2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题(新课标卷I)解析版.pdf

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1、江西金太阳好教育云平台资源中心绝密启封并使用完毕前试题类型：A2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试题卷共注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅

2、笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。5 页，24题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时120 分钟。第卷一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合A（A）(3,)x|x24x30，B x|2x 3(1,)（C）0，则AB32(3,)（B）233(3,3)2（D）2【答案】D第 1 页江西金太阳好教育云平台资源中心考点：集合运算（2）设(1 i)x 1（A）1【答案】B【解析】试题分析：因为(1故选 B.考点：复数运算yi

3、，其中 x，y 是实数，则x（C）3yi=（B）2（D）2i)x=1+yi,所以xxi=1+yi,所以 x=1,yx 1,故|x yi|=|1+i|2,（3）已知等差数列 an 前 9 项的和为 27，a10=8，则 a100=（A）100（B）99（C）98（D）97【答案】C【解析】9a1a1故选 C.36d27试题分析：由已知，,所以a11,d 1,a100 a1 99d1 99 98,9d8考点：等差数列及其运算（4）某公司的班车在7:30，8:00，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过110 分钟的概率

4、是1（B）22（C）33（D）4（A）3【答案】B考点：几何概型（5）已知方程x22y22m+n 3m n=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则 n 的取值范围是（A）(1,3)（B）(1,3)（C）(0,3)（D）(0,3)第 2 页江西金太阳好教育云平台资源中心【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在x轴上，所以m2n 3m2n4，解得：m21，因为方程x21 ny23 n，故选 A1表示双曲线，所以1 n3 n00，解得nn13，所以 n的取值范围是 1,3考点：双曲线的性质（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.28若该几何体的体积是，则

5、它的表面积是3（A）17（B）18（C）20（D）28【答案】A【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是78个球，设球的半径为R，则V74R328，解得R 2833422，所以它的表面积是78342217，故选 A考点：三视图及球的表面积与体积（7）函数 y=2x2e|x|在 2,2 的图像大致为（A）（B）第 3 页江西金太阳好教育云平台资源中心（C）（D）【答案】D考点：函数图像与性质（8）若a（A）acb 10，c 1，则bcb loga c（B）abcbac（C）a logbc【答案】C（D）logac logbc考点：指数函数与对数函数的性质（9）执行右面的程序框图，如果输入的（A）

6、y 2x（C）y 4x【答案】C【解析】试题分析：当 x 0,y 1,n 1x0，y 1，n 1，则输出x，y 的值满足（B）y 3x（D）y 5x时，x0121,y1 1 1，不满足第 4 页江西金太阳好教育云平台资源中心x2y236；n 2,x 02 1 1213 122,y 2 1 22，不满足x2y236；n 3,x3,y 2 36，满足x2y236；输出x32,y6，则输出的 x,y2的值满足 y4x，故选 C.考点：程序框图与算法案例（10）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点.已知|AB|=4 2，|DE|=2 5，则 C 的焦点到

7、准线的距离为（A）2（B）4（C）6（D）8【答案】B【解析】试题分析：如图，设抛物线方程为y22 px，圆的半径为r,AB,DE交x轴于C,F点，则，即OCAC2 2，即A点纵坐标为 22，则A点横坐标为4p24，由勾股定理知p(2 2)2DF2OF2DO2r，AC22OC2AO2r，即(5)2(p)22()，42p解得 p4，即C的焦点到准线的距离为4，故选 B.考点：抛物线的性质（11）平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A，/平面 CB1D1，I平面 ABCD=m，I平面 ABB1 A1=n，则 m，n 所成角的正弦值为（A）32（B）22（C）33（D）13第 5 页江

8、西金太阳好教育云平台资源中心【答案】A考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角（12）已知函数f(x)sin(x+，)(0为 f(x)的零点，x为2),x44的最大值为y f(x)图像的对称轴，且f(x)在(51836，)单调，则（A）11【答案】B（B）9（C）7（D）5考点：三角函数的性质第 II卷第 6 页江西金太阳好教育云平台资源中心本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共 4 小题，每小题5 分.（13）设向量 a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2

9、=|a|2+|b|2，则 m=【答案】【解析】.2试题分析：由|a b|2|a|2|b|2，得 a b，所以m 1 1 20，解得 m 2.考点：向量的数量积及坐标运算（14）(2 x【答案】10【解析】x)5的展开式中，x3的系数是.（用数字填写答案）5 r试题分析：(2 x5)，令5x)5的展开式的通项为 C5r(2 x)5r(x)r10.2425rC5r x2(r 0，1，2，r23得 r4，所以x3的系数是2C54n1213考点:二项式定理（15）设等比数列鬃?an的最大值为.a满足 a+a=10，a+a=5，则 a a【答案】64考点：等比数列及其应用（16）某高科技企业生产产品A

10、和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时，生产一件产品A 的利润为 2100 元，生产一件产品B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元.【答案】216000【解析】试题分析：设生产产品 A、产品B 分别为x、y件，利润之和为z元，那么由题意得约束第 7 页江西金太阳好教育云平台资源中心1.5x0.5y,150,x0.3 y,90,

