初三旋转模型之正方形45°半角模型的13个结论.pdf

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1、正方形半角模型1313个结论特点：共顶点两个角存在一般系通过旋转变化构造全等三角形，实现边的转化如图，已知正方形点、F分别在BC、CD上,且Z4F=45O结论1：BE+DF=EF；（证明方法旋转全等和轴对称全等）A证明：延长至G,使BG=DF。先证明 LSADF=ABG(SAS),旋转全等推导岀 AG=AF,NGAE=NEAF=45。,在证明GAE=SFAE(SAS),轴对称全等即可证明 BE+DF=EF 1常见角：4545。-9090。6060-120-120D 结论2*E4平分MEF,FA平分ZDFE；证明：由结论1可知：SGAE=SFAE.所以 ZGEAZFEA,可证E4平分同理可证：阳

2、平分 ZDFE。结论3：SBE+MDFSgDF=SgEF证明：由结论1可知：AGAE=AM A4DF=AABG听以 SfMBE+SgQF=$结论4：CACF=2AB；证明：由结论1可知：BE+DF=EF，因为 Cg=CE+CF+EF,所以C=CE+CF+BE+DF=CD+CB=2AB1结论5 5：AH=AB（见图2 2）；证明：由结论1可知：SGAE=SFAE.所以 Sg=*因为GE=EF,D所以=oC结论6 6：BM2+DN2=MN2(见图3 3、4)4)；证明：如图4,作A0丄AN,AQ=AN,连接QB、QM.先证明 4DN三MBQ(SAS),推导出 ZABQ=ZADN=45.QB=DN在

3、证明 QAM a推到出 QM=MN,在RLQBM 中：BM2+QB2=QM29即 BM2+DN2=MN(SAS),结论7 7：BMESWMNSQFNSZMASBANSMFE；证明：通过倒角证明两个角相等，推导出相似。因为 ZMBE=ZNAM=45。,ZAMN=ZBME,所以MMEsdiMV o同理，英他结论都可以进行证明。2图3 3结论8：EF=证明：连接AC,.BE+DF=,CE=DN,CF=血“（见图5）；因为ZE4C+ZCAF=45.ZDAN+ZCAF=45,所以 ZEAC=ZDAN因为 ZACE=ZADN=45。，所以 MECMND9所以医=坐=竺=妊AN DN AD 因为 WMNsM

4、FE,所以=-=V2.AN MN所以 EF=迈MN.BE+DF=脚N、CE=近DN、SABMSACF,所以CF=M o结论9：AB=BNDM（见图3）；证明：因为 ADMAsBAN,所以 AB2=BNDM o所以DA _BNDM=AB3图图 5 5同理可证结论1010：久 N、E、B B四点共圆；AMAM、F、Q四点共圆；C.C.F、N、M.E E四点共圆;同理可证A、M、F、）四点共圆；又因为A、N、E、3四点共圆，ZABE=90,所以AE为圆的直径，所以ZANE=90。、所以 ZFNE=ZFCE=90,所以C、F、N、M、四点共圆。结论沁E、4WF4WF为等腰直角三角形;证明：因为4N、E、B四点共圆，ZABE=90。、所以庇为圆的直径，所以 ZANE=90。因为乙EAN=45,所以 MNE为等腰直角三角形；同理可证A4MF为等戯直角三角形。4结论1212：CECF=2BEDF*证明：因为 SBMEsZFN,所以腔.型BM DF由结论8可知 CE=迈DN、CF=近BM,所以 CECF=2BEDF 结论1313：当 BE=I)F时，SWE取得最大值;5