2021_2022学年高中数学第3章圆锥曲线与方程33.1双曲线及其标准方程学案北师大版选修2_1.pdf

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1、.3.13.1双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程学习目标：1.掌握双曲线的定义及其应用(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其推导过程(难点)3.会求双曲线的标准方程(易混点)1双曲线的定义我们把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距思考：定义中为何强调“绝对值和“02a|F1F2|？提示(1)双曲线的定义中假设没有“绝对值，那么点的轨迹就是双曲线的一支，而双曲线是由两个分支组成的，故定义中的“绝对值不能去掉在双曲线的定义中，条件02a|F1F2|不应无视，(2)假设 2

2、a|F1F2|时，轨迹不存在2双曲线的标准方程标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上x2y2 1a2b2(a0，b0)y2x2 1a2b2(a0，b0)焦点焦距F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)|F1F2|2ca，b，c的关系c2a2b21.判断正误(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线()()()x2y2(2)在双曲线标准方程221 中，a0，b0 且ab.ab(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是ab.答案(1)(2)(3)2两定点F1(3，0)，F2(3，0)，在满足以下条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是()下载后可

3、自行编辑修改，页脚下载后可删除。.A|PF1|PF2|5C|PF1|PF2|7B|PF1|PF2|6D|PF1|PF2|0A AA 中，|F1F2|6，|PF1|PF2|5|F1F2|，动点P的轨迹不存在；D 中，|PF1|PF2|0，即|PF1|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，应选 A.3双曲线方程为x2y1，那么它的右焦点坐标为()A.22256，0 B.，0C.，0 D.(3，0)2222C C将双曲线方程化为标准形式x 1，12162222所以a1，b，cab，22右焦点坐标为y26，0.2x2x2y24双曲线的a5，c7，那么该双曲线的标准

4、方程为_x2251 或1a5，c7，b24 所以该双曲线的标准方程为2425242524y2y221 或1.2524y2x2用待定系数法求双曲线的标准方程9【例 1】(1)双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，4 2)和，5，求双曲线4的标准方程；(2)求与双曲线 1 有公共焦点，且过点(3 2，2)的双曲线方程164329ab1，a16，yx解(1)设所求双曲线方程为 1(a0，b0)，那么解得abb9，2581a16b1，2222222222x2y2双曲线的标准方程为 1.169y2x2x2y2(2)法一：设所求双曲线方程为221(a0，b0)，ab下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删

5、除。.由题意易求得c2 5.3 24又双曲线过点(3 2，2)，21.22ab又ab(2 5)，a12，b8.故所求双曲线方程为 1.128法二：设双曲线方程为1(4k16)，16k4k将点(3 2，2)代入得k4，所求双曲线方程为 1.128待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式：假设不知道焦点的位置，那么进展讨论，或设双曲线的方程为AxBy1(AB0，b0)共焦点的双曲线的标准方程可设为21(abakb2kb2k0，b0)，由于点ab92251，a16b1516a16，P3，和Q，5在双曲线上，所以解

6、得(舍去)43b9，256259ab1，222222下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.y2x2假设焦点在y轴上，设双曲线的方程为221(a0，b0)，将P，Q两点坐标代入可得ab225916ab1，25256a9b1，2222a9，y2x2解得2所以双曲线的标准方程为 1.916b16，2综上，双曲线的标准方程为 1.916y2x2x2y2法二：设双曲线方程为 1(mn0，b0)abab6，2a5，那么有254解得2b1，221，ab所求双曲线的标准方程为 y1.5法二：焦点在x轴上，c 6，22x22x2y2设所求双曲线方程为1(00，b0)，那么ab20.ab下载后可自行编辑修改，

7、页脚下载后可删除。.182又双曲线过点(3 2，2)，221.aba202 10，b2 10.所求双曲线的标准方程为1.202 102 10用定义法求双曲线的标准方程222222x2y2圆心M的轨迹方程【例 2】动圆M与圆C1：(x4)y2 外切，与圆C2：(x4)y2 内切，求动圆思路探究利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解解如图，设动圆M的半径为r，那么由|MC1|r 2，|MC2|r 2，|MC1|MC2|2 2.又C1(4，0)，C2(4，0)，|C1C2|8，2 2|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(4，0)，C2(4，0)为焦点的双曲

8、线的右支a 2，c4，bca14，点M的轨迹方程是 1(x 2)2141此题易忽略|MC1|MC2|2 2没有“绝对值，导致忘加“x 2这个限制条件2求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，假设是一支，是哪一支，需用变量的范围确定12在ABC中，B(4，0)，C(4，0)，动点A满足 sinBsinC sinA求点A的轨2迹下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。222x2y2.11解在ABC中，sinBs

