(浙江专用)2022高考数学二轮复习专题三第2讲数学归纳法、数列的通项公式与数列求和专题强化训练.pdf

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1、浙江专用浙江专用 20222022 高考数学二轮高考数学二轮复习专题三第复习专题三第 2 2 讲数学归纳法、讲数学归纳法、数列的通项公式与数列求和专数列的通项公式与数列求和专题强化训练题强化训练第第 2 2 讲讲 数学归纳法、数列的通项公式与数列求和数学归纳法、数列的通项公式与数列求和专题强化训练专题强化训练1 11 11 1用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式1 1 2 24 4127127*(n nN N)成立，其初始值至少应取成立，其初始值至少应取()n n1 1 2 26464A A7 7 B B8 8C C9 9D D1010 1 1 1 1 1 1n n 2 2 12712

2、7 1 1解析：选解析：选 B.B.据可转化为据可转化为1 11 12 2 6464，整理，整理得得 2 2n n128128，解得，解得n n77，故原不等式的初始值为，故原不等式的初始值为n n8.8.2 2设各项均为正数的等差数列设各项均为正数的等差数列 a an n 的前的前n n项和项和为为S Sn n，且，且a a4 4a a8 83232，那么，那么S S1111的最小值为的最小值为()A A2222 2 2C C2222B B4444 2 2D D4444解析：选解析：选 B.B.因为数列因为数列 a an n 为各项均为正数的等为各项均为正数的等差差数数列列，所所以以a a4

3、 4a a8 82 2a a4 4a a8 88 82 2，S S1111-2-2-a a1 1a a1111111111111111(a a4 4a a8 8)8 8 2 24444 2 2，2 22 22 2故故S S1111的最小值为的最小值为 4444 2 2，当且仅当当且仅当a a4 4a a8 84 4 2 2时时取等号取等号1 13 3设等比数列设等比数列 a an n 的各项均为正数，且的各项均为正数，且a a1 1，2 2a a4 4a a2 2a a8 8，假设，假设 loglog2 2a a1 1loglog2 2a a2 2loglog2 2a an n，b bn n那

4、么数列那么数列 b bn n 的前的前 1010 项和为项和为()2020A A11119 9C C5 52020B B11119 9D D5 52 24 41 1解析：选解析：选 A.A.设等比数列设等比数列 a an n 的公比为的公比为q q，因为，因为a a4 4a a2 2a a8 8，所以，所以(a a1 1q q)4 4a a1 1q qa a1 1q q，即，即 4 4q q1 1，1 1 n n1 11 1n n 所以所以q q 或或q q(舍舍)，所以所以a an n2 2，所所2 22 2 2 2 2 24 43 32 27 72 2以以 loglog2 2a an nl

5、oglog2 22 2n n，所以，所以(1(12 23 3n n1 1b bn n-3-3-n n)n n1 1n n2 22 2，所以，所以b bn nn n1 1n n 1 11 1 ，2 2 n nn n1 1 所以数列所以数列 b bn n 的前的前 1010 项和为项和为 1 1 1 11 1 2 2 1 1 2 2 2 23 3 1 1 20202 2 1 1.1111 1111 1 11 1 10101111 4 4假设等比数列的各项均为正数，假设等比数列的各项均为正数，前前 4 4 项的和项的和8181为为 9 9，积为，积为，那么前，那么前 4 4 项倒数的和为项倒数的和为

6、()4 43 3A A2 2C C1 19 9B B4 4D D2 2解析：解析：选选 D.D.设等比数列的首项为设等比数列的首项为a a1 1，公比为公比为q q，那么第那么第 2 2，3 3，4 4 项分别为项分别为a a1 1q q，a a1 1q q，a a1 1q q，依题意，依题意8181得得a a1 1a a1 1q qa a1 1q qa a1 1q q9 9，a a1 1a a1 1q qa a1 1q qa a1 1q q4 42 23 32 23 32 23 3-4-4-9 9a a1 1a a1 1q qa a1 1q qa a1 1q q1 1a a q q，两式相除

