《线性代数》模拟试卷B及答案.pdf

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1、线性代数模拟试卷 B 及答案一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 3 分，共分，共 3030 分）分）(1)若 A 为 4 阶矩阵，则3A=(）(A)4A（B)34A(C）43A（D）3 A（2）设 A,B 为 n 阶方阵，A 0且AB 0，则（）（A)B 0（B）BA 0(C)(A B)2 A2 B2(D）A 0或 B 0（3）A，B，C 均为 n 阶方阵，则下列命题正确的是(）（A)AB BA(B）A 0,B 0则AB 0(C）AB A B(D)若AB AC,则B C（4）(A B)2 A22AB B2成立的充要条件是(）（A）（B）A E（C)B E（D)A BAB BA(k 1)x

2、2y a（5)线性方程组有唯一解，则k为（）2x(k 1)y b(A）任意实数（B）不等于 5（C)等于 5(D)不等于 0（6）若 A 为可逆阵,则(A)1=（）(A）A A(B）A A(C）A(D)A11AA(7）含有 4 个未知数的齐次方程组AX 0,如果R(A)1，则它的每个基第1页（共 3 页）础解系中解向量的个数为（）(A）0（B)1（C)2(D）3(8）设A为mn矩阵，齐次方程组AX 0仅有零解的充要条件是A的（）(A)列向量线性无关(B）列向量线性相关（C)行向量线性无关（D)行向量线性相关 31(9）已知矩阵 A=,下列向量是 A 的特征向量的是(）1 1111（A）（B）（

3、C）（D）20211（10)二次型f(x1,x2,x3)x124x224x322x1x22x1x34x2x3为正定二次型，则的取值范围是（）（A)21(B)1 2(C）3 2(D)2二、计算题（第二、计算题（第 1 1、2 2 小题每题小题每题 5 5 分，第分，第 3 3、4 4 小题每题小题每题 1010 分分,共共 3030 分）分）xaaaaxaaxax1、计算行列式D4aa.(5 分）aaa第2页（共 3 页）3212、设A=315，求A的逆A-1。（5 分）323 03、求矩阵方程AX B X，其中A 11110第3页（共 3 页）0 11,B 21510。(10 分）34、求向量

4、组T1=-1 143TT,2=2-135T，3=1078,4=5-327的秩,并求出它的一个最大无关组。（10 分）三、证明题（第三、证明题（第 1 1 小题小题 9 9 分分,第第 2 2 小题小题 6 6 分，共分，共 1515 分）分）1、已知向量组1,2,3线性无关，11,212,3123，试证向量组1,2,3线性无关.(9 分)第4页（共 3 页）2、设 A、B 分别为 m，n 阶可逆矩阵，证明：0H BA 01可逆，且H10AB1。(6 分）0四、综合题（第四、综合题（第 1 1 小题小题 1515 分，第分，第 2 2 小题小题 1010 分，共分，共 2525 分）分）x1 x

5、2 x311、取何值时，非齐次线性方程组x1x2 x3，（1）有唯一解；（2)x x x 2312无解;(3）有无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解。(15 分)第5页（共 3 页）2、已知 A 为 n 阶方阵,且满足A22A3E 0（1）证明：A2E可逆，并求A2E.（5 分）（2）若A 1,求4A6E的值.（5 分）1第6页（共 3 页）线性代数模拟试卷四参考答案与评分标准一、选择题（一、选择题（3030 分）分）每题 3 分,共 10 题，共 30 分（1）B（2）D(3)C（4)A（5）B（6)C（7）D（8）A(9）D（10)A二、计算题（二、计算题（3030 分）分）第 1、2

6、小题每题 5 分,第 3、4 小题每题 10 分，共 30 分。1、xaaaD4axaaxax3x=axa00a0 xa0a00 xa=x3a000axa00a0 xa0a00 xaa xa xa xaaaaa=(xa)(x3a)或以其它方式计算视情况酌情给分，结果正确得5 分。2、对(A,E)作初等行变换,当A变为E时，E则变为A,1100321 100(A,E)3 15010010323001 00176112233212(E,A1)4 分102 7236321则A112.5 分1102 2也可用求伴随矩阵的方法求该矩阵的逆，视情况都可酌情给分.3、由AX B X，得(A E)X B，求X

7、，我们同样可以用上面题目的方法，对AE,B进 行 初 等 变 换，当AE变 为E时，B则 变 为X (A E)1B，第1页（共 3 页）1101111011 10120 01111.。.。.5A E,B。1025300333分1003101020=E,(AE)1B。8001 11分311则，X (A E)B=20.。1011分4、作矩阵A 12312114 43355 03经过初等行变换可化为行72 87110最简形矩阵002，。6 分015112，得R(A)2，即向量组1,2,3,4的秩为000000可取1，2为向量组的一个最大无关组。10 分由题意可知向量组中的任何两个（因对应分量不成比例

8、）都可以做为它的一个最大无关组。三、证明题（三、证明题（1515 分）分）第 1 小题 9 分，第 2 小题 6 分,共 15 分。1、证明：设有1,2,3使112233 0，.。.。2 分即1(1)2(12)3(123)0,。4 分第2页（共 3 页）亦即(123)1(23)233 0，.6 分123 0因1,2,3线性无关，故有23 0,8 分3 0故方程组只有零解123 0,所以向量组1,2,3线性无关。.9 分.2、证明:HH1 0BA 00A11B1Em000 Emn.。4 分En故H可逆且H 01AB1。6 分。0四、综合题（四、综合题（2525 分）分）第 1 小题 15 分，第

9、 2 小题 10 分,共 25 分。1、计算线性方程组的系数行列式1111010122(1)2(2)。.6 分A 11 011当A 0，方程组有唯一解，即（1）当1且 2时，方程组有唯一解；。8 分（2）当 2时,方程组的增广矩阵为2111 1010B 12120110，11240001则R(A)2,R(B)3，方程组无解；10 分（3）当1时，方程组的增广矩阵为第3页（共 3 页）1 1 1 11111B 1 1 1 10000，R(A)R(B)1，.12 分1 1 1 10000方程组有无穷多个解，可得通解为x11 x2 x3(x2,x3可任意取值)x1111 即：x2 c11c20 0,(c1,c2R)。15 分 x0103 2、（1）证明：由A 2A3E 0，得A(A2E)3E，则。.1 分由 A 为 n 阶方阵，A A2E 3E 3 0，.。.3 分 A2E 0,A2E可逆，由上可得：A2E22nA(A2E)E，31A.。.5 分32（2）由A 2A3E 0，可得A 2A3E，。1分则2A 4A6E,所以2A2 4A6E,由A 1，.。3 分得4A6E 2A 2 A 2。.。.。5 分2n2n2第4页（共 3 页）