七年级数学整式的乘法(学生讲义).pdf

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1、第第 2 2 章：整式的乘除与因式分解章：整式的乘除与因式分解一、基础知识一、基础知识1.1.同底数幂的乘法：同底数幂的乘法：amgan amn，（m,nm,n 都是正整数）都是正整数），即同底数幂相乘，底数，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。不变，指数相加。2.2.幂的乘方：幂的乘方：(am)n amn，（m,nm,n 都是正整数）都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相，即幂的乘方，底数不变，指数相乘。乘。3.3.积的乘方：积的乘方：(ab)n anbn，（n n 为正整数）为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式，即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所分别乘方，再把所得

2、的幂相乘。4.4.整式的乘法：整式的乘法：（1 1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式个因式（2 2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加可用下式表示：可用下式表示：m m(a a+b b+c c

3、)=)=mama+mbmb+mcmc(a a、b b、c c都表示单项式都表示单项式)（3 3）多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘）多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加另一个多项式的每一项，再把所得的积相加5.5.乘法公式：乘法公式：（1 1）平方差公式）平方差公式:平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”积等于这两个数的平方差”，即用字母表示为：，即用字母表示为：(a a+b b)()(a ab b)=)=a a2 2

4、b b2 2；其结构特；其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.（2 2）完全平方公式：完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差）的）完全平方公式：完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的 2 2 倍，加上第倍，加上第二数的平方”二数的平方”，即用字母表示为

5、：，即用字母表示为：(a a+b b)2 2=a a2 2+2+2abab+b b2 2；(a ab b)2 2=a a2 22 2abab+b b2 2；其结；其结构特征是：左边是“两个数的和或差”的平方，右边是三项，首末两项是平方构特征是：左边是“两个数的和或差”的平方，右边是三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是项，且符号相同，中间项是 2 2abab，且符号由左边的“和”或“差”来确定，且符号由左边的“和”或“差”来确定.在完在完全平方公式中，字母全平方公式中，字母a a、b b都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单

6、项式、一个多项式或代数式以取一个单项式、一个多项式或代数式.如如(3(3x x+y y2)2)2 2(3(3x x+y y)2 22 2(3(3x x+y y)2+22+22 29 9x x2 2+6+6xyxy1212x x+y y2 24 4y y+4+4，或者，或者(3(3x x+y y2)2)2 2(3(3x x)2 2+2+23 3x x(y y2)+(2)+(y y2)2)2 29 9x x2 2+6+6xyxy1212x x+y y2 24 4y y+4.+4.前者是把前者是把 3 3x x+y y看成是完全平方公式中的看成是完全平方公式中的a a，2 2 看成是看成是b b；后

7、者是把；后者是把 3 3x x看成是完全平方公式中的看成是完全平方公式中的a a，y y2 2 看成是看成是b b.1（3 3）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。号前面是负号，括到括号里的各项都变号。乘法公式的几种常见的恒等变形有：乘法公式的几种常见的恒等变形有：（1 1）a a2 2+b b2 2(a a+b b)2 22 2abab(a ab b)2 2+2+2abab.（2 2）abab211(a a+b b)2 2（a a2 2+b b2 2）(a a+b

8、b)2 2(a ab b)2 2 242a ba b.22（3 3）(a a+b b)2 2+(+(a ab b)2 22 2a a2 2+2+2b b2 2.（4 4）(a a+b b+c c)=a a+b b+c c+2+2abab+2+2bcbc+2+2caca.利用上述的恒等变形，我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题，利用上述的恒等变形，我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题，并且还会收到事半功倍的效果并且还会收到事半功倍的效果.6.6.整式的除法：整式的除法：aman amn，（a 0，m，n 都是正整数，并且m n），即同即同底数幂相除，底数不变，指数相减。底数幂

9、相除，底数不变，指数相减。（1 1）a01(a 0)，任何不等于，任何不等于 0 0 的数的的数的 0 0 次幂都等于次幂都等于 1.1.（2 2）单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式）单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。（3 3）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。的商相加。7.7.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把

