抽象代数自选题.pdf

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1、自选题目：自选题目：1、设G是一个群，证明：（1）在G中，阶大于 2 的元素的个数一定是偶数；（2）在G中，阶等于 2 的元素的个数与G的阶有相反的奇偶性。2、证明：6 阶交换群是循环群3、设N G，且G:N 2,证明NG。4、设 M，N 是群G的正规子群，证明：（1）MN NM；（2）MN是G的正规子群；（3）若M N e,那么MNN与M同构，且mn=nm,mM,nN.5、设p是一个素数，G是p的方幂阶的群，试证G的非正规子群的个数一定的p的倍数。6、证明 148 阶群G不是单群。7、设p是素数，则p2阶群G是 Abel 群。28、设G是p q阶群，p，q为不同素数。证明：G不是单群。9、设

2、G1，G2分别为n1，n2阶循环群，证明：G1G2 n2n1.10、若群中元素a的阶为m，元素b的阶为n，则当abba且m,n1时，有ab mn，即ab a b.11、设群中元素a的阶为n，证明as ats,nt,n.12、设H，G是群的两个正规子群，且二者的交为e，证明：H与G中的元素相乘时可换.113、设H是包含在群G的中心内的一个子群，证明：当G H是循环群时，G是交换群.14、证明：n 3时n2个3轮换123,124 12n是An的一组生成元。15、证明：同构意义下，6 阶群只有6与S3.16、设p为素数，证明：p2阶群G为Abel群.17、若 G 是由 a,b 生成的群，且abab=

3、e，a 3,b 4，证明：G 为 Abel 群。18、设 f：GH 是群同态，若 g 是 G 的一个有限阶元。试证:f(g)的阶整除 g 的阶。19、证明：任意一个群 G，都不能被它的两个真子群覆盖。20、设 M G,N G。若 MN=e,证明：aM,b N,有ab ba.21、设G是一个群，而u是G中任意一个固定的元素。证明：G对新运算ab aub也作成一个群。22、证明：1）在一个有限群里，阶数大于2 的元素的个数一定是偶数。2）偶数阶群中阶等于2 的元素的个数一定是奇数。23、证明：交换群中所有有限阶元素作成一个子群。对非交换群如何24、设H,K分别是群G的两个m与n阶子群，证明：若(m

4、,n)1,，则H K e.2325、设H是群G的一个子群，aG，证明：aHa1 G,且H aHa1。26、证明：若群G的n阶子群有且只有一个，则此子群必为G的正规子群。27、Sn12,13,1n或Sn12,23,n1n28、Anrsk1 r,s,k n,r,s,k互不相同29、令 G 是实数对（a,b），a0 的集合，在G 上定义（a,b）（c,d）=(ac,ad+b)，试证 G 是2v1.0 可编辑可修改群。1k30、设 G 是一个群，a,bG，证明：(bab)=baba a.1k31、证明：任何群都不能是两个真子群的并。32、试证A4没有 6 阶子群。33、设群 G 作用在集合上，令 t

5、表示在 G 上的作用下的轨道个数，对任意gG，f(g)表示在 g 作用下的不动点个数。试证：f(g)tG。gG34、设m,n是大于 1 的奇数，(Zm Zn,)是循环群。35、一个有限群的每个元素的阶都有限.36、假如a和b是一个群G的两个元，并且ab=ba，又假定a m，b n，且m,n1.证明：a,b mn.37、设f是群G到群G的同态，a,bG证明：fa fb akerf bkerf.38、设G是群，G是交换群.f是G到G的同态，且kerf N G.证明:N G.39、设H是群G的子集.证明：若关于H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，则H G.40、设P是有限群G的一个sylow p

6、子群，又H G，证明：若p不能整除G:H，则P H.41、设G是群.GjG,j 1,2.G G1G2且N G.证明：G42、证明 6 阶群必存在一个 3 阶子群。NG1NG2.43、举例说明若，不一定有。3v1.0 可编辑可修改44、，证明。45、，证明。46、证明有限群 G 有唯一Sylow p-子群 L 的充要条件是47、设48、设，若存在，且，使得，则。，有。，是单位元，则对任何49、证明交换群的商群是交换群。50、设 是循环群，是 与的满同态，证明也是循环群。51、证明交换群 中所有有限阶的元素构成 的一个子群52、当时，试证 n-2 个 3 轮换，若存在，,使得是的生成元。，则53、

7、设 作用在集合 上，对任意54、设55、设,，其中均为素数，。证明：是循环群。是群，证明：56、设 m、n 是大于 1 的奇数，(Zm Zn,)是循环群，证明（m，n）=157、证明：有理数加群Q与非零有理数乘群Q不同构.58、设G作用在 集合上，对 任意a，b，若存在g使ga b，Ga g1Gbg。换句话说，同一轨道中元素的固定子群彼此共轭。59、设p是一个素数，G是p的方幂阶的群。试证G的非正规子群的个数一定是p的倍数。60、试证 200 阶群G一定含有一个正规的西罗子群。61、证明；p阶群必是交换群，其中 P 是一个素数2462、凡 200 阶群都不是单群63、指数为 2 的子群必是正规

8、子群64、设 G 是 n 阶群（P 是素数），证明：若 np,则 G 有 p 阶正规子群65、设 H,K 是群 G（未必有限）的两个 p-子群。且 KG，证明；HK 也是 G 的一个 p-子群66、若群G的n阶子群有且只有一个,则此子群必为G的正规子群.67、设G为群,又HG,且G:H m,证明G中任意元素a都有amH.n68、若a,n都是正整数且a与n互素，则a69、设G是群，H1modn。G,K G,且a,bG，使aH bH，证明：K H70、设G是群,H是G的正规子群,G:H n,证明:对于任意的aG都有an H.71、设G和G分别是阶为m和n的有限循环群,证明:存在G到G的满同态的充要条件是n|m.16、试求出4次交代群A4的所有 sylow 子群.5