陕西省石泉县高中数学 第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积教案 北师大版选修2-2.pdf

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1、3 3。1 1 平面图形的面积平面图形的面积初步掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法。课标要求（一）知识与能力：（一）知识与能力：1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理;3、初步掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法。(二二)过程与方法：过程与方法：三维目标借助于几何直观定积分的基本思想，感受在其数学中的渗透。(三）情感态度与价值观：三）情感态度与价值观：认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。本节的主要内容是展现定积分的实际背景，形成定

2、积分的概念.教材设计了 3 个实例求曲边梯形面积、根据物体运动的速度求路程、求物体拉力做的功,通过这些问题的教材分析解决，总结这些问题的解决思路即通过分割求和、加细、减小误差,然后再研究提高精确度的过程,这个过程是定积分思想的核心，为定积分概念的引人奠定了背景和方法的基础。学生已经学过了求曲边梯形面积、根据物体运动的速度求路程、求物体拉力做的功,为学情分析定积分概念的引人奠定了背景和方法的基础。重点：曲边梯形面积的求法。教学重难点难点:曲边梯形面积的求法及应用.平面图形的面积的求法.提炼的课题教学手段运用专家伴读教学资源选择教学过程教学过程1 1、复习：、复习：(1）、求曲边梯形的思想方法是什

3、么？（2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？12 2、定积分的应用、定积分的应用（一）利用定积分求平面图形的面积（一）利用定积分求平面图形的面积例例 1 1计算由两条抛物线y2 x和y x2所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。11y x2 x 0及x 1解：，所以两曲线的交点为（0,0）、（1，1)，面积 S=xdx x dx，200y x23x32 22所以S S=(x x-x x)dx)dxx=错误错误!0 03031 11【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1。作图象；2.求交点；3.

4、用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。巩固练习巩固练习计算由曲线y x36x和y x2所围成的图形的面积.例例 2 2计算由直线y x4，曲线y y xC Cy y x xD DA AO2 2B B2x以及 x 轴所围图形的面积S.分析：分析：首先画出草图（图1。7 一 2)，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题与例1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分 S1和 S2为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线y x4与曲线y 解：作出直线y x4，曲线y 解方程组2x的交点的横坐标，直线y x4与 x 轴的交点2x的草图，所求面积为图 1。7 一 2

5、阴影部分的面积y 2x,得直线y x 4与曲线y 2x的交点的坐标为（8，4)。y x4直线y x 4与 x 轴的交点为（4,0）。因此，所求图形的面积为S=S1+S22402xdx 842xdx(x4)dx4832 232 214042 8。x2|0 x2|8(x4)|443323由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时,一般要先画出它的草图,再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限例例 3.3.求曲线y y sin x xx x 0 0,2 2 3 30 02 2 2 2 与直线x x 0 0,x x ,x x轴所围成的图形面积。3 33 32 2|o o3 3答案：答案

6、：S S练习练习 sin xdxxdx cos x x 3 32 21 1、求直线y y 2 2x x 3 3与抛物线y y x x2 2所围成的图形面积。x x3 33 332322 2x x3 3x x)dxdx （x x 3 3x x )|1 1 答案：S S（1 13 33 3 3 32 22 22 2、求由抛物线y y x x 4 4x x 3 3及其在点 M（0，3)和 N(3,0）处的两条切线所围成的图形的面积.略解：略解：y y/2 2x x 4 4，切线方程分别为y y 4 4x x 3 3、2 2yoy=x2+4x-3xy y 2 2x x 6 6，则所求图形的面积为S S

7、 3 32 2(4 4x x0 0 3 3)(x x 4 4x x 3 3)dxdx 2 2 9 92 2(2 2x x 6 6)(x x 4 4x x 3 3)dxdx3 34 42 23 33 3、求曲线y y log2 2x x与曲线y y log2 2(4 4 x x)以及x x轴所围成的图形面积。略解：略解：所求图形的面积为S S【g g(y y)f f(y y)dydy 0 0 1 1 1 10 0(4 4 2 2 2 2y y)dydy （4 4y y 2 2 2 2y ylog2 2e e)|1 10 0 4 4 2 2log2 2e e4、在曲线在曲线y x(x 0)上的某点

8、上的某点 A A 处作一切线使之与曲线以及处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为轴所围成的面积为坐标以及切线方程坐标以及切线方程.21.试求试求:切点切点 A A 的的123xy=x2AOB Cx略解：略解：如图由题可设切点坐标为（x x0 0,x x0 0)，则切线方程为y y 2 2x x0 0 x x x x0 0，切线与x x轴的交点坐标为2 22 2x x(0 0,0 0)，则由题可知有S S 2 2 x x0 02 20 0 x x0 03 31 1x x dxdx x x0 0(x x 2 2x x0 0 x x x x0 0)dxdx 121212122 22 2 x x0

9、 02 22 2 x x0 0 1 1，所以切点坐标与切线方程分别为A(1,1),y 2x 1（二）（二）、归纳总结：、归纳总结：1 1、定积分的几何意义是：在区间a a,b b上的曲线y y f f(x x)与直线x x a a、x x b b以及x x轴所围成的图形的面积的代数和，即 f f(x x)dxdx S Sa ab bx x轴上方S Sx x轴下方。因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等,如函数y y sin x xx x 的图像与x x轴围成的图形的面积为 4,而其定积分为 0.,2 2 2 2、求曲边梯形面积的方法：、求曲边梯形面积的方法：画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；确定被积函数;求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。4