10、这个因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。8 8常用的因式分解方法：常用的因式分解方法：（1 1）提公因式法：把）提公因式法：把mambmc，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式式是各项的公因式 m m，另一个因式另一个因式(abc)是是mambmc除以除以 m m 所得的商，像所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。这种分解因式的方法叫做提公因式法。i i多项式各项都

11、含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。iiii公因式的构成：系数：各项系数的最大公约数；公因式的构成：系数：各项系数的最大公约数；字母：各项都含有的相同字母；字母：各项都含有的相同字母；指数：相同字母的最低次幂。指数：相同字母的最低次幂。（2 2）公式法：）公式法：（1 1）常用公式）常用公式 平平 方方 差：差：a2 b2(a b)(a b)完全平方：完全平方：a2 2ab b2(a b)2（2 2）常见的两个二项式幂的变号规律：）常见的两个二项式幂的变号规律：(a b)2n(b a)2n；(a b)2n1(b a)2n1（n为正

12、整数）为正整数）2 22 22 22 22（3 3）十字相乘法）十字相乘法2x 二次项系数为二次项系数为 1 1 的二次三项式的二次三项式 px q中，如果能把常数项中，如果能把常数项q分解成分解成两个因式两个因式a,b的积，并且的积，并且a b等于一次项系数中等于一次项系数中p，那么它就可以分解成，那么它就可以分解成22x px q x a bx ab x ax b2 二次项系数不为二次项系数不为 1 1 的二次三项式的二次三项式ax bx c中，如果能把二次项系数中，如果能把二次项系数a分解成两个因数分解成两个因数a1,a2的积，把常数项的积，把常数项c分解成两个因数分解成两个因数c1,c

13、2的积，并且的积，并且a1c2 a2c1等等 于于 一一 次次 项项 系系 数数b，那那 么么 它它 就就 可可 以以 分分 解解 成成：ax2bx c a1a2x2a1c2 a2c1x c1c2a1x aa2x c2。（4 4）分组分解法）分组分解法22 定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如a b ab没有没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：把原多项式分成两组。再提公因式，

14、即可达到分解因式的目的。例如：22a2b2ab=(a b)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab1)，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。能继续分解。有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。要能将多项式正确分解即可。二、经典例题二、经典例题第一部分第一部分整式的乘除整式的乘除【例【例 1 1】例题

15、下列运算正确的是（】例题下列运算正确的是（）A.A.a a5 5+a a5 5=a a1010 B.B.a a5 5a a5 5=a a1010 C Ca a4 4a a5 5=a a2020D D（a a4 4）5 5=a a9 9【规律总结】同底数幂的乘法是学习整式乘法的基础，一定要学好，学习它时【规律总结】同底数幂的乘法是学习整式乘法的基础，一定要学好，学习它时注意体会从特殊到一般、从具体到抽象，有层次的进行概括抽象，归纳原理注意体会从特殊到一般、从具体到抽象，有层次的进行概括抽象，归纳原理【例【例 2 2】下列运算正确的是（】下列运算正确的是（）A.(A.(x x)2 2x x3 3=

16、x x6 6B.B.(x)3(x)2 x5 C C4x2(2x)2 2x2D D(2x2)3 8x6【规律总结】幂的乘方与积的乘方，是学习整式乘法的基础导出幂的乘方的【规律总结】幂的乘方与积的乘方，是学习整式乘法的基础导出幂的乘方的3根据是乘方的意义和同底数幂的乘法的性质同学们要真正理解幂的乘方法的根据是乘方的意义和同底数幂的乘法的性质同学们要真正理解幂的乘方法的性质，这样才不致混淆性质而运算出错性质，这样才不致混淆性质而运算出错【例【例 3 3】下列运算在正确的是（】下列运算在正确的是（）A.A.x5 x5 2x10B.B.(x)3(x)5 x8C.C.(2x2y)4x3 24x3y3111

