《现代控制理论》第3版课后习题答案.pdf

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1、仅供个人参考现代控制理论参考答案现代控制理论参考答案第一章答案第一章答案1-1 试求图 127 系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：令(s)y，则y x1所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为12 有电路如图 1-28 所示。以电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压作为输出量的输出方程。解：由图，令i1 x1,i2 x2,uc x3，输出量y R2x2R1x1 L1x1 x3 u有电路原理可知：L2x2 R2x2 x3x1 既得R111x1x3uL1L1L1R21x2x3L2L2

2、x2 x3 x1 x2C x311x1x2CCy R2x2写成矢量矩阵形式为：14 两输入u1,u2，两输出y1，y2的系统，其模拟结构图如图1-30 所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵.解：系统的状态空间表达式如下所示：15 系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解：令x1 y，x2 y，x3 y，则有相应的模拟结构图如下：1-6(2)已知系统传递函数W(s).6(s 1)，试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图s(s 2)(s 3)21016(s 1)4333解：W(s)s(s 2)(s 3)2(s 3)2s 3s 2s1-7

3、 给定下列状态空间表达式不得用于商业用途仅供个人参考1 010 x10 xx 2 230 x21u 3x113x32x1y 001x2x3（1）画出其模拟结构图（2）求系统的传递函数解:0 s10(2）W(s)(sI A)2s 311s 318 求下列矩阵的特征矢量10 002（3）A 3127601 2362116 0解：A 的特征方程I A 31276解之得:1 1,2 2,3 310 p11 0p1102p21 p21当1 1时，31276p31p31p11 1 解得：p21 p31 p11令p111得P1p211p311p111(或令p11 1,得P1p211）p311 10 p12

4、0p1202p22 2p22当1 2时，31276p32p32p12 2 1解得：p22 2p12,p32p12令p12 2得P2p22 42p321 不得用于商业用途仅供个人参考p121（或令p121，得P2p22 2）1 p32 2 10 p13 0p1302p23 3p23当1 3时，31276p33p33p13 1 解得：p23 3p13,p33 3p13令p131得P3 p23 3p333 1-9 将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）141 2x131xx 2102x227u3x113 x353(2）x1y1201y011x22x32 41 2(1)(3)2 0解：A 的特

5、征方程I A 113141 2p11p112p21 3p21当1 3时，10113 p31p31p111 解之得p21 p31 p11令p111得P1p211p31141 2p11p1112p21 3p211当2 3时，10 113 p31p311p121 解之得p12 p221,p22 p32令p121得P2 p22 0 p32041 2p13p132p23p23当31时，10113 p33p33不得用于商业用途仅供个人参考解之得p13 0,p23p1302 p33令p331得P3p232 p331约旦标准型110 已知两系统的传递函数分别为W1（s)和 W2（s)试求两子系统串联联结和并联

6、连接时，系统的传递函数阵,并讨论所得结果解:（1）串联联结(2）并联联结1-11（第 3 版教材）已知如图 1-22 所示的系统，其中子系统1、2 的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：111(第 2 版教材）已知如图 1-22 所示的系统，其中子系统1、2 的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解:112 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u 的系数 b(即控制列阵)为（1)b 解法 1：解法 2：求 T，使得T1B 得T1所以，状态空间表达式为11111111所以T 0101第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数eAt。11（2）A=41解：第一种

7、方法：令I A 02则1411 0，即14 0。求解得到1 3，2 1当1 3时，特征矢量p1p11p21由Ap11p1,得不得用于商业用途11 p113p11p3p412121仅供个人参考即p11 p213p111,可令p1 24p11 p213p21p12p22当2 1时,特征矢量p211p12p12由Ap22p2，得pp412222即p12 p22 p12 1，可令p224p12 p22 p221 4141211 1T则T，2212第二种方法，即拉氏反变换法:第三种方法，即凯莱哈密顿定理由第一种方法可知1 3,2 125 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A 阵

8、。2ete2t（3）tt2tee11t3tt3teeee2tt22e2e 4（4）t 2tt1t3t2eeete3tee2解：（3)因为010 I,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件01（4）因为010 I,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件012-6 求下列状态空间表达式的解:初始状态x0,输入ut时单位阶跃函数。11解：A010001因为B ，ut It2-9 有系统如图 2.2 所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0。1s 和 1s，而u1和u2为分段常数.图 2.2系统结构图不得用于商业用途仅供个人参考解:将此图化成模拟结构图列出状态方程则离散时间状态空间表达式为由GTe

9、At和HTT0eAtdtB得：k1e10 e10当 T=1 时xk 1ukxk 111e11kek1e0.10 e0.10uk当 T=0。1 时xk 1xk0.10.1ke0.90.111e第三章习题3-1 判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中 a,b，c，d 的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？(1)系统如图 3。16 所示:解:由图可得：状态空间表达式为:由于x2、x3、x4与u无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y只与x3有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。（3）系统如下式：解：如状态方程与输出方程所示，A 为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵

