高中一元三次方程解法.pdf

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1、高中一元三次方程解法一元三次方程有三种解法，包括卡尔丹公式法、盛金公式法和因式分解法。简单地说就是公式法和因式分解法。和一元二次方程的解法中的公式法和因式分解法有相似之处，公式法适用于一切方程，而因式分解法一般只适用于存在有理数根的方程。当然三次方程应用因式分解法的主要目的是为了降次，因此它也有可能在存在无理根或复数根时使用因式分解法。我们平时用得比较多的还是因式分解法。比如x3-1=0 或 x3+1=0，都有因式分解的公式可以直接应用。前者得到(x-1)(x2+x+1)=0，后者得到(x+1)(x2-x+1)=0.由此得到方程的一个有理根和一对共轭虚根。当然，这里的 1 可以换成任意实数，因

2、为任意实数都可能写成一个数的三次方。对于标准型的一元三次方程 ax3+bx2+cx+d=0(a，b，c，dR，且a0)，以上所举的例子属于 a=1,b=0,c=0 的特殊形式。当b,c 至少有一个不等于 0 时，一元三次方程就不一定能分解出一个有理根。所以因式分解法并不一定适用于所有一元三次方程。这时候如果想要使用因式分解法，就必须满足存在有理根的条件，否则很难因式分解。比如三次方程：x3+x2-x+2=0，通过观察，我们可以用多项式 x3+x2-x+2 除以 x+2，就得到 x2-x+1，因此可以用因式分解法得到(x+2)(x2-x+1)=0，同样可以得到一个实根 x=-2，和两个共轭虚根。

3、但是三次方程 x3+x2-x+1=0 就无法应用因式分解法了。这时候就要用公式法。卡尔丹公式法相对比较复杂，而盛金公式法就简单得多。纯讲知识的内容既干枯燥又难懂，因此接下来就对这个方法，分别运用两个公式，做一个演示，希望能你从演示的过程中得到启发，学会这两种公式法。三次方程 x3+x2-x+1=0 中，a=1,b=1,c=-1，d=1.令 x=y-b/(3a)=y-1/3 代入方程，得到：(y-1/3)3+(y-1/3)2-(y-1/3)+1=0，化简得 y3-4y/3+38/27=0.这是特殊型的一元三次方程 y3+py+q=0(p,qR).其中 p=-4/3,q=38/27.接下来求卡尔丹

4、判别式：=(q/2)2+(p/3)3=361/729-64/729=11/27.当0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；当=0 时，方程有三个实根，其中有一个两重根；当0 时，盛金公式 2 可以得到一个实根和两个公轭虚根。其公式相当复杂，这里给出图片，请自行理解。当=0 时，盛金公式 3 可以得到三个实根，其中两个是重根，即 x1=-b/a+K;x2=x3=-K/2，其中 K=B/A,(A 不等于 0)。当0 时，盛金公式 4 可以得到三个根，如下图：可以看到，一元三次方程的解法如果不能运用因式分解法的话，多数都是非常复杂的，而中学生主要还是运用因式分解法为主，但是在许多专业的工程学，都需要用到公式法来解一元三次方程，但动笔解得还是比较少，我们可以借助计算机程序来求解。