同济第六版高等数学教案版第章不定积分.pdf

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1、同济第六版高等数学教案版第章不定积分 IMB standardization office【IMB 5AB-IMBK 08-IMB 2C】第教学目的：四章不定积分1、理解原函数概念、不定积分的概念。2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点：教学重点：1、2、3、教学难点：教学难点：1、2、3、换元积分法；分部积分法；三角函数有理式的积分。不定积分的概念；不定积分的性质及基本公式；换元积分法与分部积分法。4 1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定

2、义定义 1 1 如果在区间 I上 可导函数 F(x)的导函数为 f(x)即对任一 xI 都有F(x)f(x)或 dF(x)f(x)dx那么函数 F(x)就称为 f(x)(或 f(x)dx)在区间 I上的原函数例如 因为(sin x)cos x 所以 sin x 是 cos x 的原函数又如当 x(1)时因为(x)1所以x是1的原函数2 x2 x提问:cos x和1还有其它原函数吗？2 x原函数存在定理 如果函数 f(x)在区间 I上连续 那么在区间 I上存在可导函数 F(x)使对任一 x I 都有F(x)f(x)简单地说就是 连续函数一定有原函数两点说明第一 如果函数 f(x)在区间 I上有原

3、函数 F(x)那么 f(x)就有无限多个原函数 F(x)C 都是 f(x)的原函数 其中 C 是任意常数第二 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果(x)和 F(x)都是 f(x)的原函数 则(x)F(x)C (C 为某个常数)定义定义 2 2 在区间 I上 函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或 f(x)dx)在区间 I上的不定积分 记作f(x)dx其中记号称为积分号 f(x)称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达式 x 称为积分变量根据定义 如果 F(x)是 f(x)在区间 I上的一个原函数 那么 F(x)C 就是 f(x)的不定积分即f(x)dxF(x)C因

4、而不定积分f(x)dx可以表示 f(x)的任意一个原函数例 1因为 sin x 是 cos x 的原函数所以cosxdxsinxC因为x是1的原函数所以2 x1dx xC2 x例 2.求函数f(x)1的不定积分x解：当 x0时(ln x)1x1dxlnxC(x0)x当 x0时ln(x)1(1)1xx1dxln(x)C(x0)解:设 xa sin tt那么a2x2a2a2sin2t acost22dx a cos t d t 于是a2cos2tdt a2(1t1sin2t)C2422x因为t arcsin,sin2t2sintcost2xa x所以aaa2a11a x dxa(tsin2t)Ca

5、rcsinx1x a2x2C2a224222解:设 xa sin tt那么222a2cos2tdt a2(1t1sin2t)Caarcsinx1x a2x2C242a2提示:a2x2a2a2sin2t acostdxacos tdt22提示:tarcsinx,sin2t2sintcost2xa xaaa例 20.求dx(a0)x2a222解法一 设 xa tan tt那么x2a2 a2a2tan2ta 1tan2ta sec t dxa sec 2t d t 于是2asec tdt sectdtdx ln|sec t tan t|Casectx2a222因为sectx atantx所以aa其中

6、 C 1Cln adx ln|sec t tan t|Cln(xx2a2)Cln(xx2a2)C1aax2a2解法一 设 xa tan tt那么22dxasec2tdt sectdtln|secttant|Casectx2a222ln(xx a)Cln(xx2a2)C1aa其中 C 1Cln a提示:x2a2 a2a2tan2tasect dxa sec 2t dt22提示:sectx atantxaa解法二:设 xa sh t 那么lnx(x)21Cln(xx2a2)C1aa其中 C 1Cln a提示:x2a2 a2sh2ta2a ch t dx a ch t d t例 23.求dx(a0)

7、x2a22解:当 xa 时 设 xa sec t(0t)那么x2a2 a2sec2ta2a sec2t1a tan t于是adxasecttantdt sectdt ln|sec t tan t|Catantx2a2a22因为tantx asectx所以dx ln|sec t tan t|Cln|xx2a2|Cln(xx2a2)C1aax2a2其中 C 1Cln a当 xa 于是ln(xx2a2)C ln(x x2a2)C12a2Cln(x x2a2)Clnx x1a2其中 C 1C2ln a综合起来有dxln|x x2a2|Cx2a22解:当 xa 时 设 xa sec t(0t)那么ln(