11、条件5x3y,600,目标函数z2100 x900 y.x0,y0.3xy?300,10 x3 y,900,约束条件等价于5x3y,600,x0,y0.作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.将 z2100 x7900 y变形，得y7xz，作直线：y x并平移，当直线39003y7xz经过点 M时，z取得最大值 .3900解方程组10 x3y900，得 M的坐标为(60,100).5x3y600所以当 x60，y100时，zmax210060900100 216000.故生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为216000元.考点：线性规划的应用三、解答题：解答应

12、写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12 分）第 8 页江西金太阳好教育云平台资源中心ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知2cos C(a cosB+b cos A)c.（I）求 C；（II）若c7,ABC的面积为3 3，求ABC的周长2【答案】（I）C（II）573【解析】试题解析：（I）由已知及正弦定理得，2cosC sin cossin cossinC，2cosCsin故 2sinCcosC可得 cosCsinCsinC，所以C123考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式（18）（本小题满分 12 分）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面

13、体中，面 ABEF 为正方形，AF=2FD，AFD90，且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是60第 9 页江西金太阳好教育云平台资源中心（I）证明：平面ABEF平面 EFDC；（II）求二面角 E-BC-A 的余弦值【答案】（I）见解析（II）21919【解析】试题分析：（I）证明F试题解析：（I）由已知可得又 F（II）过平面FDC，结合F平面F，可得平面F平面FDC（II）建立空间坐标系，利用向量求解.平面FDF，FF，故平面F平面F，所以 FFDC平面平面 FDCD作DGF，垂足为 G，由（I）知 DGF以G为坐标原点，GF的方向为 x轴正方向，GF为单位长，建立如图所示

14、的空间直角坐标系 G xyz由（I）知DF可得 1,4,0为二面角 D，3,4,0，F的平面角，故DF360，则 DF2，DG3，3,0,0，D 0,0,第 10 页江西金太阳好教育云平台资源中心考点：垂直问题的证明及空间向量的应用（19）（本小题满分 12 分）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：第 11 页江西金

15、太阳好教育云平台资源中心以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数.（I）求X的分布列；（II）若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；19与 n20之中选其（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n一，应选用哪个？【答案】（I）见解析（II）19（III）n19第 12 页江西金太阳好教育云平台资源中心考点：概率与统计、随机变量的分布列（20）（本小题满分 12 分）设圆 x2y22x 150的圆心为 A，直线 l过点 B（1,0）且与 x 轴不

16、重合，l交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.（I）证明EAEB为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（II）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1于 M,N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围 .【答案】（）x2y21（y0）（II）12,8 3)43【解析】试题分析：利用椭圆定义求方程；（试题解析：（）因为所以|EB|ED|，故|EA|又圆 A的标准方程为(xII）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。|AD|AC|，EB/AC，故EBD|EB|EA|ED|AD|.1)2y2ACDA

17、DC，16，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.由题设得 A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：x2y231（y 0）.4第 13 页江西金太阳好教育云平台资源中心考点：圆锥曲线综合问题（21）（本小题满分已知函数12 分）有两个零点.（I）求 a 的取值范围；（II）设 x1，x2是【答案】(I)(0,【解析】的两个零点，证明：+x22.)（II）见解析试题分析：(I)求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；(I)的结论来证明，由单调性可知x1x2(II)借组2等价于 f(x1)(x1)(e2 xexf(2x2)，即 f(2 x)20设

18、g(x)xe2 x (x 2)ex，则 g(x)则当x 1时，g(x)0，而第 14 页江西金太阳好教育云平台资源中心g(1)0，故当x试题解析：（）1时，g(x)0从而g(x2)f(2 x2)x0，故 x1x22()(1)fxxe2(1)(a xx1)(x2)ea（i）设a（ii）设a0，则 f(x)(x0，则当x2)ex，f(x)只有一个零点(,1)时，f(x)0；当 x(1,)时，f(x)0所以 f(x)在(,1)单调递减，在(1,)单调递增ln，则2b)0，又 f(1)e，f(2)a，取 b满足b0且baf(b)a2(b 2)a(b1)2a(b232故 f(x)存在两个零点考点：导数及

19、其应用请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。第 15 页江西金太阳好教育云平台资源中心（22）（本小题满分 10 分）选修4-1：几何证明选讲如图，OAB 是等腰三角形，AOB=120.以 O 为圆心，OA 为半径作圆.（I）证明：直线AB 与 O 相切；（II）点 C,D 在 O 上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明：AB CD.【答案】(I)见解析(II)见解析考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明（23）（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数，a0）.在以坐标原点为

20、极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=4cos.（I）说明 C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线 C 的极坐标方程为=，其中 满足 tan=2，若曲线 C 与 C 的公300012第 16 页江西金太阳好教育云平台资源中心共点都在 C3上，求 a.【答案】（I）圆，22 sin1a20（II）1考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f(x)=x+1-2x-3.（I）在答题卡第（24）题图中画出 y=f(x)的图像；（II）求不等式 f(x)1 的解集.第 17 页江西金太阳好教育云平台资源中心【答案】（I）见解析（II），1，5，3考点：分段函数的图像，绝对值不等式的解法第 18 页