17、D.D.(x3y)(x3y)x29y2224【例【例 4 4】计算：】计算：（-2-2x x2 2y y）2 2(-3(-3xyxy)【规律总结】因为单项式是数字与字母的积，所以，幂的运算性质，乘法交换【规律总结】因为单项式是数字与字母的积，所以，幂的运算性质，乘法交换律、结合律，可作为单项式乘法的依据单项式乘法法则对于三个以上的单项律、结合律，可作为单项式乘法的依据单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用，如：式相乘同样适用，如：【例【例 5 5】（1 1）2 2xyxy(5(5xyxy2 2+3+3xyxy-1)-1)（2 2）(a a2 2-2-2bcbc)(-2(-2abab)2

18、 2【规律总结】在解答单项式与多项式相乘问题时，易犯如下错误：出现漏乘，【规律总结】在解答单项式与多项式相乘问题时，易犯如下错误：出现漏乘，而导致缺项；出现符号错误；运算顺序出错，造成计算有错而导致缺项；出现符号错误；运算顺序出错，造成计算有错【例【例 6 6】计算：】计算：(1)(3(1)(3x x-2-2y y)(2)(2a a+3+3b b)(2)()(2)(x x-y y)()(x x2 2+xyxy+y y2 2)【规律总结】【规律总结】（1 1）利用多项式乘法法则时，既不要漏乘，又要注意确定各项的）利用多项式乘法法则时，既不要漏乘，又要注意确定各项的符号符号4（2 2）乘积中有同类

19、项，要合并同类项）乘积中有同类项，要合并同类项【例【例7 7】计算】计算(1)(3(1)(3x x2 2+2+2y y2 2)(-3)(-3x x2 2+2+2y y3 3)【规律总结】公式中的字母可表示具体的数，也可表示单项式或多项式，只要【规律总结】公式中的字母可表示具体的数，也可表示单项式或多项式，只要符合平方差公式的结构特征，就可运用符合平方差公式的结构特征，就可运用【例【例8 8】化简：】化简：(1)(2 (1)(2a a+3+3b b)2 2 (2)(-(2)(-x x+2+2y y)2 2 (3)(-(3)(-m m-2-2n n)2 2【例【例 9 9】计算：】计算：(1)(1

20、)y y1010y y3 3y y4 4 (2)(-(2)(-abab)5 5(-(-abab)3 3【例【例 1010】计算：】计算：(1)(1)x xn n+2+2x xn n-2-2 (2)(2)(x x4 4)3 3x x4 4x x1616（3 3）用小数或分数表示：）用小数或分数表示：5.25.21010-3-3【例【例 1111】计算：】计算：(1)(1)(a a2 2n n+2+2b b3 3c)c)(2(2a an nb b2 2)；(2)(3(2)(3xyxy2 2)2 2(2(2xyxy)(6(6x x3 3y y3 3)5【规律总结】单项式相除，首先分清两工的系数、相同

21、字母、被除式独有的字【规律总结】单项式相除，首先分清两工的系数、相同字母、被除式独有的字母，再进行运算，结合演算重述法则，使法则熟悉，并会用它们熟练进行计算母，再进行运算，结合演算重述法则，使法则熟悉，并会用它们熟练进行计算【例【例1212】计算：】计算：(1)(6(1)(6x x3 3y y4 4z z-4-4x x2 2y y3 3z z+2+2xyxy3 3)(2(2xyxy3 3)；(2)(2)(x x+y y)2 2-(-(x x-y y)2 2(xyxy)【规律总结】把多项式除以单项式“转化”为单项式除以单项式，在这个转化【规律总结】把多项式除以单项式“转化”为单项式除以单项式，在

22、这个转化过程中，要注意符号问题过程中，要注意符号问题第二部分：因式分解第二部分：因式分解【例【例 1 1】将下列各式分解因式：】将下列各式分解因式：（1 1）2a36a336a _；（2 2）a41 _；（3 3）a2b2ab _；（4 4）4a2b22b1_。【例【例 2 2】连一连：】连一连：a a2 21 (a1 (a1)(a1)(a1)1)a a2 26a6a9 9a a2 24a4a4 4 9a 9a2 21 1 a a2 2abab【规律总结】整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形，根据题目的需要，有时【规律总结】整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形，根据题目的需要，有时 (3a (3a