8、x x2a2)C其中 C 1Cln a当 xa 于是ln(x x2a2)C1其中 C 1C2ln a提示:x2a2 a2sec2ta2a sec2t1atant22x a提示:tantsectxaa综合起来有dxln|x x2a2|Cx2a2补充公式(16)tanxdxln|cosx|Ccotxdxln|sinx|C(18)secxdxln|secxtanx|C(19)cscxdxln|cscxcotx|C(20)(21)(22)(23)(24)dxln(x x2a2)Cx2a21dxarcsinxCaa2x21dx1ln|xa|C2axax a221dx1arctanxCaaa x22dxl

9、n|x x2a2|Cx2a24 3 分部积分法设函数 uu(x)及 vv(x)具有连续导数 那么 两个函数乘积的导数公式为(uv)uvuv移项得uv(uv)uv对这个等式两边求不定积分 得uvdxuvuvdx或udvuvvdu这个公式称为分部积分公式分部积分过程:uvdxudvuvvduuvuvdx例 1xcosxdxxdsinx xsinxsinxdxx sin xcos xC例 2xexdxxdexxexexdxxexexC例 3x2exdxx2dex x2exexdx2x2ex2xex2exC ex(x22x2)C例 4xlnxdx1lnxdx21x2lnx1x21dx222x1x2ln

10、x1xdx1x2lnx1x2C2224例 5arccosxdx xarccosxxdarccosxxarccosx1(1x2)2d(1x2)xarccosx 1x2C21例 6xarctanxdx1arctanxdx21x2arctanx1x212dx2221x1x2arctanx1x1arctanxC222例 7 求exsinxdx解 因为exsinxdxsinxdexexsinxexdsinxexsinxexcosxexsinxdx所以exsinxdx1ex(sinxcosx)C2例 8 求sec3xdx解 因为secxtanxln|secxtanx|sec3xdx所以sec3xdx1(s

11、ecxtanxln|secxtanx|)C2例 9 求Indx其中 n 为正整数(x a2)n2解I12dx21arctanxCx aaa当 n1时，用分部积分法 有x1a2dx2(n1)(x2a2)n1(x2a2)n(x2a2)n1x 2(n 1)(In1 a2In)22n1(x a)即In1于是In1x(2n3)In12a2(n1)(x2a2)n11axa以此作为递推公式 并由I1arctan C即可得In例 10 求exdx解 令 xt 2则 dx2tdt 于exdx 2tetdt2et(t1)C2ex(x1)C2 xex2exC 2ex(x1)C第一换元法与分部积分法的比较:共同点是第

12、一步都是凑微分f(x)(x)dxf(x)d(x)令(x)uf(u)duu(x)v(x)dxu(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x)哪些积分可以用分部积分法？xcosxdxxexdxx2exdxxlnxdxarccosxdxxarctanxdxexsinxdxsec3xdx2xex2dxexdx2eudu2x2exdxx2dexx2exexdx2 4 4 几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分一、有理函数的积分有理函数的形式有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数 即具有如下形式的函数:P(x)a0 xna1xn1an1xanQ(x)b0 xmb1xm1bm1xbm其中 m和 n

13、都是非负整数 a0a1a2an及 b0b1b2bm都是实数 并且 a00 b00 当 nm时称这有理函数是真分式 而当 nm时 称这有理函数是假分式假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式 例如x3x1x(x21)1x1x21x21x21真分式的不定积分求真分式的不定积分时 如果分母可因式分解 则先因式分解 然后化成部分分式再积分例 1 求解2x3dxx25x6x3dx65)dxx3dx(x3x2x 5x6(x2)(x3)6dx5dx6ln|x3|5ln|x2|Cx3x2提示(AB)x(2A3B)x3AB(x2)(x3)x3x2(x2)(x3)AB1 3A2B3 A6 B5分母是二次质

