八年级数学下册 5.4 分式方程 数学趣苑 巧解工程问题素材 北师大版(2021-2022学年).pdf
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1、【数学趣苑】巧解工程问题【数学趣苑】巧解工程问题尼古拉斯伊万诺维奇罗巴切夫斯基(ola lvaoich obaevsy,1792856）,是俄罗斯数学家,非欧几何的早期发现人之一相传,罗巴切夫斯基曾用直接分析求解法巧妙解决一道工程问题:某项工程若甲、乙两人单独去做,甲比乙多用 4 天完成；若甲先做两天，再和乙共同去做,则工程共用 7 天完成.问:甲、乙两人单独做此工程各需多少天完成?本题的常规解法是设未知数列分式方程求解即设乙单独做此工程天完成，则甲单独做此工程(x+)天完成,255依题意,列方程得x4x4x=.易解 x10所以,甲单独完成工程需 1天,乙单独完成工程需 10 天而罗巴切夫斯基
2、采用直接分析法求解比较独特：依题意，两人单独去做,甲比乙多用 4 天时间，若两人各做一半工程,则甲比乙多用 2 天又已知甲先做两天，再和乙共同去做,则工程共用天完成,即甲、乙共同完成时(每人各做一半)，相差恰好是 2 天显然,甲在 7 天中正好完成工程的一半，乙在 5 天中也正好完成工程的一半由此可知,甲单独完成工程需天，乙单独完成工程需 1天我们在惊叹罗巴切夫斯基这种巧妙的解法的同时，是否想到对其巧妙解法进行揭秘呢？罗巴切夫斯基在巧解工程问题时，用到了以下两个结论：1.如果甲、乙两人各做一半工程,则甲比乙多用天；2.如果甲比乙多用 2 天合作完成此项工程，那么两人各做一半工程.你知道这是为什么吗？下面我们就来揭秘:由于甲、乙两人单独去做，甲比乙多用 4 天完成,于是可设乙单独做此工程天完成,则甲单独做11此工程(a4)天完成.甲每天做此工程的a4，乙每天做此工程的a1甲做一半工程需要12a12(天），乙做一半工程需要a（天)，所以甲、乙两人各做a 4a222（天）；一半工程,甲比乙多用b 2b2设甲、乙合作 b 天完成此工程，则甲做此工程用了(b+2)天，根据题意,有a 4a=,即 aa 2a 41a2（b+2)b（a+）=(+4）,整理得2所以甲做此工程的a 42(a 4)2,乙做此工程ab21a2的a
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