、面正向、负面负向为正，反之为负。3.小孔口应力集中现象中有两个特点：一是孔附近的应力高度集中，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是应力集中的局部性，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5 倍孔口尺寸的范围内。4.弹性力学中，正面是指外法向方向沿坐标轴正向的面，负面是指外法向方向沿坐标轴负向的面。5.利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含结构离散化、单元分析、整体分析三个主要步骤。1最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程，应力边界条件。2一组可能的应力分量应满足：平衡微分方程，相容方程（变形协调条件）。3等截面直杆扭转问题中，2等于杆截面

7、内的扭矩 M。4 平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数在边界上值的物理意义为边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩。5弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：Ddxdy M的物理意义是杆端截面上剪应力对转轴的矩ij,j Xi 0，ij1(ui,juj,i)。2二、判断题二、判断题（请在正确命题后的括号内打“”，在错误命题后的括号内打“”）.1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（）2、均匀性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（）3、连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。（）4、平面应力问题与平面应变问题的

8、物理方程是完全相同的。（）5、如果某一问题中，zzxzy0，只存在平面应力分量x，y，xy，且它们不沿 z方向变化，仅为 x，y 的函数，此问题是平面应力问题。（）6、如果某一问题中，zzxzy0，只存在平面应变分量x，y，xy，且它们不沿 z方向变化，仅为 x，y 的函数，此问题是平面应变问题。（）7、表示应力分量与面力分量之间关系的方程为平衡微分方程。（）8、表示位移分量与应力分量之间关系的方程为物理方程。（）9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（）10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（）11、按应力求解平面问题时常采用位移法和应力法。（）12、按应力

9、求解平面问题，最后可以归纳为求解一个应力函数。（）13、在有限单元法中，结点力是指单元对结点的作用力。（）14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。（）15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（）三、简答题三、简答题1、简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。在研究方法方面，材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都引

10、用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学推演，但是，得出的解答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。2、简述弹性力学的研究方法。答答：在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。即根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。此外，在弹性体的边界上还要建立边界条件。在给定面力的边界上，根据边界上微分体的平衡条件，建立应力边界条件；在给定约束的边界上，根据边界上的约束

11、条件建立位移边界条件。求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。.3、弹性力学中应力如何表示？正负如何规定？答答：弹性力学中正应力用表示，并加上一个下标字母，表明这个正应力的作用面与作用方向；切应力用表示，并加上两个下标字母，前一个字母表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表明作用方向沿着哪一个坐标轴。并规定作用在正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，作用在负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。4、简述平面应力问题与平面应变问题的区别。答答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于

12、板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。对应的应力分量只有x，y，xy。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化，对应的位移分量只有 u 和 v5、简述圣维南原理。如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。6、简述按应力求解平面问题时的逆解法。答答：所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数；并由应力分量与应力函数之间的关系求得应力分量；然后再根据应力

13、边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而可以得知所选取的应力函数可以解决的问题。7、以三节点三角形单元为例，简述有限单元法求解离散化结构的具体步骤。（1）取三角形单元的结点位移为基本未知量。（2）应用插值公式，由单元的结点位移求出单元的位移函数。（3）应用几何方程，由单元的位移函数求出单元的应变。（4）应用物理方程，由单元的应变求出单元的应力。（5）应用虚功方程，由单元的应力出单元的结点力。（6）应用虚功方程，将单元中的各种外力荷载向结点移置，求出单元的结点荷载。（7）列出各结点的平衡方程，组成整个结构的平衡方程组。8、为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应

14、满足哪些条件？答答：为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足下列条件：（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移；（2）位移模式必须能反映单元的常量应变；（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。9、在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的刚体位移？每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部.分是本单元的形变无关的，即刚体位移，它是由于其他单元发生了形变而连带引起的。甚至在弹性体的某些部位，例如在靠近悬臂梁的自由端处，单元的形变很小，单元的位移主要是由于其他单元发生形变而引起的刚体位移。因此，为了正确反映单元的位移形态，位移模式必须能反映该单元的刚体位移

15、。10、在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的常量应变？答答：每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。而且，当单元的尺寸较小时，单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的应变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。因此，为了正确反映单元的形变状态，位移模式必须能反映该单元的常量应变。11、在平面三结点三角形单元中，能否选取如下的位移模式并说明理由：（1）u(x,y)12x23y，v(x,y)45x6y2（2）u(x,y)1x22xy3y2，v(x,y)4x2

