2021_2022学年高中数学第2章解析几何初步11.5平面直角坐标系中的距离公式学案北师大版必修2.pdf

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1、.1 15 5平面直角坐标系中的距离公式平面直角坐标系中的距离公式学 习 目 标1.掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式、点到直线的距离公式，并能简单应用(重点)2.能准确求出两平行直线间的距离.3.会用解析法证明几何问题(难点)核 心 素 养1.通过学习平面中两点间，点到直线及平行线间的距离提升数学抽象素养.2.通过距离公式的简单应用，培养数学运算素养.1两点间的距离公式一般地，假设两点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么有两点A，B间的距离公式，|AB|x2x1 y2y1.2点到直线的距离公式点P(x0，y0)，直线l的方程是AxByC0，那么点P到直线l的距离公式是

2、d|Ax0By0C|.22AB思考：点到直线的距离公式对于A0 或B0 时的直线是否仍然适用？提示：仍然适用，当A0，B0 时，直线l的方程为ByC0，22C|By0C|C即y，dy0，适合公式BB|B|C|Ax0C|C当B0，A0 时，直线l的方程为AxC0，x，dx0，适合AA|A|公式3两平行线间的距离公式|C1C2|两条平行直线l1：AxByC10，与l2：AxByC20 之间的距离d22.AB|AC|1A(1,0)，B(5,6)，C(3,4)，那么的值为()|CB|1A.3C3D由两点间的距离公式，得|AC|31 40 4 2，221B.2D2下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

3、.|AC|4 222|CB|53 64 2 2，故2.|CB|2 22点(1，1)到直线xy10 的距离是()A.3 22B.223C.2Ad|111|3 2.2221 11D.23分别过点A(2,1)和点B(3，5)的两条直线均垂直于x轴，那么这两条直线间的距离是_5d|3(2)|5.两点间的距离公式【例 1】(1)假设x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5，3)到原点的距离相等，那么点M的坐标为()A(2,0)B(1,0)D(34，0)3C.，02(2)直线 2xmy20(m0)与两坐标轴的交点之间的距离为_(1)D(2)412(m0)(1)设点M(x,0)(x0)，由题意可知，mx20

4、2 5232，解得x 34.2(2)直线 2xmy20 与x轴的交点为(1,0)，与y轴的交点为0，所以两交点m2之间的距离为2210 0m412(m0)m使用两点间距离公式要注意构造特点，公式与两点的先后顺序无关，使用于任意两点P1x1，y1，P2x2，y2，但对于特殊情况结合图形求解会更便捷.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.1点A(1,2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|PA|PB|，并求|PA|的值解设所求点P(x,0)，于是由|PA|PB|得x1 02 x2 0 7，即x2x5x4x11，解得x1.所以，所求P点坐标为(1,0)，|PA|11 02 2 2.222222

5、22【例 2】求点P(1,2)到以下直线的距离：(1)l1：yx3；(2)l2：y1；(3)y轴点到直线的距离公式思路探究解答此题可先将直线方程化为一般式，然后直接用点到直线的距离公式求解解(1)将直线方程化为一般式为xy30.由点到直线的距离公式，得d|123|1122 2.|21|0 12(2)法一：直线方程化为一般式为y10，由点到直线的距离公式，得d法二：y1 平行于x轴，由图知，d|2(1)|3.23.|100|(3)法一：y轴的方程为x0，由点到直线的距离公式，得d1.221 0法二：由图可知，d|10|1.应用点到直线的距离公式应注意以下问题：1直线方程应为一般式，假设给出其他形

6、式，应化成一般式，再用公式；下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.2当点Px0，y0在直线上时，d0；3点Px0，y0到直线xa的距离d|x0a|；,点Px0，y0到直线yb的距离d|y0b|.2假设点(2，k)到直线 5x12y60 的距离是 4，那么k的值是_17|5212k6|3 或4，|1612k|52，2235 1217k3 或k.3探究问题两平行线间的距离公式1能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离，如何转化？提示：能，由于一条直线上任意一点到另一条直线的距离都是两条平行直线间的距离，所以只要在一条直线上找到一个点，求这点到另一条直线的距离即可2l1：AxByC10，l2：

7、AxByC20，如何推导出l1与l2的距离公式呢？提示：由l1与l2的方程可知直线l1l2，设P0(x0，y0)是直线AxByC20 上任一点，|Ax0By0C1|那么点P0到直线AxByC10 的距离为d.又Ax0By0C20，即Ax0By0A2B2|C1C2|C2，d22.AB【例 3】直线l1与l2的方程分别为 7x8y90,7x8y30，直线l平行于l1，直d11线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且 ，求直线l的方程d22思路探究设P为l上任一点，根据点到直线的距离公式求出d1，d2，代入d22d1，化简求解解设P(x，y)为l上任一点|7x8y9|7x8y3|那么d1，d.

8、222227 87 8d11由 ，即d22d1，得d22|7x8y3|2|7x8y9|.7x8y32(7x8y9)或 7x8y32(7x8y9)化简得l的方程为 7x8y210 或 7x8y50.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.求两条平行直线间的距离有两种思路：,1转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线|C1C2|的距离；,2利用公式d22求解，但需注意两直线方程都化为一般式，且x，y的系数AB对应相等.3直线 3x4y30 与直线 6xmy140 平行，那么它们之间的距离是()A11C.2B2D46m14B ，m8，直线6xmy140 可化为 3x4y70，两平行线之间的343|

9、37|距离d2.223 41 点到直线的距离即是点与直线上的点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式当直线与坐标轴垂直时可直接求之2利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰|C1C2|3两平行直线，其距离可利用公式d2求解，也可在直线上取一点，转化为点到AB2直线的距离1思考辨析(1)直线l：AxByC10 到l2：AxByC20 的距离是|C1C2|.()()()(2)点到直线的距离公式不适用于点在直线上的情形(3)原点到直线AxByC0 的距离公式是|C|AB22.(4)求平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公

10、式()答案(1)(2)(3)(4)2点A(2，1)，B(a,3)，且|AB|5，那么a的值为()A1B5下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.C1 或522D1 或 5C由|AB|2a 13 5a1 或a5.3P，Q分别为直线 3x4y120 与 6x8y60 上任意一点，那么|PQ|的最小值为_3直线 6x8y60 可变为 3x4y30，由此可知两条直线平行，它们的距离d|123|3，|PQ|最小值为d3.223 44求与直线l：5x12y60 平行且到l的距离为 2 的直线方程解设所求直线的方程为 5x12yC0，1在直线l上取点0，2121C25 1222由点到直线的距离公式得2解得C32 或C20.，故所求直线的方程为 5x12y320 或 5x12y200.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。