23、1)(3a1)(3a1)1)a(a a(ab)b)(a (a3)3)2 2 (a (a2)2)2 26多项式要通过因式分解才能转化为几个整式积的形式，有时几个多项式的积要多项式要通过因式分解才能转化为几个整式积的形式，有时几个多项式的积要通过整式乘法化成多项式的形式通过整式乘法化成多项式的形式.【例【例 3 3】分解因式：分解因式：（1 1）5x5x5y5y5z5z（2 2）3a29ab（3 3）2a(x y)2 4b(y x)【规律总结】运用提公因式分解因式时，找对公因式是关键，提公因式后的各【规律总结】运用提公因式分解因式时，找对公因式是关键，提公因式后的各项中不能再含有其它公因式项中不能

24、再含有其它公因式.有些表面没有公因式的多项式，利用其互为相反数有些表面没有公因式的多项式，利用其互为相反数的条件，转化为含有公因式的式子来完成因式分解其一般原则：的条件，转化为含有公因式的式子来完成因式分解其一般原则：（1 1）首项一）首项一般不化成含负号的形式；般不化成含负号的形式；（2 2）对同时含有奇次项和偶次项的多项式，一般将偶）对同时含有奇次项和偶次项的多项式，一般将偶次项的底数化成它的相反数的形式，这样可使各项符号不变次项的底数化成它的相反数的形式，这样可使各项符号不变【例【例4 4】把下列各式因式分解：】把下列各式因式分解：（1 1）4m2 25n2（2 2）169(a b)21

25、21(a b)2【例【例5 5】把下列各式分解因式：】把下列各式分解因式：（2m n)28n(2m n)n2（1 1）4a212ab 9b2（2 2）167【例【例 6 6】因式分解：】因式分解：（1 1）(x2 4y2)216x2y2（2 2）(a21)2 4(a21)4【规律总结】因式分解是否分解结束的标志是看分解后的各因式时候还含有可【规律总结】因式分解是否分解结束的标志是看分解后的各因式时候还含有可继续因式分解的多项式。继续因式分解的多项式。中考考点解读：中考考点解读：整式的乘除是初中数学的基础,是中考的一个重点内容.其考点主要涉及以下几个方面：考点考点 1 1、幂的有关运算、幂的有关

26、运算例例 1 1（2014 年湘西）在下列运算中，计算正确的是（）（A）a3a2 a6（C）a8a2 a4（B）(a)a（D）(ab)a bmn3m2n2224235例例 2.2.（2014 年齐齐哈尔）已知10 2，10 3，则10_考点考点 2 2、整式的乘法运算、整式的乘法运算1例例 3 3（2014 年贺州）计算：(2a)(a31)=4考点考点 3 3、乘法公式、乘法公式例例 4 4.(2014 年山西省)计算：x3x1x2例例 5.5.(2014 年宁夏)已知：ab 23，ab 1，化简(a2)(b2)的结果是28考点考点 4 4、利用整式运算求代数式的值、利用整式运算求代数式的值例

27、例 6 6（2014 年长沙）先化简，再求值：(ab)(ab)(ab)2a，其中221a 3，b 3考点考点 5 5、整式的除法运算、整式的除法运算例例 7 7.(2014 年厦门)计算：(2xy)(2xy)y(y6x)2x考点考点 6 6、定义新运算、定义新运算例例 8 8.（2014 年定西）在实数范围内定义运算“”，其法则为：ab a b，求方程（43）x 24的解22考点考点 7 7、乘法公式、乘法公式例3（1）(2014年白银市)当x 3、y 1时，代数式(x y)(x y)y的值是（2）(2014 年十堰市)已知：a+b=3，ab=2，求 a2+b2的值.2考点考点 8 8、因式分解、因式分解例 4（1）(2014 年本溪市)分解因式：xy 9x（2）(2014 年锦州市)分解因式：a b-2ab+b=_.2232910