16、5xy6y2答答：（1）不能采用。因为位移模式没有反映全部的刚体位移和常量应变项；对坐标x，y不对等；在单元边界上的连续性条件也未能完全满足。（2）不能采用。因为，位移模式没有反映刚体位移和常量应变项；在单元边界上的连续性条件也不满足。1试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。2图示两楔形体，试分别

17、用直角坐标和极坐标写出其应力函数的分离变量形式。题二（2）图(x,y)ax2bxy cy2(x,y)ax3bx2y cxy2 dy3（a）（b）23(r,)r f()(r,)r f()3图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量 E、泊松比已知。试求薄板面积的改变量S。.题二（3）图设当各边界受均布压力 q 时，两力作用点的相对位移为l。由1(1)q得，Eq a2b2l a b(1)E22设板在力 P 作用下的面积改变为S，由功的互等定理有：qS Pl将l代入得：S 1P a2b2E显然，S与板的形状无关，仅与E、l 有关。4图示曲杆，在r b边界上作用有均

18、布拉应力 q，在自由端作用有水平集中力 P。试写出其边界条件（除固定端外）。题二（4）图（1）r（2）r（3）brb q,r 0,rrb 0；0barraradr Pcosdr Psinabardr Pcosa b25试简述拉甫（Love）位移函数法、伽辽金（Galerkin）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性Love、Galerkin 位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：（1）变求多个位移函数u(x,y),v(x,y),w(x,y)或ur(r,),u(r,)为求一些特殊函数，如调和函数、重调和函数。（2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。适用性：Love

19、位移函数法适用于求解轴对称的空间问题；.Galerkin 位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。1.1.（8 8 分）分）弹性力学中引用了哪五个基本假定？五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用弹性力学中引用了哪五个基本假定？五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？途？答：弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为：答：弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为：（答出标注的内容即可给满分）（答出标注的内容即可给满分）1）连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

20、2）完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系，复合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。3）均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反应这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E 和泊松比等）就不随位置坐标而变化。4）各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。5）小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程。2.

21、2.（8 8 分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特征？征？答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于 xy 平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量x,y,xy存在，且仅为 x,y 的函数。平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于 xy平面，外力沿 z 轴无变化，只有平面应变分量x,y,xy存在，且仅为 x

22、,y 的函数。3.3.（8 8 分）分）常体力情况下，常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数求解，求解，应力函数应力函数必必须满足哪些条件？须满足哪些条件？答：（1）相容方程：0（2）应 力 边 界 条 件（假 定 全 部 为 应 力 边 界 条 件，s s）：4lx myxs fxmylxys fy在s s上（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。1 1、材料各向同性的含义是什么？“各向同性”在弹性力学物理方程中的表现是什、材料各向同性的含义是什么？“各向同性”在弹性力学物理方程中的表现是什么？（么？（5 5 分）分）答：材料的各向

23、同性假定物体的物理性质在各个方向上均相同。因此，物体的弹性常数不随方向而变化。在弹性力学物理方程中，由于材料的各向同性，三个弹性常数，包括弹性模量 E，.切变模量 G 和泊松系数（泊松比）都不随方向而改变（在各个方向上相同）。2 2、位移法求解的条件是什么？怎样判断一组位移分量是否为某一问题的真实位移？、位移法求解的条件是什么？怎样判断一组位移分量是否为某一问题的真实位移？（5 5 分）分）答：按位移法求解时，u，v 必须满足求解域内的平衡微分方程，位移边界条件和应力边界条件。平衡微分方程、位移边界条件和（用位移表示的）应力边界条件既是求解的条件，也是校核 u，v 是否正确的条件。3 3、试述

24、弹性力学研究方法的特点，并比较材料力学、结构力学与弹性力学在研究、试述弹性力学研究方法的特点，并比较材料力学、结构力学与弹性力学在研究内容、方法等方面的异同。内容、方法等方面的异同。（1212 分）分）答：弹力研究方法：在区域V 内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立平衡微分方程、几何方程和物理方程；在边界s 上考虑受力或约束条件，并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。在研究内容方面：材料力学研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题；结构力学在材料力学基础上研究杆系结构（如 桁架、刚架等）；弹性力学研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄

25、壁结构等问题。在研究方法方面：理力考虑整体的平衡（只决定整体的V运动状态）；材力考虑有限体V的平衡，结果是近似的；弹力考虑微分体dV的平，结果比较精确。4444 4、常体力情况下，常体力情况下，用应力函数表示的相容方程形式为用应力函数表示的相容方程形式为4 2224 0，请问：请问：xx yy相容方程的作用是什么？两种解法中，哪一种解法不需要将相容方程作为基本方相容方程的作用是什么？两种解法中，哪一种解法不需要将相容方程作为基本方程？为什么？（程？为什么？（1313 分）分）答：（1）连续体的形变分量（和应力分量）不是相互独立的，它们之间必须满足相容方程，才能保证对应的位移分量存在，相容方程也

