圆的有关证明及计算题专题.pdf

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1、.-圆的证明与计算圆的证明与计算 专专 题题 研研 究究圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。一、考点分析：一、考点分析：1.圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理:主要是用来证明弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮:主要是用来证明直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明垂直关系.(6)切线的判定定理:主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理:线段相等、垂直关系、角相等

2、.2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,第 1 问主要是判定切线；第 2 问主要是与圆有关的计算：求线段长（或面积）；求线段比；求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。三、解题秘笈三、解题秘笈：1 1、判定切线的方法：、判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”若切点不明确，则“作

3、垂直，证半径”。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：（1）如图，AB是O的直径，BCAB，ADOC交O于D点，求证：CD为O的切线；（2）如图，以RtABC的直角边AB为直径作O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是O的切线.（3）如图，以等腰ABC的一腰为直径作O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DEAC于E（或E为CF中点），求证：DE是O的切线.（4

4、）如图，AB是O的直径，AE平分BAF，交O于点E，过点E作直线EDAF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：CD是O的切线.CACADDEOOFBEBAFABOOCBDCDE2 2、与圆有关的计算：、与圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规-可修编.-律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：（1 1）构造思想）构造思想：如：构建

5、矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型；构造三角函数.（2 2）方程思想：）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。（3 3）建模思想：）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。3 3、典型基本图型：、典型基本图型：图形图形 1 1：如图 1：AB是O的直径，点E、C是O上的两点，基本结论有：，基本结论有：（1）

6、在“AC平分BAE”；“ADCD”；“DC是O的切线”三个论断中，知二推一。（2）如图 2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。DDDDEECCCECEFFABAABBAOOOOBK图1图4图2图3D（3）如图（4）：若CKAB于K，则：1CK=CD；BK=DE；CK=BE=DC；AE+AB=2BK=2AD;2ADCACBAC2=ADAB（4）在(1)中的条件、中任选两个条件，当BGCD于E时（如图 5），则：DE=GB；DC=CG；AD+BG=AB；ADBG=ECGAOB1DG2=DC2图54图形图形 2 2：如图：RtABC中，ACB=90。点O是

7、AC上一点，以OC为半径作O交AC于点E，基本结论有基本结论有：BBBDDDGGHFFCACCAAOEOEOE图3图2图1（1）在“BO平分CBA”;“BODE”;“AB是O的切线”;“BD=BC”。四个论断中，知一推三。（2）G是BCD的内心；CG=GD；BCOCDEBODE=COCE=（3）在图（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。（4）如图（3），若BC=CE，则：1CE2；2AE1=tanADE；BC：AC：AB=3：4：5；（在、中知一推二）AD2-可修编.-设BE、CD交于点H，,则BH=2EH图形图形 3 3：如图：RtABC中，ABC=90,以 AB 为直径作O 交

8、 AC 于 D，基本结论有：基本结论有：如右图：（1）DE切OE是BC的中点；（2）若DE切O，则：DE=BE=CE；D、O、B、E四点共圆CED=2ACDCA=4BE2,DECDBCRBDBACDEABO图形特殊化：在（图形特殊化：在（1 1）的条件下）的条件下如图 1：DEABABC、CDE是等腰直角三角形；如图 2：若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB=BF，则：DE1EF3BE1;R2CCDDEEAOBAOBF图1图2CEFD图形图形 4 4：如图，ABC中，AB=AC，以AB为直径作O，交BC于点D，交AC于点F，基本结论有：基本结论有：（1）DEACDE切O；（2）在DEAC

9、或DE切O下，有：DFC是等腰三角形；EF=EC；D是BF的中点。与基本图形基本图形 1 1 的结论重合。A连 AD，产生母子三角形。OB图形图形 5 5：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于，基本结论有基本结论有：AAADDDEGEEFOOOFCCBCBB图3图2图1（1）如图1：AD+BC CD；COD=AEB=90；OD平分ADC（或OC平分BCD）；（注：在、及“CD是O的切线”四个论断中，知一推三）ADBC（2）如图 2，连AE、CO，则有：COAE，COAE=2R2(与基本图形 2 重合)（3）如图 3，若EFAB于F，交AC于G，则：EG=FG.1AB2=R2；4图形图形

