第15讲立体几何中的有关证明.pdf

《第15讲立体几何中的有关证明.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第15讲立体几何中的有关证明.pdf（4页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、数学高考综合能力题选讲数学高考综合能力题选讲1515立体几何中的有关证明题型预测题型预测立体几何中的证明往往与计算结合在一起考查。三垂线定理及其逆定理是重点考查的内容。范例选讲范例选讲例例 1 1 已知斜三棱柱 ABC-ABC的底面C是直角三角形，C=90，侧棱与底面所成的角为（090），B在底面上的射影 D 落在 BC 上。（1）求证：AC面 BBCC。（2）当为何值时，ABBC，且使得D恰为 BC 的中点。讲解讲解：（1）BD面 ABC，AC面 ABC，BDAC，又 ACBC，BCBD=D，AC面 BBCC。（2）由三垂线定理知道：要使 ABBC，需且只需 AB在面 BBCCCDBABA内

2、的射影 BCBC。即四边形 BBCC 为菱形。此时，BC=BB。因为 BD面 ABC，所以，BBD就是侧棱 BB 与底面 ABC 所成的角。由 D 恰好落在 BC 上，且为 BC 的中点，所以，此时BBD=60。即当=60时，ABBC，且使得 D 恰为 BC 的中点。例例 2 2如图：已知四棱锥P ABCD中，P底面四边形为正方形，侧面 PDC 为正三角形，且平面 PDC底面 ABCD，E 为 PC 中点。（1）求证：平面 EDB平面 PBC；（2）求二面角B DE C的平面角的正切值。讲解讲解：（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过ADBCE另一个平面的一条垂线。首先观

3、察图中已有的直线，不难发现，由于侧面 PDC 为正三角形，所以，DE PC，那么我们自然想到：是否有DE 面PBC这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。面 PDC底面 ABCD，交线为 DC，DE 在平面 ABCD 内的射影就是 DC。在正方形 ABCD 中，DCCB，DECB。又PC BC C，PC,BC 面PBC，DE面PBC。又DE 面 EDB，平面 EDB平面 PBC。（2）由（1）的证明可知：DE面PBC。所以，BEC就是二面角B DE C的平面角。面 PDC底面 ABCD，交线为 DC，又平面 ABCD 内的直线 CB DC。CB面 PDC。又PC 面 PDC，CBPC。

4、在 RtECB中，tanBEC BC 2。CE点评点评：求二面角的平面角，实际上是找到棱的一个垂面，事实上，这个垂面同时垂直于二面角的两个半平面。例例 3 3 如图：在四棱锥S ABCD中，SA平 面ABCD，BAD ADC S2，ADAB AD 2a，CD a，E为SB的中点。E（1）求证：CE/平面SAD；（2）当点E到平面SCD的距离为多少时，平面SBC与平面SAD所成的二面角为45讲解讲解：题目中涉及到平面SBC与平面SADBC所成的二面角，所以，应作出这两个平面的交线（即二面角的棱）。另一方面，要证CE/平面SAD，应该设法证明 CE 平行于面SAD内的一条直线，充分利用中点（中位线

5、）的性质，不难发现，刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。（1）延长 BC、AD 交于点 F。在FAB中，BAD ADC S2，H所以，AB、CD 都与 AF 垂直，所以，CDCDFBAFAB 2a CD aESBEACBSBCEC 面SAD SF 面SADCE/SAD SA ABCDABCDSAAF SA ASAF BHASBCSF AHSADBHA BHA45 2aSA AFDFSA24a2a4 3SA a34a2ADDCSASACDSAADSA2SDCDSSCDSD2h1428ADSASA AD22E14D14aFB1C1A1D1dcC1B1ECABCD A1B1C1D1c、da、bA1Da c,b dhABB1A1ABCDAAEF/面ABCDV估 S中截面hDabCV hS上底面 4S中截面 S下底面V估V1997 年6FBB全国高考)如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F 分别是BB1,CD的中点.证明 ADD1F;.求 AE 与D1F所成的角;.证明面 AED面A1FD1;.设AA12,求三棱锥F A1ED1的体积VFA1ED1答案与提示：1.（1）arctanVFA1ED1=1。2h；（3）V估V。2.（2）90；（4）b d