二项式定理-讲义.pdf

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1、二项式定理1二项式定理：0n1n1(a b)n Cna Cnab rnrrCnab nnCnb(n N)，2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式。r二项式系数:展开式中各项的系数Cn(r 0,1,2,n).项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式通项：展开式中的第r 1项Cnranrbr叫做二项式展开式的通项。用rnrrTr1 Cnab表示。3注意关键点：项数：展开式中总共有(n1)项。顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(ab)n与(ba)n是不同的。指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n.系数：

2、注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012rnCn,Cn,Cn,Cn,Cn.项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。4常用的结论：122x Cnx 令a 1,b x,(1 x)n Cn0CnrrCnx nnCnx(n N)122x Cnx 令a 1,b x,(1 x)n Cn0CnrrCnx nn(1)nCnx(n N)5性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即Cn0 Cnn，Cnk Cnk1 二 项 式 系 数 和：令a b 1,则 二 项 式 系 数 的 和 为012CnCnCnrCnnCn 2n，12Cn变形式CnrCnn Cn 2n1。奇数

3、项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a 1,b 1，则0123CnCnCnCnn(1)nCn(11)n 0，13从而得到：Cn0Cn2Cn4 Cn2r CnCn12r1Cn 2n 2n12奇数项的系数和与偶数项的系数和：0n01n12n22(a x)n Cna x Cnax Cnax 00n122n2(x a)n Cna x Cnaxn1Cna xn0nCna x a0a1x1a2x2nn0Cna x anxnanxn a2x2 a1x1 a0令x 1,则a0 a1 a2 a3令x 1,则a0a1 a2a3 得,a0 a2 a4 得,a1 a3 a5 an(a 1)n a

4、n(a 1)n(a 1)n(a 1)n an(奇数项的系数和)2(a 1)n(a 1)n an(偶数项的系数和)2二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C取得最大值。如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数Cn12nn2n,Cn12n同时取得最大值。系数的最大项：求(a bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别Ar1 ArA,A,A为12设第r 1项系数最大，应有，从而解出r来。n1，A Ar1r2题型一：二项式定理的逆用；123Cn6Cn62例：CnnCn6n1 .1236Cn62 Cn63解：(1 6)n Cn0Cn

5、n Cn6n与已知的有一些差距，123CnCn6Cn62nCn6n11012(CnCn6Cn626112n(Cn6Cn62Cn6n)611nCn6n1)(16)n1(7n1)661233Cn9Cn练：Cnn3n1Cn .1233Cn9Cn解：设Sn Cnn3n1Cn，则122333Sn Cn3Cn3 Cn3 nn012233Cn3 CnCn3Cn3 Cn3 nnCn3 1(13)n1(13)n14n1Sn33题型二：利用通项公式求xn的系数；132n求含有x3x)的展开式中倒数第3项的系数为45，x例：在二项式(4的项的系数解：由条件知Cnn2 45，即Cn2 45，n2n90 0，解得n 9

6、(舍去)或n 10，由Tr1 C(x)r101410r(x)C x23rr1010r2r43，由题意10r2r 3,解得r 6，4363x 210 x3,系数为210。则含有x3的项是第7项T61 C10练：求(x219)展开式中x9的系数2x解：Tr1 C9r(x2)9r(则r 31r11r182rr)C9x()rxr C9()rx183r，令183r 9,2x22故x9的系数为C93()3 1221。2题型三：利用通项公式求常数项；12 x例：求二项式(x2)10的展开式中的常数项解：Tr1 C(x)r102 10rr1r2055()C()x2，令20r 0，得r 8，所以222 x1rr

7、1045818T9C10()2256练：求二项式(2x 16)的展开式中的常数项2x解：Tr1 C6r(2x)6r(1)r(1rr6r1r62r，令62r 0，得r 3，)(1)rC62()x2x2所以T4(1)3C63 20练：若(x2)n的二项展开式中第5项为常数项，则n _.解：T5 Cn4(x2)n4()4 Cn4x2n12，令2n 12 0，得n 6.题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式(x 3x)9展开式中的有理项129r13r27r61x1x解：Tr1 C(x)(x)(1)C xr9rr9，令27 rZ,(0 r 9)得6r 3或r 9，所以当r 3时，当r