7、得，两式相除得2 23 32 2a a1 1q qa a1 12 21 13 32 23 31 1a a1 1q qa a1 1q q1 12 21 1a a1 1q q3 32.2.1 11 11 11 1n n5 5证明证明 1 1 n n (n nN N)，假假2 23 34 42 2 1 1 2 2设设n nk k时成立，时成立，当当n nk k1 1 时，时，不等式左边增加不等式左边增加的项数是的项数是()A A1 1C Ck kB Bk k1 1D D2 2k k解析：选解析：选 D.D.当当n nk k时，时，1 11 11 1左边左边1 1 k k.2 23 32 2 1 1当

8、当n nk k1 1 时，时，1 11 11 11 11 1左边左边1 1 k kk kk k1 1，2 23 32 2 1 12 22 21 11 11 1k k1 1k k增加了增加了k kk k1 1，共，共(2(21)1)2 2 1 12 22 21 12 2(项项)6 6在等差数列在等差数列 a an n 中，中，a a2 25 5，a a6 62121，记数列，记数列-5-5-k k 1 1 m m 的前的前n n项和为项和为S Sn n，假设假设S S2 2n n1 1S Sn n对任意的对任意的1515 a an n n nN N 恒成立，那么正整数恒成立，那么正整数m m的最

9、小值为的最小值为()A A3 3C C5 5B B4 4D D6 6*解析：选解析：选 C.C.在等差数列在等差数列 a an n 中，因为中，因为a a2 25 5，a a6 62121，a a1 1d d5 5，所以所以 解得解得a a1 11 1，d d4 4，a a1 15 5d d2121，1 11 1所以所以.a an n1 14 4n n1 14 4n n3 3 S SS SS SS S因为因为 2 2n n1 1n n2 2n n3 3n n1 1 1 1 1 11 11 1 a a2 2n n1 1 a an n1 1a an n2 2 1 11 11 1 a a2 2n n

10、3 3 a an n2 2a an n3 31 11 11 1a an n1 1a a2 2n n2 2a a2 2n n3 34 4n n1 18 8n n5 58 8n n9 9 1 11 1 1 11 1 00，所以数所以数 8 8n n2 28 8n n5 5 8 8n n2 28 8n n9 9-6-6-1 11 11 1列列 S S2 2n n1 1S S(n nN N)是递减数列，数列是递减数列，数列S S2 2n n1 1S S n n*n n 1 11 114141414(n nN N)的最大项为的最大项为S S3 3S S1 1 ，所以，所以5 59 945454545*1

11、414，m m.又又m m是正整数，所以是正整数，所以m m的最小值是的最小值是 5.5.15153 37 7(2022温州七杭联考(2022温州七杭联考)在各项都为正数的数在各项都为正数的数列列 a an n 中，首项中，首项a a1 12 2，且点，且点(a an n，a an n1 1)在直线在直线x x9 9y y0 0 上，上，那么数列那么数列 a an n 的前的前n n项和项和S Sn n等于等于()A A3 3 1 11 13 3C C2 2n nn n2 22 2m m1 13 3B B2 23 3n nn nD D2 22 2n n2 2解析：解析：选选 A.A.由点由点(

12、a a2 2，a an nn n1 1)在直线在直线x x9 9y y0 0 上，上，得得a an n9 9a an n1 10 0，即即(a an n3 3a an n1 1)()(a an n3 3a an n1 1)0 0，又又数列数列 a an n 各项均为正数，且各项均为正数，且a a1 12 2，所以，所以a an n3 3a an n2 22 2a an n3 3，所以数列，所以数列 a an n 1 100，所以，所以a an n3 3a an n1 10 0，即，即a an n1 1是首项是首项a a1 12 2，公比，公比q q3 3 的等比数列，其前的等比数列，其前n n

