陕西省石泉县高中数学 第四章 定积分 4.1.1 定积分的实际背景教案 北师大版选修2-2.pdf

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1、1 1。1 1定积分的实际背景面积和路程问题定积分的实际背景面积和路程问题 2 2课标要求了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。（一)知识与能力：了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点;（二)过程与方法：1.体会求汽车行驶的路程有关问题的过程；三维目标2.感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限(逼近）。（三）情感态度与价值观：认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。本节的主要内容是展现定积分的实际背景，形成定积分的概念.教材设计了 3 个实例求曲边梯形面积、根据物体运动的速度求路

2、程、求物体拉力做的功,通过这些问题的教材分析解决，总结这些问题的解决思路即通过分割求和、加细、减小误差，然后再研究提高精确度的过程，这个过程是定积分思想的核心,为定积分概念的引人奠定了背景和方法的基础.学生已经学过了求曲边梯形面积、根据物体运动的速度求路程、求物体拉力做的功，为学情分析定积分概念的引人奠定了背景和方法的基础。重点:掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）教学重难点难点：过程的理解提炼的课题教学手段运用专家伴读教学资源选择教学过程教学过程四、教学过程四、教学过程（一）（一）、创设情景、创设情景复习：1连续函数的概念；2求曲边梯形面积的基本思想和步骤；利用导数我们解决了

3、“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题反之，如果已知物体的1定积分的概念速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？(二）二）、新课探析、新课探析问题问题：汽车以速度v组匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为S vt如果汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为vt t 2（单位：km/h），那么它在 0t1(单位：h)这段时间内行驶的路程S（单2位：km）是多少?分析：分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题把区间0,1分成n个小区间，在每个小区间上,由于vt的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运

4、动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S(单位：km）的近似值,最后让n趋紧于无穷大就得到S（单位：km)的精确值（思想：思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）解：（1）分割分割在时间区间0,1上等间隔地插入n1个点，将区间0,1等分成n个小区间：0,112n1,，,1,nnnn记第i个区间为i1 i,(i 1,2,nnii 11nnn,n)，其长度为t 把汽车在时间段0,112n1,，,1上行驶的路程分别记作：,nnnnS1，S2，Sn显然,S(2）近似代替近似代替当n很大，即t很小时,在区间Sii1ni1 i,上，可以认为

5、函数vt t22的值变化很小，近似的等nn2i 1i1i1于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值v 2，从物理意义上看,即nnn使汽车在时间段i1 i,(i 1,2,nn,n)上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻i1处的速度n2i1i1即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积Siv 2作匀速直线运动，nn近似的代替Si,即在局部范围内“以直代取”，则有2i121i1i112Si Si v(i 1,2,t 2 nnnnnn2,n)(3）求和求和2ni1i112由，SnSi vt nnnni1i1i1nn1 11=0nnn=212 n1121 2=23nnn22n121

6、n1n2n111 1 2=1123n63n2n131 1 12n2n从而得到S的近似值S Sn 1（4）取极限取极限当n趋向于无穷大时，即t趋向于 0 时，Sn 1n131 1 12趋向于S，从而有n2nS limSn limnni11n 111 5i1v lim 11n2n3n2n32思考：思考：结合求曲边梯形面积的过程,你认为汽车行驶的路程S与由直线t 0,t 1,v 0和曲线v t 2所围成的曲边梯形的面积有什么关系?结合上述求解过程可知,汽车行驶的路程S lim Sn在数据上等于由直线t 0,t 1,v 0和曲线nv t2 2所围成的曲边梯形的面积一般地,如果物体做变速直线运动,速度函

7、数为v vt，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变的方法及无限逼近的思想，求出它在atb内所作的位移S例、例、弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比,即力Fx kx（k为常数,x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功分析：分析：利用“以不变代变的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解3解：解：将物体用常力F沿力的方向移动距离x，则所作的功为W F x1分割分割在区间0,b上等间隔地插入n1个点，将区间0,1等分成n个小区间：bbn1b0,n，n,2bn，,n,b记第i个区间为i1b,ibn(i 1,2,n)，其长度为x ibi1n,nbnbn把在分段0,bn1bn，bn,2bn，,bn上所作的功分别记作：W1，W2，Wn(2）近似代替近似代替有条件知：Wi1bi Fx ki1bb(i 1,2,n)nnn（3）求和求和nnWnWiki1bi1i1nbn=kb2n2012n1kb2nn1n22kb2211n从而得到W的近似值W Wkb21n21nnkb21kb2（4)取极限取极限W limnWn limnWi limi1n21n2所以得到弹簧从平衡位置拉长b所作的功为：kb22（四）（四）、课堂小结：、课堂小结：求汽车行驶的路程有关问题的过程。4