8、9时，27 r34x 84x4，4，T4(1)3C9627 r93x x3。3，T10(1)3C96题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；1x21x2例：若(x23)n展开式中偶数项系数和为256，求n.解：设(x23)n展开式中各项系数依次设为a0,a1,an,令x 1,则有a0 a1an 0,，令x 1,则有a0 a1 a2 a3 (1)nan 2n,将-得：2(a1 a3 a5)2n,a1 a3 a5 2n1,有题意得，2n1 256 28，n 9。151n)的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它xx2练：若(3的中间项。13Cn解：Cn0Cn2Cn4 Cn2r

9、Cn2r1Cn 2n1，2n11024，解得n 111x15)462x4，2x所以中间两个项分别为n 6,n 7，T51 Cn5(3)6(5T61 462x6115题型六：最大系数，最大项；例：已知(2x)n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少解：Cn4Cn6 2Cn5,n2 21n 98 0,解出n 7或n 14，当n 7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5T4的系数 C73()4231235,，2124134展开式中二项式系数最大的项T5的系数 C7()2 70,当n 14时，27177是T8，T8的系数 C14()2 34

10、32。2练：在(a b)2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即T2n21 Tn1，也就是第n1项。练：在(3)n的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少解：只有第5项的二项式最大，则1 5，即n 8,所以展开式中常数项为第七项等于C86()2 7练：写出在(a b)7的展开式中，系数最大的项系数最小的项解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有T4 C73a4b3的系数最小，434T5 C7a b系数最大。x21xn212练：若展开式前三项的二项式系数和等

11、于79，求(2x)n的展开式中系数最大的项12Cn 79,解出n 12,假设Tr1项最大，解：由Cn0Cn1211(2x)12()12(14x)1222rrr1r1Ar1 ArC124 C124rr，化简得到9.4 r 10.4，又0 r 12，r1r1A Ar1r2C124 C12411010104 x16896x10r 10，展开式中系数最大的项为T11,有T11()12C122练：在(1 2x)10的展开式中系数最大的项是多少r2rxr解：假设Tr1项最大，Tr1 C10rrr1r1Ar1 Ar2(11 r)rC102 C102，化简得到rr解得r1r1r 1 2(10 r)Ar1 Ar

12、2C102 C102,6.3 k 7.3，又0 r 10，r 7，展开式中系数最大的项为777T8 C102 x 15360 x7.题型七：含有三项变两项；例：求当(x23x 2)5的展开式中x的一次项的系数解法：(x23x 2)5(x2 2)3x5，Tr1 C5r(x2 2)5r(3x)r，当且仅当r 1时，Tr1的展开式中才有 x 的一次项，此时1144C42 3xTr1 T2 C5(x2 2)43x，所以x得一次项为C5144C42 3 240。它的系数为C5解法：05145051455(x23x 2)5(x 1)5(x 2)5(C5x C5x C5)(C5x C5x 2 C52)故展开

13、式中含x的项为C54xC5525C54x24 240 x，故展开式中x的系数为 240.12)3的常数项x练：求式子(x 解：(x 1162)3(x)，设第r 1项为常数项，则xxrTr1 C6(1)rx6r(1r62rr)(1)6C6x，得62r 0,r 3,x3T31(1)3C6 20.题型八：两个二项式相乘；例：求(12x)3(1 x)4展开式中x2的系数.mm(2x)m C32mxm,解：(1 2x)3的展开式的通项是C3nnnn(1 x)4的展开式的通项是Cn4(x)C41 x,其中m 0,1,2,3,n 0,1,2,3,4,令mn 2,则m 0且n 2,m 1且n 1,m 2且n

