2017高等数学下试题及参考答案.pdf

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1、华南农业大学期末考试试卷（华南农业大学期末考试试卷（A A 卷）卷）2016201720162017 学年第学年第 2 2 学期学期考试科目：高等数学考试科目：高等数学 A A考试类型：考试类型：（闭卷）考试（闭卷）考试考试时间：考试时间：120120分钟分钟学号姓名年级专业装题号题号得分得分评阅人评阅人一一二二三三四四总分总分订得分得分一一、填空题填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1二元函数z ln(y22x1)的定义域为。线2.设向量a (2,1,2)，b (4,1,10)，c ba，且a c，则。3经过(4,0,2)和(5,1,7)且平行于x轴的平面方程为。4设u xyz，则

2、du。5级数(1)nn11，当p满足条件时级数条件收敛。pn得分得分二、单项选择题单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1微分方程2(xy x)y y的通解是（）Ay Ce2xBy2 Ce2xCy2e2y CxDe2y Cxy2求极限A2xy4lim（）(x,y)(0,0)xy1111BCD22443直线L:xyz和平面:3x2y7z 8 0的位置关系是（）327A直线L平行于平面B直线L在平面上1.C直线L垂直于平面D直线L与平面斜交4D是闭区域(x,y)|a2 x2 y2 b2，则x2 y2d（）D243A(b3a3)B(b3a3)C(b3a3)D(b3a3)33225下列级数

3、收敛的是（）11n11ABCD23n(n1)n1n 1n1(n1)(n4)n12n1n1得分得分三、计算题计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1.求微分方程y y ex满足初始条件x 0，y 2的特解。2.计算二重积分Dx ydxdy，其中D(x,y)x2 y21,x y 1。22x y3设z z(x,y)为方程2sin(x2y3z)x4y3z确定的隐函数，求.zz。xy装订线4.求曲线积分(x y)dx (x y)dy，其中L沿x2 y2 a2(x 0,y 0)，逆时针方L向。5.计算y51 x2 y6dxdy，其中D是由y 3x，x 1及y 1所围成的区域。D6判断级数(1)nn

4、n11的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。n1n7将函数1(1 x)(2 x)展开成x的幂级数，并求其成立的区间。3.得分得分四、解答题四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）1抛物面z x2 y2被平面x y z 1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。(1)nnxn2.求幂级数的和函数。(n1)!n13.设函数f(x)和g(x)有连续导数，且f(0)1，g(0)0，L为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L围成的平面区域为D，已知求f(x)和g(x)。.Lxydxyf(x)g(x)dy yg(x)d，D装订1.5CM线华南农业大学期末考试试卷（华南农业大

5、学期末考试试卷（A A 卷）卷）2016201720162017 学年第学年第 2 2 学期学期考试科目：高等数学考试科目：高等数学 A A参考答案参考答案一一、填空题填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1(x,y)|y22x1 02339y z 2 04yzxyz1dx zxyzln xdy yxyzln xdz50 p 1二、单项选择题单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1C2C3C4B5A三、计算题计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1.求微分方程y y ex满足初始条件x 0，y 2的特解。解：先求y y 0的通解，得y Cx1e2 分采用常数变易法，

6、设y h(x)ex，得y h(x)exh(x)ex3 分代入原方程得h(x)exh(x)exh(x)ex ex4 分得h(x)12e2xC5 分故通解为y 1exCex26 分将初始条件x 0，y 2带入得C 3，故特解为y 1ex3ex2227 分2.计算二重积分x yx2 y2dxdy，其中D(x,y):x2 y21,x y 1。D解：设x rcos,y rsin1 分则0 12,sincos r 13 分所以x y21rcosrsin22dxdy d12rdr5 分Dx y0sincosr20(sincos1)d6 分427 分5.3.设z z(x,y)为方程2sin(x2y3z)x4y

