2011年高考数学 考点8 函数与方程、函数模型及其应用.pdf

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1、考点考点8 8函数与方程、函数模型及其应用函数与方程、函数模型及其应用一、选择题一、选择题1.（2011福建卷文科6）若关于 x 的方程 x+mx+1=0 有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）（A）(-1,1)（B）(-2,2)（C）(-，-2)（2，+）（D）（-，-1）（1，+）【思路点拨】方程 x+mx+1=0 若有两个不相等的实数根，需满足其判别式 m 4 0，由此即可解得m222的取值范围.【精讲精析】选 C.或m 2.2.（2011新课标全国高考文科 10）在下列区间中，函 数f(x)e 4x3的零点所在的区间为（）A.x方程x mx1 0有两个不相等的实数根，需判别式

2、 m 4 0，解得m 22211 1 1 1 3,0 B.0,C.,D.,44 22 44【思路点拨】结合函数f(x)的单调性，将4 个选项中涉及的端点值代入函数f(x)的解析式，零点所在的区间必在使得端点函数值异号的区间内.【精讲精析】选 Cf(x)是R上的增函数且图象是连续的，又11111111 1 1 f()e4+43 e42 0，f()e243 e21 0,f(x)定在,内存在唯一零44224 2点.3.（2011山东高考理科10）已知 f（x）是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0 x2 时，f（x）=x-x，则函数 y=f（x）的图象在区间0,6上与 x 轴的交点个数为（

3、A）6（B）7（C）8（D）93【思路点拨】本题可以先求函数当 0 x2 时的零点，即函数与x 轴交点的个数，然后根据周期性确定零点的个数.【精讲精析】选 A.令 f（x）=x-x=0，即 x(x+1)(x-1)=0,所以 x=0,1,-1，因为 0 x2，所以此时函数的零点有两个，即与x 轴的交点个数为 2，因为f（x）是R 上最小正周期为 2 的周期函数，所以2x4，43x6 也分别有两个零点，由 f（6）=f（4）=f（2）=f（0），所以 f（6）也是函数的零点，所以函数y=f（x）的图象在区间0,6上与 x 轴的交点个数为6 个.4（2011陕西高考理科T6）函数f(x)x cosx

4、在0,)内（）（A）没有零点（B）有且仅有一个零点（C）有且仅有两个零点（D）有无穷多个零点【思路点拨】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质（值域、单调性等）进行判断。【精讲精析】选 B（方法一）数形结合法，令f(x)x cosx0，则x cosx，设函数y x和y cosx，它们在0,)的图象如图所示，显然两函数的图象的交点有且只有一个，所以函数f(x)x cosx在0,)内有且仅有一个零点；（方法二）在x在x(0,2,)上，x 1，cosx 1，所以f(x)x cosx0；12 xsin x 0，所以函数f(x)x cosx是增函数，又因为f(0)1，2，f(x)f()2 0，所以

5、f(x)x cosx在x0,上有且只有一个零点22x,x 0,5.（2011浙江高考理科1）设函数f(x)2若fa 4，则实数a x,x 0.（A）4 或2（B）4 或 2（C）2 或 4（D）2 或 2【思路点拨】分段函数的给值求解需要逐段来求。【精讲精析】选 B.当a 0时，f(a)a 4,a 4；当a 0时，f(a)a 4,a 2.综上,a 4或2.6.（2011陕西高考文科T6）方程x cosx在,内（）(A)没有根 (B)有且仅有一个根2(C)有且仅有两个根（D）有无穷多个根【思路点拨】数形结合法，构造函数并画出函数的图象，观察直观判断【精讲精析】选 C.构造两个函数y|x|和y c

6、osx，在同一个坐标系内画出它们的图象，如图所示，观察知图象有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根二、填空题二、填空题7.（2011浙江高考文科11）设函数f(x)【思路点拨】代入求解即可.【精讲精析】f(a)4,若f(a)2,则实数a=_1 x4 2,解得a 1.答案：a 1.1a8.（2011福建卷文科16）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（ba）以及常数x（0 x1）确定实际销售价格c=a+x（b-a），这里，x被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c-a）是（b-c）和（b-a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数 x

7、 的值等于_.【思路点拨】（c-a）是（b-c）和（b-a）的等比中项(ca)(bc)(ba)，将c a x(ba)代入上式，化简整理可得关于x的方程，解方程即可.【精讲精析】25 12由题意得：(ca)(bc)(ba)，22c a x(ba)，将其代入上式，得a x(ba)aba x(ba)(ba)x2(ba)2(ba)2(1 x),b a,ba 0 x21 x,即x2+x-1=0，解得x11515,x2，又220 x 1x 15.29.（2011山东高考理科16）已知函数f（x）=logax xb(a0，且a 1).*当 2a3b4 时，函数f（x）的零点x0(n,n1),n N,则n=.

8、【思路点拨】由条件易知函数 f(x)在（0,+）为增函数，然后利用函数的零点存在定理求出函数的零点所在区间.【精讲精析】因为函数f(x)logax xb(2 a 3)在（0，)上是增函数，f(2)loga22b logaa2b 3b 0,f(3)loga33b logaa3b 4b 0，x0(2,3)即n 2.10.（2011山东高考文科16）已知函数f（x）=logax xb(a0，且a 1).当 2a3b4 时，*函数f（x）的零点x0(n,n1),n N,则n=.【思路点拨】由条件易知函数 f(x)在（0,+）上为增函数，然后利用函数的零点存在定理求出函数的零点所在区间.【精讲精析】因为函数f(x)logax xb(2 a 3)在（0，)上是增函数，f(2)loga22b logaa2b 3b 0,f(3)loga33b logaa3b 4b 0，x0(2,3)即n 2.2,x 211.（2011北京高考理科T13）已知函数f(x)x若关于 x 的方程f(x)k有两个不同(x1)3,x 2的实根，则实数 k 的取值范围是 .【思路点拨】把方程根的问题，转化为函数图象的交点问题.【精讲精析】(0,1).方程f(x)k有两个不同的实根，则y=f(x)与 y=k 有两个不同交点.作出 y=f(x)的图象，可知k(0,1).y1x0-112