13、项项-7-7-a a1 11 1q q2 23 3 1 1n n和和S Sn n3 3 1 1，应选，应选1 1q q3 31 1A.A.8 8(2022高考浙江卷(2022高考浙江卷)设设a a，b bR R，数列，数列 a an n 满足满足a a1 1a a，a an n1 1a an nb b，n nN N，那么，那么()1 11 1A A当当b b 时，时，a a10101010B B当当b b 时，时，a a101010102 24 4C C当当b b2 2 时，时，a a10101010D D当当b b4 4 时，时，2 2*n nn na a101010101 11 12 2解

14、析：解析：选选 A.A.当当b b 时，时，因为因为a an n1 1a an n，所以所以2 22 21 11 12 27 7a a2 2，又，又a an n1 1a an n 2 2a an n，故，故a a9 9a a2 2(2)2)2 22 21 11 17 72 2(2)2)4 4 2 2，a a1010 a a9 93210.3210.当当b b 时，时，a an n2 24 4 1 1 2 21 11 11 1a an n a an n，故，故a a1 1a a 时，时，a a1010，所以，所以2 2 2 22 2 a a10101010 不成立同理不成立同理b b2 2 和和

15、b b4 4 时，均存时，均存在小于在小于1010的数的数x x0 0，只需只需a a1 1a ax x0 0，那么那么a a1010 x x0 0101010 不成立所以选不成立所以选 A.A.-8-8-9 9(2022嘉兴一中高考适应性考试(2022嘉兴一中高考适应性考试)设等差数设等差数列列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，假设，假设S S6 6 S S7 7 S S5 5，那么，那么a an n00的最大的最大n n_，满足，满足S Sk kS Sk k1 10 S S7 7 S S5 5，所以依题意所以依题意a a6 6S S6 6S S5 500，a a7 7

16、S S7 7S S6 6000，所以所以a an n00 的最大的最大n n6.6.1111a a1 1a a1111所以所以S S11111111a a6 600，2 21212a a1 1a a12121212a a6 6a a7 7S S121200，2 22 21313a a1 1a a1313S S13131313a a7 700，2 2所以所以S S1212S S131300，即满足即满足S Sk kS Sk k1 100 的正整数的正整数k k12.12.答案：答案：6 612122 2a an n1010数列数列 a an n 中，中，a a1 12 2，a an n1 1，那

17、么通，那么通2 2a an n-9-9-项公式项公式a an n_2 2a an n1 11 11 1解析：因为解析：因为a an n1 1，所以，所以 .2 2a an na an n1 1a an n2 2 1 1 1 11 1所以数列所以数列 是首项为是首项为，公差为，公差为 的等差数列，的等差数列，2 22 2 a an n 1 11 1n n1 1n n所以所以 (n n1)1)，a an na a1 12 22 22 22 21 11 1所以所以a an n.2 2n n答案：答案：2 2n n1111(2022丽水调研(2022丽水调研)设等差数列设等差数列 a an n 满足满

18、足a a3 3a a7 73636，a a4 4a a6 6275275，且，且a an na an n1 1有最小值，那么这有最小值，那么这个最小值为个最小值为_解析：设等差数列解析：设等差数列 a an n 的公差为的公差为d d，因为，因为a a3 3a a7 73636，所以所以a a4 4a a6 63636，a a4 41111，a a4 42525，与与a a4 4a a6 6275275，联立，联立，解得解得 或或 a a6 62525 a a6 61111，-10-10-a a4 41111，a a1 11010，当当 时，可得时，可得 此时此时a an n7 7n n a

19、a6 62525 d d7 7，1717，a a2 23 3，a a3 34 4，易知当，易知当n n22 时，时，a an n000，所以，所以a a2 2a a3 31212 为为a an na an n1 1的最的最小值；小值；a a4 42525，a a1 14646，当当 时，可得时，可得 此时此时a an n7 7n n a a6 61111 d d7 7，5353，a a7 74 4，a a8 83 3，易知当，易知当n n77 时，时，a an n00，当当n n88 时，时，a an n01212a an n1 1成立的成立的n n的最小值为的最小值为_解析：解析：所有的正奇