7、3z确定的隐函数，求解：设F(x,y,z)x4y3z 2sin(x2y3z)1 分zz。xyFx12cos(x2y 3z),Fy 44cos(x2y 3z),Fz 36cos(x2y 3z)4 分FFz2cos(x2y3z)1z4cos(x2y3z)46 分 x,yxFz312cos(x2y3z)yFz312cos(x2y3z)所以zz17 分xy4.求曲线积分(x y)dx (x y)dy，其中L沿x2 y2 a2(x 0,y 0)，逆时针L方向。解：圆的参数方程为：x acost,y asint(0 t 2)1 分(x y)dx (x y)dy L20(acost asint)dacost

8、 2(acost asint)dasint3 分0 a220(cos2t sin2t)dt4 分a22sin2t cos2t06 分2 a27 分（本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解）5.计算y51 x2 y6dxdy，其中D是由y 3x，x 1及y 1所围成的区域。D解：D(x,y)|3x y 1,1 x 11 分526526y1 x y dxdy dxy1 x y dy2 分3D1x1131212621(1 x y)3xdx4 分631.装订线 1911(|x|31)dx5 分 21(x3901)dx6 分167 分6.判断级数(1)nn1的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。n1

9、n1n解：(1)nn1n1n1nn1n1 分1n(n )3 分所以级数发散。4 分又(1)nnn11n(1)n(111n1)n5 分(1)n(1)n1n(n1)n6 分显然，交错级数(1)n，(1)nn1n都收敛，所以原级数收敛。因此是条件n1(n1)n收敛。7 分7.将函数1(1 x)(2 x)展开成x的幂级数，并求其成立的区间。解：1(1 x)(2 x)11 x12 x2 分而11 xxn,|x|13 分n011xx212(2)22 x(|x|2)4 分所以11 x x2(1 x)(2 x)121xx2(2)25 分7.(1n01n)x6 分n12成立范围|x|17 分四、四、解答题解答题

10、（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）1.抛物面z x2 y2被平面x y z 1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。解：设椭圆上任一点P的坐标为P(x,y,z)，P点满足抛物面和平面方程。原点到这椭圆上任一点的距离的平方为x2 y2 z2，1 分构造拉格朗日函数F x2 y2z2(x2 y2z)(x y z 1)2 分Fx 2x2x 0F 2y2y 0yF 2z 04 分zF x2 y2 z 0F x y z 1 01解得x(13)5 分213131313(,23),P (,23)得两个驻点为P12222222226 分所以最短距离为95 3，最短距离为95 37 分(

11、1)nnxn2.求幂级数的和函数。(n1)!n1xn(1)nxnx解：因为e，所以e，1 分n!n!n0n0 x(1)nnxn(1)n(n11)xnS(x)2 分(n1)!n0(n1)!n0(1)nxn(1)nxn3 分n!(n1)!n0n0.(1)nxn ex4 分n!n0装订线(1)nxn1(1)nxn11(1)n1xn1n0(n1)!xn0(n1)!xn0(n1)!1(x1)nxnn!1 x(1)nxn!1(x 0)5 分n1n0n11(1)nxn11xxxen0n!xx所以S(x)ex1x(1ex)(x 0)故S(x)ex1x(1ex)(x 0)6 分当x 0时，S(x)0。7 分另解

12、：(1)nnxn1(1)n当x 0时，n1(n1)!xnxn11n1(n1)!xn1(1)nx(n1)!0 xndxn11xx0(1)nxn1xn1n1(1)x(n1)!dx x0 xn1(n1)!dx1x(1)nxn x0 xdxn0n!1xx0 xexdx1xx0 xdex1xexexx1 ex1ex1xx当x 0时，S(x)0。3.设函数f(x)和g(x)有连续导数，且f(0)1，g(0)0，L为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L围成的平面区域为D，已知Lxydxyf(x)g(x)dy yg(x)d，D9.求f(x)和g(x)。解：由格林公式得yf(x)g(x)xdxdy yg(x)dxdy2 分DD即yf(x)g(x)x yg(x)dxdy 03 分D由于区域的任意性，yf(x)g(x)x yg(x)04 分又由于y的任意性，有f(x)g(x)，g(x)x5 分x2又由f(0)1，g(0)0得，g(x)6 分2x3所以f(x)17 分6.