10、6 6：如图：直线PRO的半径OB于E，PQ切O于Q，BQ 交直线PQ于R。基本结论有：基本结论有：-可修编.-BEOQRAPREBPBQQBOEOAPROQEPR（1）PQ=PR(PQR是等腰三角形)；（2）在“PROB”、“PQ切O”、“PQ=PR”中，知二推一（3）2PRRE=BRRQ=BE2R=AB2图形图形 7 7：如图，ABC内接于O，I为ABC的内心。基本结论有：基本结论有：（1）如图 1，BD=CD=ID；DI2DEDA；AIB=90+ADOIA（2）如图 2，若BAC=60，则：BD+CE=BC.1ACB;2OBD图1EICBEC图2图形图形 8 8：已知，AB是O的直径，C

11、是BG中点，CDAB于D。BG交CD、AC于E、F。基本结论有：基本结论有：GFHAODCEB1BG；BE=EF=CE；GF=2DE21(反之，由CD=BG或BE=EF可得：C是BG中点)21（2）OE=AF，OEAC；ODEAGF2（1）CD=（3）BEBG=BDBA（4）若D是OB的中点，则：CEF是等边三角形；BC=CG=AG四、四、X X 例讲解：例讲解：-可修编.-1.1.ABP中，ABP=90，以AB为直径作O交AP于C点，弧CF=CB，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D.（1）求证：CD为O的切线；（2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求EF的值。AF2

12、2直角梯形ABCD中，BCD=90，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、BD交于F.求证：CD为O的切线若BE3，求BF的值AB5OFADDF3 3如图，AB为直径，PB为切线，点C在O上，ACOP。（1）求证：PC为O的切线。（2）过D点作DEAB，E 为垂足，连AD交BC于G，CG=3，DE=4，求BECDG的值。DB4 4。如图，已知ABC中，以边BC为直径的O与边AB交于点D，点BDE为的中点，AF为ABC的角平分线，且AFEC。（1）求证：AC与O相切；-可修编.-（2）若AC6，BC8，求EC的长FCDEBAO5.5.如图，RtABC，以AB为直径作O交AC于点BD

13、=DED，过D作AE的垂线，F为垂足.A（1）求证：DF为O的切线；D（2）若DF=3，O的半径为 5，求tanBAC的值.EHBCO F6如图，AB为O的直径，C、D为O上的两点，过D作直线BC的垂线交直线AB于点E，F为垂足.AD=DC（1）求证：EF为O的切线；F（2）若AC=6，BD=5，求sinE的值.DCEAOB7如图，AB为O的直径，半径OCAB，D为AB延长线上一点，过D作O的切线，E为切点，连结CE交AB于点F.（1）求证：DE=DF；（2）连结AE，若OF=1，BF=3，求tanA的值.C8如图，RtABC中，C=90，BD平分ABC，以AB上一点O为圆心过B、D两点作O，

14、O交AB于点一点E，EFAC于点F.（1）求证：O与AC相切；（2）若EF=3，BC=4，求tanA的值.AEFDCOBAOFBDE-可修编.-（1）求证：DE为O的切线；9如图，等腰ABC中，AB=AC，以AB为直径作O交BC于点D，DEAC于E.CD（2）若BC=4 5，AE=1，求cosAEO的值.EABC10如图，BD为O的直径，A为的中点，AD交BC于点E，F为BC延长线上一点，且FD=FE.（1）求证：DF为O的切线；（2）若AE=2，DE=4，BDF的面积为8 3，求tanEDF的值.线CF交EN于点F，且ECF=E（1）求证：CF是O的切线；ABOBCEF11、如图，AB是O的

15、直径，M是线段OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BCO的延长线于点E，直ED（2）设O的半径为 1，且AC=CE3，求AM的长FCNABMO12、如图，AB是O的直径，BCAB，过点C作O的切线CE，点D是CE延长线上一点，连结AD，且AD+BC=CD.（1）求证：AD是O的切线；（2）设OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求线段BC的长.CEDFABO13、如图，ABC中，AB=BC，以AB为直径的O交AC于点D，且CD=BD.（1）求证：BC是O的切线；（2）已知点M、N分别是AD、CD的中点，BM延长线交O于E，EFAC，分别交BD、BN的延长线于H、F，若DH=2，求EF的长.BOMDNAC-可修编.EHF.-的中点，OE交弦BC于点D，过点C作交AD的平行线交OE的延长线于14、如图，AB是半O上的直径，E是BC点F.且ADO=B.（1）求证：CF为O的O切线；（2）求 sinBAD的值.FCADOEB11、如图，ABC中，ABAC，以AC为直径的O与AB相交于点E，点F是BE的中点（1）求证：DF是O的切线（2）若AE14，BC12，求BF的长BEFAODC-可修编.