26、因此成为判断弹性力学问题解答正确与否的依据之一。（2）对于按位移求解（位移法）和按应力求解（应力法）两种方法，对弹性力学问题进行求解时位移法求解不需要将相容方程作为基本方程。.（3）（定义）按位移求解（位移法）是以位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和相应的边界条件，并由此解出应变分量，进而再求出形变分量和应力分量。四、分析计算题四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。（1）xAxBy，yCxDy，xyExFy；（2）xA(x2y2)，yB(x2y2)，xyCx

27、y；其中，A，B，C，D，E，F 为常数。解解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程xyx0 xy 22xy0；2；（2）在区域内的相容方程（3）在边界上的应力2xyyxy0 xylxmyxs f边界条件mylxys fxs；（4）对于多连体的位移单值条件。ys（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。（2）为了满足相容方程，其系数必须满足 A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足 A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。22、已知应力分量xQxy2C1x3，y3，x

28、yC2y3C3x2y，体力不计，Q 为2C2xy常数。试利用平衡微分方程求系数 C1，C2，C3。解解：将所给应力分量代入平衡微分方程xyx0yxyxy0 xy得.Qy23C1x23C2y2C3x203C xy2C xy023即3C1C3x2Q3C2y203C22C3xy0由 x，y 的任意性，得3C1C30Q3C203C 2C 032由此解得，C1QQQ，C2，C36233、已知应力分量xq，yq，xy0，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。解：将已知应力分量xq，yq，xy0，代入平衡微分方程xyxX0 xyyxyY0yx可知，已知应力分量xq，yq，xy0一般不满足平衡微分方程

29、，只有体力忽略不计时才满足。按应力求解平面应力问题的相容方程：2xy22(xy)2(yx)2(1)xyy2x将已知应力分量xq，yq，xy0代入上式，可知满足相容方程。按应力求解平面应变问题的相容方程：2222xy(xy)2(yx)2111xyyx将已知应力分量xq，yq，xy0代入上式，可知满足相容方程。4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。（1）xAxy，yBy3，xyCDy2；.（2）xAy2，yBx2y，xyCxy；（3）x0，y0，xyCxy；其中，A，B，C，D 为常数。解解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即222xyxy

30、y2x2xy将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：（1）相容。（2）2A2ByC（1 分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则x0，y0，xy0（1 分）。5、证明应力函数by2能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，b0）。h/2Oh/2l/2yl/2x解解：将应力函数by2代入相容方程44420 x4x2y2y4可知，所给应力函数by2能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为222x22b，y20，xy0 xxyy对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，

31、上下左右四个边上的面力分别为：h上边，y，l0，m1，fx(xy)h0，fy(y)h0；yy222h下边，y，l0，m1，fx(xy)h0，fy(y)h0；yy222.l左边，x，l1，m0，fx(x)l2b，fy(xy)l0；xx222l右边，x，l1，m0，fx(x)l2b，fy(xy)l0。xx222可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力 2b。因此，应力函数by2能解决矩形板在 x 方向受均布拉力（b0）和均布压力（bh）。（15 分）444解：（1）将代入相容方程4 2224 0，显然满足。因此，该函数可以作xx yy为应力函数。Oh/2h/2x（2）应力分量

32、的表达式：y26qx2y4qy33qyx233,3hyhh2q4y33yy2312hhxxy26qxh22 3 yxyh4考察边界条件：在主要边界 yh/2 上，应精确满足应力边界条件.xyyhyyh2q4y33yq4y33y31 qyyh 0h3h122h2hyh2yh226qx h22 3 y 0h4yh2在次要边界 x0 上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：.4qy33qyh/2xx0dy h/2h33hdy 0h/2h/2(奇函数)4qy33qyh/2xx0ydy h/2h33hydy 0h/2h/2h/2h/2xyx0dy 0在次要边界 xl 上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：6ql2y4qy33qyh/2xxldy h/2h3h33hdy 0h/2h/2(奇函数)6ql2y4qy33qyql ydy ydy h/2xxlh/2h3h33h2h/2h/26ql h22 dy y qlh/2xyxlh/2h34h/2h/2对于如图所示的矩形板和坐标系，结合边界上面力与应力的关系，当板内发生上述应力时，由主边界和次边界上的应力边界条件可知，左边、下边无面力；而上边界上受有向下的均布压力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶和铅直面力。所以能够解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均布荷载 q 的问题.