七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题09 因式分解及其运用.pdf

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1、专题专题 0909因式分解及其运用因式分解及其运用专题解读专题解读】因式分解是在整式运算的基础上的后续学习内容，因式分解的理论依据就是多项式乘法的“逆”变形。它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义.思维索引思维索引例例 1 1.已知下列等式：（1）32128，（2）523216，（3）725224，（1）根据以上式子的规律，写出第n 个式子，并用所学知识说明第n 个等式成立；（2）利用（1）中发现的规律计算：81624792800.例例 2.有若

2、干块长方形和正方形硬纸片如图所示，用若干块这样的硬纸片可以拼成个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个数学等式，例如图可以得到（ab）2a22abb2.小明拼成了如图的图形，请解答下列问题：（1）根据图中面积关系，写出图所表示的数学等式 .（2）小明同学打算用 x 张边长为 a 的正方形，y 张边长为 b 的正方形，z 张相邻两边长为分别为 a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（5a8b）（7a4b）长方形，那么他总共需要多少张纸片？（3）若小明拼成的图中的大长方形面积为310cm2，其中每块小长方形硬纸片的面积为22cm2，试求该大长方形的周长.aaaaab图bbb图

3、ababb图ab()素养提升素养提升1.下列各式从左到右的变形属于因式分解且分解正确的是（）A.(x1)(x1)x21B.2x2 y2(2x y)(2x y)C.a2 2a 1 a(a 2)1D.a2 4a 4 (a 2)22.已知x2kx15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k 的取值有（）A.4 个B.5 个C.6 个D.7 个3.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册里，有这样一条信息：ab，xy，xy，ab，x2y2，a2b2分别对应下列六个字：苏、爱、我、江、游、美，现将a2(x2 y2)b2(x2 y2)因式分解结果呈现的密码信息可能是（）A.我爱美B.江苏游C.我爱江

4、苏D.美我江苏4.现有一列式子：552452；5552 4452；5555244452；，则第个式子的计算结果用科学计数法可表示为（）A.1.11111111016B.1.11111111017C.1.11111111027D.1.111111110565.设 N23x92y 为完全平方数，且不超过 2392，则满足上述条件的一切正数对（x，y）共有（）A.13 对B.27 对C.32 对D.36 对6.若 x25xb(x2)(xa)，则 ab 的值是 .7.已知关于 x 的多项式 2x211xm 分解因式后有一个因式是 x3，根据这个条件，则 m 的值是 .8.已知 x2y24x6y130，

5、则 x26xy9y2的值是 .9.分 解 因 式1 x x(1 x)x(1 x)2 x(1 x)3，并 根 据 你 发 现 的 规 律，直 接 写 出 多 项 式1 x x(1 x)x(1 x)2 x(1 x)n1（n2 且 n 为正整数）分解因式的结果是 .10.设 ykx，是否存在实数k，使得代数式(x2 y2)(4x2 y2)3x2(4x2 y2)能化简为x4?若能，则满足条件的 k2的值是 .11.将下列多项式因式分解：（1）3an215an145an；（2）x2120 x 3456；(x24x6)4；（3）(x24x 2）（4）a4 a2b2b4.()12.在因式分解的学习中，我们采

6、用了构造几何图形的方法研究问题，借助直观、形象的几何模型，加深对因式分解的认识和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟几何与代数内在的统一性.根据课堂学习的经验，解决下列问题：（1）如图，边长为（k3）的正方形纸片，剪去一个边长为 k 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则这个长方形的面积是（用含 k 的式子表示）；（2）有 3 张边长为 a 的正方形纸片，4 张边长分别为 a、b（ab）的长方形纸片，5 张边长为 b 的正方形纸片，现从其中取出若干张纸片（每种纸片至少取一张），拼成一个正方形（不重叠无缝隙），则所拼成的正方形的边长最长可以为；（3）一个大正方形和 4 个

7、大小完全相同的小正方形按图，图两种方式摆放.求图中，大正方形中未被 4 个小正方形覆盖部分的面积（用含m、n 的式子表示）.k3k3图 m图 n图 13.拓展创新：已知 a，b，c 是ABC 的三边.（1）若满足，a2b210a8b41，且 c 是ABC 中最长的边，求 c 的取值范围；（2）若 a22b2c22ab2bc，请你判断ABC 的形状？（3）请你直接说明：（a2b2c2）24a2b20.14.观察阅读：13 23(1 2)29；132333(1 23)236；13233343(123 4)2100；（1）请你写出等式的结果：13 2333 4353103；（2）根据上述规律，猜想下

8、列等式的结果，1323334353(n1)3 n3；（3）利用（2）中得到的结论计算：336393573603；133353(2n1)3()37313337 135015.当我们看到下面这个数字算式3时，大概会觉得算题的人错用了运算法则337 2437 2461a3b3a b吧，因为我们知道3；但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我c d3c d3333333313315 25 27 37 310 710 7们还可以写出任意多个这种等式：3，3 237 4103331033 25333537343你能发现以上等式的规律吗？()专题专题 0909 因式分解及其运用因式分解及

9、其运用思维索引】思维索引】例 1(1)(2n1)2(2n1)28n；(2)原式3212523272522012199240400例 2(1)(2ab)(a2b)2a25ab2b，(2)那么他总共需要 143 张纸片(3)大长方形的周长2(2aba2b)6(ab)72(cm)素养提升】1D；2A；3C；4B；5B；68；715；8121；9(1x)n；103 或 5；11(1)3a n(a25a15)；(2)(x48)(x72)；(3)(x2)4；(4)a2 ab b2a2 ab b2；12(1)长方形的面积是(k3)2k26k9；(2)D；m n m n 4(3)未被小正方形覆盖部分的面积 mn；242213(1)5c9；(2)等边三角形；(3)略；114(1)(12310)25523025；(2)n2(n1)2；(3)1190700；2n4n2；4a ba2 ab b2a3b3a b153；a (a b)3a a ba2 aa ba b2a a b()