10、 b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为 0，故有a 0,b 0。要使系统能观，则 C 中对应于约旦块的第一列元素不全为 0,故有c 0,d 0.32 时不变系统试用两种方法判别其能控性和能观性。解:方法一：方法二：将系统化为约旦标准形。1211-1T，T 11-121 212T-1B中有全为零的行，系统不可控。CT中没有全为 0 的列，系统可观。3-3 确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数i和i不得用于商业用途仅供个人参考解：构造能控阵:要使系统完全能控，则11 2,即121 0构造能观阵：要使系统完全能观,则12 1,即121 034 设系统的传递函数是(1）当 a 取何值

11、时，系统将是不完全能控或不完全能观的？(2）当 a 取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。（3）当 a 取上述值时,求使系统的完全能观的状态空间表达式。解：(1）方法 1：W(s)y(s)s au(s)(s 1)(s 3)(s 6)系统能控且能观的条件为 W（s)没有零极点对消。因此当 a=1，或 a=3 或 a=6 时,系统为不能控或不能观.方法 2：系统能控且能观的条件为矩阵 C 不存在全为 0 的列.因此当 a=1,或 a=3 或 a=6 时，系统为不能控或不能观。（2）当 a=1，a=3 或 a=6 时，系统可化为能控标准 I 型（3)根据对偶原理,当 a=1，a=2 或 a

12、=4 时，系统的能观标准 II 型为3-6 已知系统的微分方程为：y 6 y11y 6y 6u试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数.解：a0 6，a111，a2 6，a3 3，b0 6系统的状态空间表达式为传递函数为其对偶系统的状态空间表达式为：传递函数为W(s)6s36s211s 6.39 已知系统的传递函数为试求其能控标准型和能观标准型。s2 6s 82s 512解：W(s)2s 4s 3s 4s 3系统的能控标准 I 型为能观标准 II 型为3-10 给定下列状态空间方程,试判别其是否变换为能控和能观标准型。不得用于商业用途仅供个人参考10 00，b 1，C 001 230解:A

13、 11323-11 试将下列系统按能控性进行分解1210,b 0,C 11 1010（1)A 0 43 1解：M b01 4rankM=23，系统不是完全能控的。AbA2b 0009 13010，R Ab 0，R 1，其中R是任意的,只要满足R满秩。0构造奇异变换阵Rc:R1 b 3c23 13 0010 301得R1100001即Rcc130010312 试将下列系统按能观性进行结构分解1210,b 0,C 11 1010（1）A 0 43 11210,b 0,C 11 1010解：由已知得A 0 43 1C111则有N CA2322CA474rank N=23，该系统不能观111232构造

14、非奇异变换矩阵R01,有R01001311210则R0001 不得用于商业用途仅供个人参考313 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解 100（1）A 2231,b 2,C 1 1201 22解：由已知得M AAbAb2111 21226220rank M=3,则系统能控rank N=3，则系统能观所以此系统为能控并且能观系统317 111 44取Tc221226，则T1c2713220253144002 则A 1051，B T1c2b 0，c cTc72014 0314 求下列传递函数阵的最小实现。(1)ws1 1 1s11 1解:1 110 01,B0，1 1Ac01B101 100c

15、01,Cc1 1，Dc00系统能控不能观取R11111001，则R001所以A R1AR 10，B R1B 1100010c01CC R 100，10D00c00不得用于商业用途2313仅供个人参考1，D1，B1 1，C00所以最小实现为Ammmm100 sI A验证:Cmm11 1 1 wsBm1 1s13-15 设1和2是两个能控且能观的系统（1）试分析由1和2所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数;（2)试分析由1和2所组成的并联系统的能控性和能观性,并写出其传递函数。解：（1）1和2串联当1的输出y1是2的输入u2时，x3 2x3 2x1 x20 010 x1u，y 001

16、 xx 340 2120则 rank M=23,所以系统不完全能控。当2得输出y2是1的输入u1时 011 0 x0u，y 210 xx 341 0021因为M bAb001 016A2b 124rank M=3则系统能控 c 210321cA因为N 2cA 654rank N=20）。c 10解：因为N 满秩,系统能观，可构造观测器。cA011012系统特征多项式为detI A det,所以有a1 0,a0 0,L 100001于是x T1ATx T1bu x u 100g1引入反馈阵G，使得观测器特征多项式：g2根据期望极点得期望特征式：比较f与f*各项系数得：2r2012r2 3r 即G

17、，反变换到 x 状态下G TG 2r2103r3r观测器方程为:不得用于商业用途仅供个人参考仅供个人用于学习、研究仅供个人用于学习、研究;不得用于商业用途。不得用于商业用途。For personal use only in study and research;not for commercial use.Nur fr den persnlichen fr Studien，Forschung,zu kommerziellen Zwecken verwendet werden。Pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles；pas des fins commerciales.，,.以下无正文以下无正文不得用于商业用途