2011届高考数学最后冲刺必做题 解析8新人教A版.pdf

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1、高考数学最后冲刺必读题解析（高考数学最后冲刺必读题解析（8 8）20.已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴端点为(0,2),短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与 y 轴交于点P(0,m)，与椭圆 C 交于相异两点 A、B，且AP 2PB（）求椭圆方程；（）求 m 的取值范围y2x220.解：（）由题意知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为221(a b 0)，ab由题意知a 2，b c，又a2 b2 c2则b 2，y2x21-4分所以椭圆方程为42（）设A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意，直线l的斜率存在，设其方程为y kx m，与椭圆方程联立y2 2x2 4即，y kx m则

2、(2 k)x 2mkx m 4 0,(2mk)4(2 k)(m 4)02222222mkx x 212 k2；-6分由韦达定理知2m 4x1 x22 k2又AP 2PB，即有(x1,m y1)2(x2,y2m)x1 2x2x x2 x2-8分12x1x2 2x2m242mk2 2()2 k22 k2整理得(9m 4)k 8 2m2228 2m2 0-10分又9m 4 0时不成立，所以k29m 4224 m2 4，此时 0922所以 m 的取值范围为(2,)(,2).-12分33得21.已知关于x函数g(x)2 aln x(aR R),f(x)x2 g(x)，x（）试讨论函数g(x)的单调区间；

3、（）若a a 0,试证f(x)在区间(0,1)内有极值.21.解：（）由题意g(x)的定义域为(0,)2 aln xx2aax 2g(x)22xxxg(x)（i）若a 0，则g(x)0在(0,)上恒成立，(0,)为其单调递减区间；（ii）若a 0，则由g(x)0得x 2，a22x(0,)时，g(x)0，x(,)时，g(x)0，aa22所以(0,)为其单调递减区间；(,)为其单调递增区间；-6 分aa（）f(x)x g(x)3所以g(x)的定义域也为(0,)，且f(x)(x2)g(x)2x ax 22x ax 2222xx令h(x)2x ax 2,x0,)3因为a 0，则h(x)6x a 0，所

4、以h(x)为0,)上的单调递增函数，又2h(0)2 0,h(1)a 0，所以在区间(0,1)内h(x)至少存在一个变号零点x0，且x0也是f(x)的变号零点，所以f(x)在区间(0,1)内有极值.-12分*22.已知数列an满足：Sn1 an(n N)，其中Sn为数列an的前n项和.（）试求an的通项公式；（）若数列bn满足：bnn(n N*)，试求bn的前n项和公式Tn；an（III）设cn111，数列cn的前n项和为Pn，求证：Pn 2n 1 an1an1222.解：（）Sn1 anSn11 an1-得an1 an1 anan1又n 1时，a11 a1a11an,(n N*)212an11

5、n11()()n,(n N*)-4分222n n2n,(n N*)an（）bnTn12 222 323 n2n2Tn122 223 324 n2n1Tn 2 22 23 2n n2n1-得2(1 2n)n2n11 2n1*整理得：Tn(n 1)2 2,n N-8分（III）11cn1 an1 an1112n2n11n1n12n12n111()1()2211111n1n1 2(nn1)2 1212 121-10分112n11(2n1)2n22n2n12n11(2n1)(2n11)22n1 2n122n1 2n1又11n1122n11n2-12分Pn2211(1)2n11112 2n 11 2n

6、1,n N*2n(234n1)2n 2122n12222212-14分1717（本小题满分 15 分）设等差数列an的前n项和为Sn，且a5 a13 34，S3 9（1）求数列an的通项公式及前n项和公式；（2）设数列bn的通项公式为bnan，问:是否存在正整数 t，使得b1，b2，bmant(m 3，mN N)成等差数列？若存在，求出 t 和 m 的值；若不存在，请说明理由.【解】（1）设 等 差 数 列an的 公 差 为a5 a13 34，2 分3a 9，2d.由 已 知 得即a18d 17，a 1，解得14 分.故an 2n 1，Sn n2.d 2.a1 d 3，6 分（2）由（1）知b

7、n22n1.要使b1，b2，bm成等差数列，必须2b2 b1bm，即2n1t312m14，8 分.整理得m 3，11 分3t1t2m1tt 1因为 m，t 为正整数，所以 t 只能取 2，3，5.当t 2时，m 7；当t 3时，m 5；当t 5时，m 4.故存在正整数 t，使得b1，b2，bm成等差数列.15 分1818（本小题满分 15 分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形 ABC 的三个顶点处，已知 AB=AC=6km，现计划在 BC 边的高 AO 上一点 P 处建造一个变电站.记 P 到三个村庄的距离之和为 y.（1）设PBO，把 y 表示成的函数关系式；（2）变电站建于何处时，它

8、到三个小区的距离之和最小？【解】（1）在RtAOB中，AB 6，所以OB=OA=3 2.AP由题意知0.2 分44所以点 P 到 A、B、C 的距离之和为B所以ABC O（第 18 题图）Cy 2PBPA23 22sin.6 分(3 2 3 2tan)3 2 3 2coscoscos2sin0.7 分故所求函数关系式为y 3 2 3 24（2）由（1）得y 3 22sin11，从 而，令即，又0 y 0sin4cos22.9 分.当0 时，y 0；当时,y 0.66642sin时，y 43 2取得最小值，13 分6cos，即点 P 在 OA 上距 O 点6km 处.6（km）6所以当此时OP