14、因式的真分式的不定积分例 2 求解x2dxx 2x32x2dx (12x231)dx2 x22x3x22x3x22x31ln(x22x3)3arctanx1C2221(2x2)3提示2x22212x2321x 2x3x 2x32 x 2x3x 2x3例 3 求解1dxx(x1)21dx 111dxxx1(x1)2x(x1)21dx1dx12dxln|x|ln|x1|1Cx1xx1(x1)提示11xx11x(x1)(x1)2x(x1)2x(x1)21xx121112x(x1)(x1)xx1(x1)二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算

15、所构成的函数 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算 由于各种三角函数都可以用 sin x 及 cos x的有理式表示 故三角函数有理式也就是 sin x、cos x 的有理式用于三角函数有理式积分的变换:把 sin x、cos x表成tanx的函数 然后作变换utanx222tanx2tanx222usinx2sinxcosx22sec2x1tan2x1u2221tan2x21u22x2xcosxcossin22sec2x1u22变换后原积分变成了有理函数的积分例 4 求1sinxdxsinx(1cosx)21u1u2解 令utanx则sinx2u2cosx1u2x2arctan u

16、dx22du1u(12u2)2du 1(u21)du1u于是1sinxdx22u2u(11u)1u2sinx(1cosx)1u21u21(u2uln|u|)C1tan2xtanx1ln|tanx|C22242222解 令utanx则21tan2xtanx1ln|tanx|C42222说明:并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如cosxdx1d(1sinx)ln(1sinx)C1sinx1sinx三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去例 5 求x1dxx解 设x1u即xu21则2(x1arctanx1)C例 6 求dx1

17、3x2解 设3x2u即xu32则33(x2)233x2ln|13x2|C2例 7 求dx(1 x)x3解 设 xt6于是 dx 6t5d t 从而6(6x arctan6x)C例 8 求1 1xdxxx解 设1xt即x21于是xt 121xln1x xCx1x x练习 1 求dx2 cosx1t22x解 作变换t tan则有dx dtcosx 1 t21 t222t21xarctan C arctan(tan)C23333sin5x 2 求4dxcos x(1 cos2x)2sin5xsin4x解4dx 4d cosx d cosxcos xcos xcos4x21 cosx Ccosx3co

18、s3x 3 求3x 1dxx23x 2解3x 13x 174dxdx(x 2)(x 1)x 2x 1)dxx23x 2 7ln|x2|4ln|x1|C 积分表的使用积分表的使用积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂为了实用的方便往往把常用的积分公式汇集成表这种表叫做积分表求积分时可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后在表内查得所需的结果积分表一、含有 axb的积分1dx1ln|axb|Caxba2(axb)dxaxba1(axb)1C(1)a(1)3xdx12(axbbln|axb|)C24xdx131(axb)22b(axb)b2ln|axb|Caxba256789dx1lnaxbCx(

19、axb)bxdx1alnaxbCx2(axb)bxb2xx1ln|axb|bCdx(axb)2a2axbx2dx1axb2bln|axb|b2C(axb)2a3axbdx11lnaxbCx(axb)2b(axb)b2xxdx(3x4)2例 1 求解这是含有 3x4 的积分在积分表中查得公式x1ln|axb|bCdx(axb)2a2axb现在 a3、b4于是x14(3x4)2dx9ln|3x4|3x4C二、含有axb的积分1axbdx2(axb)3C3a2x axbdx22(3ax2b)(axb)3C15a3x2axbdx23(15a2x212abx8b2)(axb)3C105a45xdx2(a

20、x2b)axbC3a2axbx2dx2(3a2x24abx8b2)axb C15a3axb6dxx axb1lnaxb bC(b0)baxb b2arctanaxbC(b0)bb7dxaxbadxbx2bx axbx2axbxdxx axb8axbdx2 axbbxx9ax2bdxaxba三、含 x2a2的积分12dx21arctanxCx aaadx2x axb2dxx2n3dx(x2a2)n2(n1)a2(x2a2)n12(n1)a2(x2a2)n1x a2axa32dx21lnxaC四、含有 ax2b(a0)的积分 1abarctandx12ax b1ln2 abaxC(b0)bax b