20、数和所有的正奇数和 2 2(n nN N)按照从小到大按照从小到大的顺序排列构成的顺序排列构成 a an n，在数列在数列 a an n 中，中，2 25 5前面有前面有 1616个正奇数，即个正奇数，即a a21212 2，a a38382 2.当当n n1 1 时，时，S S1 1112112a a2 22424，不符合题意；不符合题意；当当n n2 2 时，时，S S2 2312312a a3 33636，不符合题意；当，不符合题意；当n n3 3 时，时，S S3 3612612a a4 44848，不符合题意；当不符合题意；当n n4 4 时，时，S S4 410121012a a5

21、 56060，不符，不符21211 14141合题意；当合题意；当n n2626 时，时，S S26262 22 21 12 2 4414416262503125031254612a a2828540540，符合，符合1 12 2题意故使得题意故使得S Sn n1212a an n1 1成立的成立的n n的最小值为的最小值为 27.27.答案：答案：27271515(2022高考天津卷(2022高考天津卷)设设 a an n 是等差数列，是等差数列，其前其前n n项和为项和为S Sn n(n nN N)；b bn n 是等比数列，公比是等比数列，公比大于大于 0 0，其前，其前n n项和为项和

22、为T Tn n(n nN N)b b1 11 1，b b3 3b b2 22 2，b b4 4a a3 3a a5 5，b b5 5a a4 42 2a a6 6.(1)(1)求求S Sn n和和T Tn n；(2)(2)假设假设S Sn n(T T1 1T T2 2T Tn n)a an n4 4b bn n，求正，求正整数整数n n的值的值解：解：(1)(1)设等比数列设等比数列 b bn n 的公比为的公比为q q.由由b b1 11 1，*5 5b b3 3b b2 22 2，可得可得q q2 2q q2 20.0.因为因为q q00，可得，可得q q2 2，故，故b bn n2 21

23、 12 2n nn n所以，所以，T Tn n2 2 1.1.1 12 2设等差数列设等差数列 a an n 的公差为的公差为d d.由由b b4 4a a3 3a a5 5，可得可得-14-14-n n1 1.a a1 13 3d d4.4.由由b b5 5a a4 42 2a a6 6，可得可得 3 3a a1 11313d d1616，从而从而a a1 11 1，d d1 1，故，故a an nn n.所以，所以，S Sn nn nn n1 12 2.1 12 2(2)(2)由由(1)(1)，有有T T1 1T T2 2T Tn n(2(2 2 2 2 2)2 21 12 2 n n1

24、1n nn n2 2n n2.2.1 12 2由由S Sn n(T T1 1T T2 2 T Tn n)a an n 4 4b bn n可可 得得n nn nn nn n1 12 22 2n n1 1n n2 2n n2 2n n1 1，整理得，整理得n n3 3n n2 24 40 0，解得，解得n n1(1(舍舍)，或，或n n4.4.所以，所以，n n的值为的值为 4.4.3 32 21616数列数列 a an n 满足：满足：a a1 1，a an na an n1 1a an n1 1(n n222 2且且n nN)N)(1)(1)求求a a2 2，a a3 3；1 1(2)(2)设

25、数列设数列 a an n 的前的前n n项和为项和为A An n，数列，数列 a an n1 12 2-15-15-A An n3 3的前的前n n项和为项和为B Bn n，证明：，证明：a an n1 1.B Bn n2 29 93 31515解：解：(1)(1)a a2 2a aa a1 1 ，4 42 24 42 21 12252251515285285a a3 3a aa a2 2.16164 416162 22 2(2)(2)证明：因为证明：因为a an na an n1 1a an n1 1，所以，所以a an n1 1a an n2 22 2a an n1 1，2 22 22 2