9、3 2tan【答】变电站建于距 O 点6km 处时，它到三个小区的距离之和最小.15 分y2x26，过右顶点 A 的直线 l 与椭圆 C1919（本小题满分 16 分）已知椭圆C：2+21ab0的离心率为3ab相交于 A、B 两点，且B(1，3).（1）求椭圆 C 和直线 l 的方程；（2）记曲线 C 在直线 l 下方的部分与线段 AB 所围成的平面区域（含边界）为 D若曲线x 2mx y 4y m 4 0与 D 有公共点，试求实数 m 的最小值222a2b26622【解】（1）由离心率e，得，即a 3b.2 分a33y2x2(3)2(1)2又点B(1，3)在椭圆C:2+21上，即2+21.a

10、bab 4 分解 得a 12，b 4，22y2x2故所求椭圆方程为1.6 分124由A(2，0)，B(1，3)得直线 l 的方程为y x 2.8 分（2）曲线x 2mx y 4y m 4 0，即圆(x m)(y 2)8，其圆心坐标为G(m，2)，半径r 2 2，表示圆心在直线22222y 2上，半径为2 2的动圆.10 分由于要求实数 m 的最小值，由图可知，只须考虑m0的情形.设G与直线 l 相切于点 T，则由|a 22|2 2 2，得m 4，12 分当m 4时，过点G(4，2)与直线 l 垂直的直线l的方程为x y 6 0，解方程组x y 6 0，得T(2，4).14 分x y 2 0因为

11、区域 D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为1，2，所以切点T D，由图可知当G过点 B 时，m 取得最小值，即(1 m)2(3 2)28，解得mmin 7 1.16 分20（本题满分 14 分）如图，为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且 ODAB，Q 为线段 OD 的中点，已知|AB|=4，曲线 C 过 Q 点，动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；DM（2）过 D 点的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M、N，且 M 在 D、N 之间，设DN=，求 的取值范围.20 解：(1)以 AB、OD 所在直线

12、分别为 x 轴、y 轴，O 为原点，建立平面直角坐标系，22|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=22 1 2 5|AB|=4.曲线 C 为以原点为中心，A、B 为焦点的椭圆.设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则 2a=25,a=5,c=2,b=1.x2曲线 C 的方程为5+y2=1.(2)设直线 l 的方程为 y=kx+2,x2代入5+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.DMx13DNx2=(20k)2415(1+5k2)0,得 k25.由图可知=20kx x 121 5k2x x 15121 5k2由韦达定理得将 x1=x2 代入得400k222(1)x2(1

13、 5k2)2x21521 5k2(1)2400k28015(1 5k2)3(51)k2两式相除得3151208016k2,02,52,即41533kk 533(25)k(1)216DM14,0,解得 33DN3 x1DM,x2DNM 在 D、N 中间，1DM1又当 k 不存在时，显然=DN3(此时直线 l 与 y 轴重合)综合得：1/3 1.3f(x)x 3x.21已知函数（1）求曲线y f(x)在点x 2处的切线方程；（2）若过点A(1,m)(m 2)可作曲线y f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.(x)3x23,f(2)9,f(2)2332 2f20解（1）2 分曲线y f(x)在x

14、2处的切线方程为y 2 9(x2)，即9x y 16 0；4 分(x,y)（2）过点A(1,m)向曲线y f(x)作切线，设切点为00则y0 x033x0,k f(x0)3x023.6则切线方程为分整理得y(x033x0)(3x023)(x x0)2x033x02 m 3 0(*)过点A(1,m)(m 2)可作曲线y f(x)的三条切线方程（*）有三个不同实数根.322g(x)2x 3x m3,g(x)6x 6x 6x(x1)令g(x)0,x 0或 1.10记分则x,g(x),g(x)的变化情况如下表xg(x)g(x)(,0)0(0,1)1(1,)0极大0极小当x 0,g(x)有极大值m3;x

15、 1,g(x)有极小值m2.12 分g(0)0m3 0,3 m 2g(1)0m2 0g(x)由的简图知，当且仅当即时，函数g(x)有三个不同零点，过点A可作三条不同切线.所以若过点A可作曲线y f(x)的三条不同切线，m的范围是(3,2).2f(x)x 2x.22（本小题满分 14 分）已知函数（）数列an满足:a11,an1 f(an),求数列an的通项公式；，求数列（）已知数列bn满足b1 t 0,bn1 f(bn)(nN*)bn的通项公式；cn（）设bn1,数列cn Sn对所有的正整数 n 恒成bn1的前 n 项和为 Sn，若不等式立，求的取值范围。22、(本小题满分 14 分)an1

16、2an 2an12 2(an2)解：（I）f(x)2x2，1 分an 2为等比数列,an 2 (a1 2)2n1an 32n124 分（）由已知得 又bn 0，bn11(bn1)2,所 以1 分lg(bn11)2lg(bn1),lg(b11)lg(t 1)0,n1lg(bn1)的 公 比 为2的 等 比 数 列，bn(t 1)21。8 分ck1 bk2 2bk,bk 2（）bk1b 1(bk 2)111,ckkbkbk1bk1bkbk1，k 1,2,nSn c1c2cn(1111)()b1b2b2b3(1111,)2ntbnbn1(t 1)1t 0,t 11,Sn在n1,)上是增函数11t 12Sn S1t(t 1)1t22t,Sn对所有的正整数 n 恒成立，又不等式t 1,2t 2tt 1)2(,t 2t14 分故的取值范围是