高中数学基本不等式知识点归纳及练习题.pdf
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1、高中数学基本不等式知识点归纳及练习题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13,2020高中数学基本不等式的巧用高中数学基本不等式的巧用ab1基本不等式:ab2(1)基本不等式成立的条件:a0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当 ab 时取等号2几个重要的不等式baab2(a,bR R);(1)a2b22ab(a,bR R);(2)ab2(a,b 同号);(3)ab 2 a2b2ab2(a,bR R)(4)2 2 3算术平均数与几何平均数ab设 a0,b0,则 a,b 的算术平均数为2,几何平
2、均数为 ab,基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知 x0,y0,则(1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 xy 时,xy有最小值是 2 p.(简记:积定和最小)p2(2)如果和 xy是定值 p,那么当且仅当 xy 时,xy有最大值是4.(简记:和定积最大)一个技巧运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如 a2b22ab 逆用就是a2b2abab2(a,b0)等还要注意“添、拆项”ab2;2 ab(a,b0)逆用就是 ab 2 技巧和公式等号成立的条件等两个变形a2b2ab2 ab(a,bR R,当且仅当 ab 时
3、取等号);(1)2 2(2)a2b2ab2 ab(a0,b0,当且仅当 ab 时取等号)2211ab这两个不等式链用处很大,注意掌握它们三个注意(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件(3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致应用一:求最值应用一:求最值例 1:求下列函数的值域(1)y3x 212x 21(2)yxx解题技巧:解题技巧:技巧一:凑项技巧一:凑项5例 1
4、:已知x,求函数y 4x21的最大值。44x5技巧二:凑系数技巧二:凑系数例 1.当时,求y x(82x)的最大值。技巧三技巧三:分离分离x27x10(x 1)的值域。例 3.求y x1。技巧四技巧四:换元:换元技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数ax25的值域。f(x)x的单调性。的单调性。例:求函数y 2xx 4练习求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x的值.1x23x1,x 3,(x 0)(2)y 2x(1)y xx31,x(0,)(3)y 2sin xsin x2已知0 x1,求函
5、数y x(1x)的最大值.;30 x 大值.条件求最值条件求最值1.若实数满足a b 2,则3a3b的最小值是 .2,求函数y x(23x)的最311变式:若log4x log4y 2,求的最小值.并求x,y的值xy技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。出错。192:已知x 0,y 0,且1,求x y的最小值。xy变式:(1)若x,y R且2x y 1,求11的最小值xy(2)已知a,b,x,y R且ab1,求x y的最小值xy技巧七、已知技巧七、已知x x,y y为
6、正实数,且为正实数,且x x 2 21 1,求,求x x1 1y y2 2的最大值的最大值.2 2技巧八:已知技巧八:已知a a,b b为正实数,为正实数,2 2b bababa a3030,求函数,求函数y y技巧九、取平方技巧九、取平方5、已知x,y为正实数,3x2y10,求函数W 3x 2y的最值.应用二:利用基本不等式证明不等式应用二:利用基本不等式证明不等式1已知a,b,c为两两不相等的实数,求证:a b c ab bc ca222y y 2 21 1abab的最小值的最小值.1)正数a,b,c满足abc1,求证:(1a)(1b)(1c)8abc 1 1 1例 6:已知a、b、cR,
7、且abc 1。求证:1118abc应用三:基本不等式与恒成立问题应用三:基本不等式与恒成立问题19例:已知x 0,y 0且1,求使不等式x y m恒成立的实数m的取值范围。xy应用四:均值定理在比较大小中的应用:应用四:均值定理在比较大小中的应用:1a b例:若a b 1,P lgalgb,Q(lga lgb),R lg(),则P,Q,R的大小关系22是 .解:(1)y3x 2122x 23x 21 6值域为 6,+)2x 21x2;x1x =2x1(2)当x0 时,yx2x11当x0 时,yx =(x)2xx值域为(,22,+)解:因4x5 0,所以首先要“调整”符号,又(4x2)项,1不是
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