26、所以所以A An na a2 2a aa aa a1 12 23 3n n(a a2 2a a1 1)(a a3 33 3a a2 2)(a an n1 1a an n)a an n1 1，2 2因为因为a an na an n1 1a an n1 1a an n1 1(a an n1 11)1)，1 1所以所以，a an na an n1 1a an n1 11 1a an n1 1a an n1 11 11 11 11 1所以所以，a an n1 11 1a an n1 1a an n1 11 11 11 11 1所以所以B Bn n()a a1 11 1a a2 21 1a an n1

27、1a a1 1a a2 22 21 1()()().a a2 2a a3 3a a3 3a a4 4a an na an n1 13 3a an n1 1-16-16-2 21 11 11 11 11 11 11 11 11 13 3a an n1 12 23 3A An n所以所以 a an n1 1.B Bn n2 21 12 23 3a an n1 11717设数列设数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n.S S2 24 4，a an n1 12 2S Sn n1 1，n nN N.(1)(1)求通项公式求通项公式a an n；(2)(2)求数列求数列|a an nn

28、 n2|2|的前的前n n项和项和 a a1 1a a2 24 4，a a1 11 1，解：解：(1)(1)由题意得由题意得 那么那么 又又 a a2 22 2a a1 11 1，a a2 23.3.*当当n n22 时，时，由由a an n1 1a an n(2(2S Sn n1)1)(2(2S Sn n1 11)1)2 2a an n，得，得a an n1 13 3a an n.所以，数列所以，数列 a an n 的通项公式为的通项公式为a an n3 3(2)(2)设设b bn n|3|3n n1 1*n n1 1，n nN N.*n n2|2|，n nN N，b b1 12 2，b b

29、2 21.1.n n1 1当当n n33 时，由于时，由于3 32 2，n n3.3.n n2 2，故，故b bn n3 3n n1 1n n设数列设数列 b bn n 的前的前n n项和为项和为T Tn n，那么，那么T T1 12 2，T T2 23.3.-17-17-当当n n33 时，时，9 91 13 3n n7 7n n2 2T Tn n3 3 1 13 32 23 3n nn n2 25 5n n1111，2 22 2，n n1 1，n n2 2所以所以T Tn n 3 3 n n5 5n n1111*，n n2 2，n nN N.2 2 1818(2022浙江“七彩阳光联盟联考

30、(2022浙江“七彩阳光联盟联考)在数在数 1 1 列列 a an n 中，中，a a1 12 2，a an n1 12 2 1 1 a an n.n n n n2 2(1)(1)求数列求数列 a an n 的通项公式；的通项公式；(2)(2)设设b bn n，数列，数列 b bn n 的前的前n n项的和为项的和为S Sn n，试，试2 2n na an n求数列求数列 S S2 2n nS Sn n 的最小值的最小值 1 1 a an n1 1a an n解：解：(1)(1)由条件由条件a an n1 12 2 1 1 a an n得得22，n n n n1 1n n a an n 又又a

31、 a1 12 2，所以所以 2 2，因此数列因此数列 构成首项为构成首项为 2 2，1 1 n n a a1 1-18-18-a an n公比为公比为 2 2 的等比数列，的等比数列，从而从而 2222n n1 12 2n n，因此，因此，n na an nn n22.1 11 1(2)(2)由由(1)(1)得得b bn n，设设c cn nS S2 2n nS Sn n，那么那么c cn nn nn n1 11 11 1，n n2 22 2n n1 11 11 11 1所以所以c cn n 1 1n n2 2n n3 32 2n n2 2n n1 11 1，2 2n n2 21 11 11 11 1从而从而c cn n1 1c cn n 2 2n n1 12 2n n2 2n n1 1 2 2n n2 21 11 10 0，2 2n n2 2n n1 1因此数列因此数列 c cn n 是单调递增的，所以是单调递增的，所以 c cn n minminc c1 11 1.2 2-19-19-n n