高联平面几何训练题(附答案).pdf

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1、平几综合问题【例1】在ABC中，AB AC，其内切圆 I 分别切三边于点D,E,F，P 为弧 EF不含点 D 的弧上一点.设线段 BP 交圆 I 于另一点 Q.直线 EP,EQ 分别交直线 BC 于点 M,N.证明：1P,F,B,M四点共圆；2EMBD.ENBP【例2】如图，在锐角ABC中，AB AC，cosBcosC 1E、F分别是AB、AC延长线上的点，且ABF ACE 90求证：BE CF EF；设EBC的平分线与EF交于点P，求证：CP平分BCF【例3】在三角形ABC中，AB AC，CAB和ABC的内角平分线分别与边BC和CA相交于点D和E设K是三角形ACD的内心假设BEK 45，求C

2、AB所有可能的值【例4】*过圆外一点P向圆O作切线PA、PB及割线PCD，过C作PA的平行线，分别交AB、AD于E、F求证：CE EF【例5】在ABC中，B C，ABC的内切圆I与BC，CA，AB的切点分别为记AD与I的不同于点D的交点为P过点P作AD的垂线交EF于D，E，F点Q，X，DF的交点Y分别是AQ与直线DE，求证：A是线段XY的中点【例6】如图，C为扇形AOB的弧AB上一点，在射线OC上任取一点P，连结AP，过点B作直线BQAP交OC于点Q证明：五边形OAQPB的面积与点C、P的选取无关【例7】给定圆1和2相交于点X和Yl1是一条过1的圆心的直线且与2交于P、Ql2是一条过2的圆心的

3、直线且与1交于R、S求证：假设P、Q、R、S四点共圆，那么此圆的圆心在直线XY上大显身手1234设不过平行四边形 ABCD 顶点的任意一条直线分别与直线 AB、BC、CD、DA交于 E、F、G、H，那么圆 EFC 与圆 GHC 的另一个交点 Q 必在定直线上.O与ABC的边AB、AC分别相切于P和Q，与ABC外接圆相切于D，M是求证：POQ 2MDCPQ的中点如图两圆O1、O2相切于点M，O2的半径不小于O1的半径点A是O2上的一点，且满足O1、O2和A三点不共线AB、AC是点A到O1的切线，切点分别为B、C，直线MB、MC与O2的另一个交点分别为E、F，点D是线段EF和O2的以A为切点的切线

4、的交点证明：当点A在O2上移动且保持O1、O2和A三点不共线时，点D沿一条固定的直线移动(*选做，不作要求)水平直线m通过圆O的中心，直线lm，l与m相交于M，点M在圆心的右侧，直线l上不同的三点A，B，C在圆外，且位于第 77 页直线m上方，A点离M点最远，C点离M点最近，AP，BQ，CR为圆O的三条切线，P，Q，R为切点试证：(1)l与圆O相切时，ABCR+BCAPACBQ；(2)l与圆O相交时，ABCR+BCAPACBQ；(3)l与圆O相离时，ABCR+BCAPACBQ提示与解：1、画图可得到 Q 点应在在定直线 AC 上，即证 A、C、Q 共线.连 AQ、CQ、EQ、HQ，往证EQA=

5、EQC，E、F、C、Q 共圆EQC=GFC，G、H、Q、C 共圆HQC=FGC，GFC+FGC+FCG=1800EQC+HQC+GFC=1800，BAD=FCG，EQH+EAH=1800A、E、Q、H 共圆EQA=EHA，而 AHBCGFC=EHAEQA=EQCA、C、Q 共线，即 Q 必在定直线 AC 上.2、如图，连接AO、AD、DO和DQAP、AQ分别与O相切于P、QOP和OQ都是O的半径，由对称性知POQ 2AOQ，且OA PQ于MOD2 OQ2 OM OA，即ODOMOAOD又DOM AOD，DOMAOD过D作两圆的公切线DE，那么CDE CAD又OD DE，即ODE 90故POQ

6、2MDC3、以M为原点，O1O2为x轴建立直角坐标 系，如 下 图，设O1方 程 为2x 1 y21，O2方程为A2x r y2 r2r 1设Ar rcos，rsin，0，2O2因为BC是O1的切点弦，所以方程为BC第 78 页yDFMCBO1xEr 1 rcosx1 yrsin1，即1 r rcosxrsiny r1cos 0又易得EFBC，设EF方程为1 r rcosxrsiny t 0又因为O1CO2F，所以yFrryCxF r，xC所以yC 1yF，xC 1xF其中FxF，yF，CxC，yC 1所以11 r rcosxFrsinyF r1cos 0，rr所以1 r rcosxFrsin yFr21cos 0，所以直线EF方程为1 r rcosx rsin y r21cos 0又因为AD是O2的以点A为切点的切线，所以直线AD方程为rx rcosrsiny r2 0即rxcosrsiny r2(1 cos)0设DxD，yD，因为点D在EF和AD上，所以1 rxD 0，即xD 0，所以点D在定直线y轴上移动4、其实只要第一问完成了，后面两问可类似完成.此题实际上是一道计算题，先设根本量然后代入计算，通过漫长的化简得到显然成立的等价式.具体过程略.第 79 页