9、inC sinA，|AC|AB|BC|.又B(4，0)，C(4，220)，|BC|8.|AC|AB|4|BC|.点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支(除去与B，C共线的一点)其方程为 4x2y2121(x2)探究问题双曲线定义的应用x2y2如下图，F1，F2分别为双曲线221 的左，右焦点，点M为双曲线上一点，并且F1MF2ab.(1)点M与F1，F2之间存在怎样的等量关系？假设点M在双曲线的右支上，那么|MF2|应满足什么条件？提示点M与F1，F2之间的等量关系为：|MF1|MF2|2a；当点M在双曲线的右支上时，|MF2|ca.(2)如何求MF1F2的面积？提示在MF1F2中，由余弦定

10、理，得|F1F2|MF1|MF2|2|MF1|MF2|cos.|F1F2|4c，|MF1|MF2|(|MF1|MF2|)2|MF1|MF2|4a2|MF1|MF2|，式化为 4c4a2|MF1|MF2|(1cos)，2b|MF1|MF2|，1cos1SMF1F2|MF1|MF2|sin2222222222222bsin1cos2b22sincos22112sinb2.22tan2下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.【例 3】假设F1，F2是双曲线 1 的两个焦点916x2y2(1)假设双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)如图，假设P是双曲线左支上的

11、点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积思路探究(1)利用双曲线的定义求解；(2)先求出|PF1|PF2|2a；再利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的1关系式，求出|PF1|PF2|的值，代入SPF1F2|PF1|PF2|sinF1PF2求得面积2解双曲线的标准方程为 1，故a3，b4，cab5.916(1)由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于 16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，那么|16x|6，解得x10 或xM到另一个焦点的距离为 10 或 22.(2)将|PF2|PF1|2a6 两边平方得|PF1|

12、PF2|2|PF1|PF2|36，|PF1|PF2|362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中，由余弦定理得|PF1|PF2|F1F2|100100cosF1PF20，且F1PF2(0，180)，F1PF22|PF1|PF2|23290，11SF1PF2|PF1|PF2|3216.221.(变条件)假设本例(1)中条件“距离等于 16”改成“距离为 7”，求点P到F2的距离解由双曲线的标准方程 1，916得a3，b4，c5.由双曲线定义得|MF1|MF2|2a6，|7|MF2|6，解得|MF2|1 或|MF2|13.又因为|MF2|532，故|MF2|1 舍去，所以|MF2|13

13、.2.(变条件)假设本例(2)条件“|PF1|PF2|32”改成“|PF1|PF2|25”其它条件不变，求F1PF2的面积2222222x2y222x2y2下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.解由|PF1|PF2|25|PF2|PF1|6，可知|PF2|10，|PF1|4，SF1PF2144 68 6.23.(变条件)假设本例(2)条件“|PF1|PF2|32”改成“F1PF260，求F1PF2的面积解由 1 得，a3，b4，c5.916由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos 60，所以 10(|PF1|PF2|)|PF1|

14、PF2|，所以|PF1|PF2|64，113SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF2 6416 3.222求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)法一：根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值；1利用公式SPF1F2|PF1|PF2|sinF1PF2求得面积2(2)法二：1利用公式SPF1F2|F1F2|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积2提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1|PF2|2a的变形使用，特别是与|PF1|PF2|，|P

15、F1|PF2|间的关系2222222x2y21双曲线 1 的焦距为()97A.2C.4222x2y2B2 2D8Dcab9716，c4，焦距为 2c8.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.2假设方程x2m21m23y21 表示双曲线，那么实数m满足()Bm1D3m122Am1 且m3Cm 3或m 3C C因为方程1 表示双曲线，而m10 恒成立，所以m30，解得mm1m232x2y2 3或m 3，应选 C.x2y23 点F1，F2是双曲线221(a0，b0)的左、右焦点，点P是双曲线上的一点，且PF1PF2ab0，那么PF1F2的面积为()AabCbC C由题意知|PF1|PF2|2a.

16、|PF1|PF2|4c.，得|PF1|PF2|2b，1S|PF1|PF2|b2.2PF1F24双曲线的焦点在x轴上，且ac9，b3，那么双曲线的标准方程为_2222221Bab2Da2ac9a4xb 1由b3，得，169c5c2a2b222焦点在x轴上，双曲线标准方程为 1.1695圆C1：(x3)y1 和圆C2：(x3)y9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程解如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的条件|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.2222x2y2因为|MA|MB|，所以|MC2|MC1|BC2|AC1|2，说明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数 2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，a下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.1，c3，那么b8，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x 1(x1)822y2下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。