勾股定理解题方法.pdf

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1、勾股定理勾股定理技巧 1 利用勾股定理计算线段的长如图所示,在 RtABC 中,C90,AD 平分CAB,DEAB于点 E,若 AC6,BC8,CD31 求 DE 的长；2 求 AB 的长及ADB 的面积解析：1 根据角平分线的性质得出 CDDE,从而 DE3；2首先利用勾股定理求出AB 的长,然后计算ADB 的面积解：1AD 平分CAB,DEAB,C90,CDDECD3,DE32 在 RtABC 中,由勾股定理,得ABAC2BC2628210,ADB 的面积为SADB11AB DE 1031522技巧 2 利用勾股定理解决折叠问题如图所示,将长方形 ABCD 沿着 BD 折叠,使点 C 落在

2、 C处,BC交 AD 于点 E,若 AD8AB41 求BDE 的周长；2 求BDE 的面积解析：1 由将长方形 ABCD 沿 BD 折叠,知 CDCD,CC,12,可证 BEDE,即 AEBEAD在 RtABE 和 RtBCD 中,利用勾股定理求出 BE,BD 的长,进而求出BDE 的周长；2 由题意,知 C90,即 DCBC,则 S BDE解：l将长方形 ABCD 沿着 BD 折叠,CDCD,CC,12又23,13BEDE设 BEDEx,则 AE8x在 RtABE 中,BE2AE2AB2,即 x2一 8 一 x242,解得 x5,即 BEDE5在 RtBCD 中,BDBC2CD2 82424

3、 5,BDE 的周长为 BEDEBD104 52C90,DCBC1BDCD211BECD5410,22即BDE 的面积为 10技巧 3 利用勾股定理解决最短路径问题如图 1 所示是一个长方体的大箱子,已知它的高为 3 m,底面是边长为 2 m 的正方形现在点 A 处有一只壁虎,想沿长方体表面到达点C 处,则壁虎爬行的最短路程是多少S BDE123解析：首先将长方体展开成平面图形,连接 AC,根据两点之间线段最短来解答,然后利用勾股定理求出线段的长度解：1 如图 2,将长方体的右表面翻折至前表面,使 A,C 两点共面,连接 AC,则此时线段 AC的长度即为此种情况的最短路程AC22223225A

4、C52 如图 3,将长方体的后表面翻折至上表面,使A,C 两点共面,连接AC,则此时线段AC的长度即为此种情况的最短路程AC22223242529AC29295,壁虎爬行的最短路程是5 m技巧 4 利用勾股定理求图形的面积如图所示,已知四边形 ABCD 是正方形,E 是正方形内一点,且 AEBE若 AE6,BE8,求图中阴影部分的面积解析：先利用勾股定理求得正方形 ABCD 的边长,再根据面积公式求得正方形和直角三角形的面积,最后求出阴影部分的面积解：AEBE,E90AE6,BE8,10ABAE2BE2 6282正方形 ABCD 的面积为 AB2100SABE11AE BE6824,22图中阴

5、影部分的面积为S阴影1002476技巧 5 利用勾股定理解决非直角三角形中的问题如图 1 所示,已知在ABC 中,C60AB14,AC10,求 BC 的长12解析：过点 A 作 ADBC,则出现两个直角三角形：RtACD 与 RtABD,借助于勾股定理解题即可解：如图 2 所示,过点 A 作 ADBC,交 BC 于点 DC60,AC10,CD5,AD53又AB14,BD1425(3)2 19675 11BCBDCD11516技巧 6 勾股定理在解决实际问题中的应用如图 1,由于过度采伐森林和破坏植被,我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭近日,A 城气象局测得沙尘暴中心在A 城正西方向240 km的

6、点 B 处,以 12 km/h 的速度向北偏东600 方向移动,距沙尘暴中心 150 km 的范围均为受影响区域1A 城是否会受到这次沙尘暴的影响为什么2 若 A 城受到这次沙尘暴影响,则遭受影响的时间有多长12解析：1 过点 A 向沙尘暴行进的方向作垂线,得到点 A 到直线 BM 的距离,将该距离与 150km 作比较来判断 A 城是否会受影响2 由于在沙尘暴中心周围 150 km 的范围内均受影响,故以点 A 为圆心,以 150 km 为半径画弧,该弧与沙尘暴所经路线有两个交点,先利用勾股定理求出这两点的距离,再用这个距离除以沙尘暴的速度即可求出A 城受影响的时间解：1A 城会受到影响,理

7、由如下：如图 2,过点 A 作 ACBM,交 BM 于点 C在 RtABC 中,ABM30,11AB240120km22120150,A 城会受到这次沙尘暴的影响2 如图 2,以点 A 为圆心,以 150 km 为半径画弧,与 BM 交于 E,F 两点AC由题意,得 CEAE2AC2 1502120290kmAEAF,AEFAFE又ACEACF,ACAC,ACEACFAASCECFEF2CE290180km1801215h.A 城遭受这次沙尘暴影响的时间为15 h勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理技巧 1 利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状已知 a,b,c 是ABC 的三边长,且满足关系式c2

8、a2b2 ab 0,则ABC 的形状为_解析：c2a2b2 ab 0,c2a2b20,且 ab0c2a2b2,且 abABC 为等腰直角三角形答案：等腰直角三角形技巧 2 勾股定理及其逆定理的综合运用如图所示,在四边形 ABCD 中,已知 AB1,BC2,CD2,AD3,且 ABBC试说明 ACCD解析：先在 RtABC 中,利用勾股定理,求出 AC 的长,再利用勾股定理的逆定理求得ACD90解：ABBC,B90AB1,BC2,AC2AB2BC212225在ACD 中,AC2CD2522549,AD2329,AC2CD2AD2ACD90,即 ACCD技巧 3 利用勾股定理的逆定理求三角形的面积

9、如图所示,已知D,E,F分别是ABC中BC,AB,AC边上的点,且 AEAF,BEBD,CFCD,AB4,AC3,BD3,CD2求ABC 的面积解析：先出 BC,证明ABC 是直角三角形,即可求出面积BD3,设 BD3x,则 CD2x,由 AEAF,BEBD,CFCD,CD2即 AF32x,AE43x,32x43x,解得 x1,BC3x2x5又324252,即 AC2AB2BC2,ABC 是直角三角形,A90解：SABC11AB AC43622技巧 4 利用勾股定理的逆定理解决实际问题如图所示,南北向直线 MN 为我国领海线,即 MN 以西为我国领海,以东为公海,上午 9：50,我国反走私艇

10、A 发现正东方向有一走私艇 C 以 13 n mile/h 的速度偷偷向我国领海驶来,便立即通知正在 MN 线上巡逻的我国反走私艇 B已知 A,C 两艇的距离是13 n mile,A,B 两艇的距离是5 n mile,反走私艇 B 测得其离走私艇C 的距离是 12 n mile若走私艇 C 的速度不变,则走私艇 C 最早会在什么时间进入我国领海解析：如图所示,设 MN 交 AC 于点 E,从而确定么 BEC90,由已知条件确定ABC90,利用勾股定理求出 CE 的长,最后由速度公式求出时间解：如图所示,设 MN 交 AC 于点 E,则BEC90由题意,得AB2BC252122169132AC2,故ABC 是直角三角形,ABC90又MNCE,走私艇 C 进入我国领海的最短距离是CE,且 CE2BE2BC2144,13CE2BE2AB225,联立解得 CE1441314414413h,6051min,131699 时 50 分51 分10 时 41 分答：走私艇 C 最早会在上午 10：41 进入我国领海