21、C(b0)ax b2xax2bax bdx1ln|ax2b|C2aaaax b2dxxbdx3x224dx1lnx2Cx(ax2b)2b|ax2b|5dx1a1dxx2(ax2b)bxb ax2b|ax2b|dxa6322ln12C2x(ax b)2bx2bx7dxx11dx(ax2b)22b(ax2b)2bax2b五、含有 ax2bxc(a0)的积分六、含有x2a2(a0)的积分12345678dxarshxC ln(xx2a2)Ca1x2a2dxxC(x2a2)3a2x2a2xdx x2a2C22x ax1dxC22 322(x a)x ax2dxxx2a2a2ln(xx2a2)C22x2

22、a2x2xdxln(x x2a2)C22 322(x a)x a22dx1lnx a aC|x|x x2a2ax22a2dxx2Ca xx2a229x2a2dxxx2a2aln(xx2a2)C22例 3 求解因为dxx 4x29dxdx1x 4x292x x2(3)222所以这是含有x2a2的积分这里a3在积分表中查得公式22dx1lnx a aC|x|x x2a2ax2(3)2322C1ln4x293C12ln于是dx|x|32|x|x 4x292 3七、含有x2a2(a0)的积分12345678dxxarch|x|C ln|x x2a2|C1ax2a2|x|dxxC22 3222(x a)

23、ax axdx x2a2Cx2a2x1dxC(x2a2)3x2a2x2dxxx2a2a2ln|xx2a2|C22x2a2x2xdxln|x x2a2|C22 322(x a)x adx1arccosaC|x|x x2a2ax22a2dxx2C22a xx a29x2a2dxxx2a2aln|xx2a2|C22八、含有a2x2(a0)的积分12345678dxarcsinxCaa2x2dxxC22 3222(a x)aa xxdx a2x2Ca2x2x1dxC(a2x2)3a2x2x2dxxa2x2a2arcsinxC22aa2x2x2xdxarcsinxCa(a2x2)3a2x222dx1ln

24、a a xC|x|x a2x2ax222dxa2xCa xa2x229a2x2dxxa2x2aarcsinxC22a九、含有ax2bxc(a0)的积分十、含有xa或(xa)(xb)的积分xb十一、含有三角函数的积分1secxdxln|secxtanx|C2cscxdxln|cscxcotx|C3secxtanxdxsecxC4cscxcot xdxcscxC5sin2xdxx1sin2xC246cos2xdxx1sin2xC24n7sinnxdx1sinn1xcosxn1sinn2xdxn8cosnxdx1cosn1xsinxn1cosn2xdxnn9sinaxcosbxdx1cos(ab)x

25、1cos(ab)xC2(ab)2(ab)1sin(ab)x1sin(ab)xC2(ab)2(ab)10sinaxsinbxdx11cosaxcosbxdx1sin(ab)x1sin(ab)xC2(ab)2(ab)atanxb2C(a2b2)12dx2arctanabsinxa2b2a2b2atanxb b2a22C(a2b2)13dx222lnabsinxb aatanxb b2a2214dx2abarctanabtanxC(a2b2)abcosxababab2abbaC(a2b2)abbatanx214dx2ablnabcosxabbatanx2例 2 求dx54cosx解这是含三角函数的积分 在积分表中查得公式dx2abarctanabtanxC(a2b2)abcosxababab2这里 a5、b4a2b2于是2arctan3tanxC32例求sin4xdx解这是含三角函数的积分 在积分表中查得公式sinnxdx1sinn1xcosxn1sinn2xdxsin2xdxx1sin2xCnn24这里 n4于是sin4xdx1sin3xcosx3sin2xdx1sin3xcosx3(x1sin2x)C4444 24