初二数学最短路径问题知识归纳+练习.pdf

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1、初二数学最短路径问题初二数学最短路径问题【问题概述】【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图由结点和路径组成的中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题-即起始结点，求最短路径的问题确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是终结结点，求最短路径的问题确定起点终点的最短路径问题-即起点和终点，求两结点之间的最短路径全局最短路径问题-求图中所有的最短路径【问题原型】【问题原型】“将军饮马，“造桥选址，“费马点【涉及知识】【涉及知识】“两点之间线段最短，“垂线段最短，“三角形三边关系，“轴对称，“平移【出题背景】【出题背景】角、三角形、菱形

2、、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等【解题思路】【解题思路】找对称点实现“折转“直，近两年出现“三折线转“直等变式问题考察【十二个根本问题十二个根本问题】【问题【问题 1 1】AlB作法作法A图形图形原理原理连AB，与l交点即为PPBl两点之间线段最短PA+PB最小值为AB在直线l上求一点P，使PA+PB值最小【问题【问题 2 2】“将军饮马“将军饮马ABl作法作法A作B关于l的对称点B 连图形图形原理原理BPBl两点之间线段最短A B，与l交点即为PPA+PB最小值为A B 在直线l上求一点P，使PA+PB值最小【问题【问题 3 3】l1作法作法P分别作点P关于两直线的图形图形l1原理

3、原理Pl2MPNPl2两点之间线段最短对称点P和P ，连PP ，与两直线交点即为M，N在直线l1、l2上分别求点PM+MN+PN的最小值为线段PP 的长M、N，使PMN的周长最小【问题【问题 4 4】l1QPl2作法作法分别作点Q、P关于直线Q图形图形l1QPNPl2原理原理l1、l2的对称点Q和P连QP，与两直线交点即为M，NM两点之间线段最短四边形PQMN周长的最小值为线段PP 的长在直线l1、l2上分别求点M、N，使四边形PQMN的z周长最小【问题【问题 5 5】“造桥选址“造桥选址AMNBmn作法作法A图形图形原理原理将点A向下平移MN的长度单位得A，连AB，交n于点N，过N作NMm于

4、AMNBmn两点之间线段最短直线mn，在m、n，上分别求点M、N，使MNm，且AM+MN+BN的值最小MAM+MN+BN的最小值为AB+MN【问题【问题 6 6】AB作法作法将点A向右平移a个长度l图形图形A原理原理ABMaN单位得A，作A 关于l的对称点A，连A B，交直线将N点向左平移l于点N，a个单位得MAMNl两点之间线段最短在直线l上求两点M、NM在左，使MNa，并使AM+MN+BN的最小值为AB+MNAM+MN+NB的值最小【问题【问题 7 7】l1Pl2作法作法P图形图形l1Pl2原理原理作点P关于l1的对称点AB点到直线，垂线段最短P，作PBl2于B，交l2于A在l1上求点A，

5、在l2上求点B，使PA+AB值最小PA+AB的最小值为线段PB的长【问题【问题 8 8】l1NAMBl2作法作法图形图形Bl1ANMABl2原理原理作点A关于l2的对称点A为l1上一定点，B为l2上一定点，在l2上求点M，在l1上 求 点N，使A，作点B关于l1的对称点B，连AB 交l2于M，交l1于N两点之间线段最短AM+MN+NB的最小值为线段AB的长AM+MN+NB的值最小【问题【问题 9 9】ABl作法作法连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为Pz图形图形AB原理原理垂直平分上的点到线段两端点的距离相等lP在直线l上求一点P，使PA PB的值最小最小PA PB0【问题【问题 1010

6、】ABl作法作法A图形图形原理原理三角形任意两边之差小于作直线AB，与直线l的交点即为PB第三边PA PBABPl在直线l上求一点P，使PA PB的值最大最大PA PB的最大值AB【问题【问题 1111】AlB作法作法A图形图形原理原理三角形任意两边之差小于Bl作B关于l的对称点B 作直线A B，与l交点即为P第三边PA PBAB PA PB最大值AB 在直线l上求一点P，使PA PB的值最大最大BP【问题【问题 1212】“费马点“费马点A作法作法所求点为“费马点，即满足APBBPCD图形图形原理原理APC120以AB、AC为BC边向外作等边ABD、ABC中每一角都小于ACE，连CD、BE相

7、交于P，120，在ABC求一点P，点P即为所求使PA+PB+PC值最小AE两点之间线段最短PBCPA+PB+PC最小值CD【精品练习精品练习】1如下图，正方形ABCD的面积为 12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为ADA2 3B2 6C3D6PE、CD交2如图，在边长为 2 的菱形ABCD中，ABC60，假设将ACD绕点A旋转，当AC、AD分别与BC于点E、F，则CEF的周长的最小值为A2B2 3D4BCC233四边形ABCD中，BD90，C70，在BC、CD上分别找一点M、N，使AMN的周长最小时，AMN+ANM的度数为A

8、120B130C110D140ADzBMNC4如图，在锐角ABC中，AB42，BAC45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是且EDAE，则线段AE的取值围是C5如图，RtABC中，C90，B30，AB6，点E在AB边上，点D在BC边上不与点B、C重合，DAM6如图，AOB30，点M、N分别在边OA、OB上，且OM1，ON3，点P、Q分别在边EOB、OA上，则MPPQQN的最小值是_ 注“勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即RtABC中，C90，则有AC2 BC2 AB2ANBCD7如图，三角形ABC中，OABAOB15，点B在

9、*轴的正半轴，坐标为B(6 3，0)BOC平分AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MAMN的最小值是_8A2，4、B4，2 C在y轴上，D在x轴上，则四边形ABCD的周长最小值为，y此时C、D两点的坐标分别为9A1，1、B4，2 1P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标；2P为x轴上一动点，求PA PB的值最大时P点的坐标；AyByABO3CD为x轴上一条动线段，D在C点右边且CD1，求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；Bx10点C为AOB一点1在OA求作点D，OB上求作点E，使CDE的周长最小，请画出图形；OxyOAx2在1的条件下，假设AOB30，OC10，求CDE周长的最小值和此时DCE的度数11 1如图，ABD和ACE均为等边三角形，BE、CE交于F，连AF，求证：AF+BF+CFCD；BA2在ABC中，ABC30，AB6，BC8，A，C 均小于 120，求作一点P，使PA+PB+PC的值最小，试求出最小值并说明理由OCDx12荆州护城河在CC处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD、EE，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短.z