14、0,因此(12x)3(1 x)42110的展开式中x2的系数等于C3020C4(1)2C321C4(1)1C3222C4(1)0 6.1x练：求(13x)6(14)10展开式中的常数项.mn4m3n110m3nmn解：(1x)(14)展开式的通项为C6x C10 x4 C6C10 x12x36m 0,m 3,m 6,其中m 0,1,2,6,n 0,1,2,10,当且仅当4m 3n,即或或n 0,n 4,n 8,003468时得展开式中的常数项为 C6C10C6C10C6C10 4246.练：已知(1 x x2)(x1n)的展开式中没有常数项,nN*且2 n 8,则n _.3x解：(x1nrnr

15、3rrn4r)展开式的通项为C xx C x,通项分别与前面的三项相乘可得nn3xn4rn4r1n4r2Cr,Cr,Cr,展开式中不含常数项,2 n 8nxnxnxn 4r且n 4r 1且n 4r 2，即n 4,8且n 3,7且n 2,6,n 5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：在(x2)2006的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x 2时,S _.解：设(x2)2006=a0a1x1a2x2a3x3a2006x2006-(x2)2006=a0a1x1a2x2a3x3得2(a1xa3x3a5x5a2006x2006-a2005x2005)(x2)2006(x2)20061(

16、x2)2006展开式的奇次幂项之和为S(x)(x2)2006(x2)2006212当x 2时,S(2)(2 2)2006(2 2)2006 22320062 23008题型十：赋值法；例：设二项式(33x)n的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,若p s 272,则n等于多少1x解：若(33x)n a0 a1x a2x2 anxn，有P a0 a1 an，0nS Cn Cn 2n，1x令x 1得P 4n，又p s 272,即4n2n 272 (2n17)(2n16)0解得2n16或2n 17(舍去)，n 4.1 3 x 练：若则展开式的常数项的展开式中各项系数之和为64，xn为多

17、少1 n3 x 2 64，所以解：令x 1，则的展开式中各项系数之和为x3(3 x)3(n 6，则展开式的常数项为C6n13)540.x练：若(12x)2009 a0a1x1a2x2a3x3a2009x2009(xR),则aa1a222009的值为2009222解：令x,可得a012aa2009a1a2a1a222009 0,a0222200922222009在令x 0可得a01,因而aa1a222009 1.2222009练：若(x2)5 a5x5 a4x4 a3x3 a2x2a1x1a0,则a1a2a3a4a5 _.解：令x 0得a0 32,令x 1得a0a1a2a3a4a5 1,a1a2

18、a3a4a5 31.题型十一：整除性；例：证明：32n28n 9(n N*)能被 64 整除证：32n28n9 9n18n9 (81)n18n90n11nn12n1n1 CnCn1818 Cn18 Cn18 Cn18n 90n11nn12 CnCn1818 Cn18 8(n 1)18n 90n11nn12 CnCn1818 Cn18由于各项均能被 64 整除32n28n 9(n N*)能被64整除1.在(2x2)5的二项展开式中，x的系数为_1x2.(x22)(11)5的展开式的常数项是_2x3.(1 x)7的展开式中x2的系数是_814.x 的展开式中常数项为_2 x 5(x2)6的展开式中

19、x3的系数为_1x6.(a x)4的展开式中x3的系数等于 8，则实数a _7在(x)6的二项展开式中，常数项等于 .2x8.(2 x-16)的二项展开式中的常数项为_ .x9.(a x)5展开式中x2的系数为 10，则实数a的值为10.若(x)n的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展1x1开式中2的系数为 _ .x11.在(1 x x2)(1 x)5的展开式中，含x3的项的系数是_12.在(1x)2(13x)4的展开式中，x的系数等于_13.在(1 x)5(1 x)6(1 x)7的展开式中，x4的系数等于_14.(12x2)(1)8的展开式中常数项为_1x15.若x6 a0 a1(1 x)a2(1 x)2 a6(1 x)6，则a1a2a6_16设(x1)21 a0 a1x a2x2 a21x21，则a10 a11_.17.设(2x3)4 a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0 a2 a4)2(a1 a3)218.若对于任2意3实数4x，a3都有x4 a0a1x2a2x2a3x2a4x 2，则的 值为 .19.(1 x)(1 x)2(1 x)3(1 x)4(1 x)n a0 a1x a2x2a3x3anxn，且1a0 a1 an126，那么3 x 的展开式中的常数项为xn