八年级数学上册 11.3《多边形及其内角和》三角形思维点拨素材 新人教版(2021-2022学年).pdf

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1、思维点拨思维点拨:三角形三角形如图,三角形 AB的边 AO、BO 分别是三角形OC 的边 CO、DO 的延长线，则A+BC+D.解：在三角形 ABO 中,+AO=180，在三角形OD 中,C+DOC=180,所以A+BAOB=CDOC。又因为ADO,所以AB=C+.由此我们得到以下结论:如果两个三角形有一个角是对顶角,那么这两个三角形的另外两个角的和相等【例 1】如图,已知五角星 ABCDE，求A+B+C+D+E 的度数和。【思考与分析】我们可以连结 DE,在由三角形 ACF 和三角形 DEF 构成的图形中，A+C=CD+EA，从而把五角星CDE 的五个内角放到了三角形 BED 中,根据三角形

2、内角和定理即可求出A+B+C+D+E 的度数解：连结，由以上结论可知:+C=CE+EDA,又因为在三角形 B中,+BC+BA+CED+EDA=180,所以BBECBDA+AC=180。即A+B+C+D+E180【例 2】如图，求2+4+5 的度数和【思考与分析】我们按照例的思路，连结D,则在三角形 AE和三角形 DC所构成的图形中,EDC+DCA,这样就把、2、3、5 同时放到了三角形 BD中，即可求出1+23的度数和.解：连结 CD,则+4=EDCDA，又因为在三角形 BDC 中，1+5+2+DC+CA=80,所以5+2+3+=180，即23480。【小结】按照这种思路，以上两题还有多种解法

3、，大家不妨试一试,看能找到多少种解法.【例】如图,三角形BC 中，AD 平分，EGAD，且分别交B、AD、A及 B的延长线于点 E、H、G,下列四个式子中正确的是(）。【思考与解】因为 EA,交点为 H，D 平分BAC，1BAC所以在直角三角形 AHE 中，1=02在三角形 ABC 中，易知A18(2+3）,1所以1=-21180-(23)=2（32）。又因为是三角形 EG 的外角，所以1+G.1所以G1-2=2所以应选 C1(+）2=2(32).【例】如图,点为三角形 AB内的一点,已知AB0,AC5，A=35。你能求出BC 的度数吗？【思考与解】延长 BD，与 AC 交于点，因为DEC 是

4、三角形 AE 的外角，所以EC=A+ABD=32=55.又因为BD是三角形 CDE 的外角,所以BC=DEC+ACD=5525=80.【小结】记准一些常用的结论,有助于我们快速地、正确地解题。【例】如图,已知10，C=0,BOC=1，你能求出的度数吗?【思考与分析】要求A 的度数，我们可以设法让A 成为某个与已知角相关的三角形的内角。我们可延长 BO 交 AC 于 D,则A、即为三角形 AB的两个内角。根据三角形外角的性质,欲求的度数,可先求O的度数，由BOC=11，C=0即可求出C 的度数。解:延长 BO 交 AC 于 D。因为BOC 是三角形 OC 的外角,所以BCODCC.因为C=1,C

5、0，所以D110-2=90.因为ODC 是三角形 A的外角，所以DC+B。因为B1,所以A90-10【例 6】如图,点是三角形 ABC 内一点,连结 BD、CD,试说明DCBAC.【思考与分析】BDC 和BA在两个不同的三角形内，而且不能直接比较它们的大小，必须做辅助线把这两个角联系起来。我们延长 B交 AC 于,或连结 AD 并延长交 BC 于 Q，都可以利用三角形外角的性质解题。解:延长D 交 A于 P，则BDCDPC，DPBC,所以DCBA.【反思】我们还可以连结 AD 并延长交 BC 于,如图，请大家试一试，看能不能得到相同的结论。【例】已知三角形 AB的一个内角度数为 40，且=B,

6、你能求出C 的外角的度数吗?【思考与分析】在三角形 AB中,A,因此三角形 A是一个等腰三角形,我们必须要讨论 4的角是三角形 A的顶角还是底角,应分两种情况解答解：(）设40，当 是等腰三角形的顶角时,则 的外角等于 18040=10，而C,所以的外角的度数为 14.（2)设40，当 是等腰三角形的底角时,=B=4,此时C 的外角A+B=8.【例 8】已知非直角三角形BC 中,A45，高 B和 CE 所在的直线交于 H，你能求出BH的度数吗?【思考与分析】三角形的形状不同,高的交点的位置也就不同.高的交点的位置可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部,因此我们应该分两种情况进行讨论解:当三角

7、形C 为锐角三角形时,如图 1 所示.因为 B、CE 是三角形 AC 的高,A5，所以ADB=BE=90，A=04545。所以BHC=BH+BH=45+0=1。(2）当三角形 AC 为钝角三角形时，如图 2 所示.因为 H 是三角形的两条高所在直线的交点,=45，所以B9044.所以在直角三角形 EBH 中,BHC=9D9055。由（）、()可知，BHC 的度数为 135或5.【小结】我们在解题中，经常遇到题目中某些条件交代不清,此时，我们一定要注意分情况考虑，用分类讨论的方法使解完整【例 9】如图,已知三角形 ABC 中,B=2A,你能求出的度数吗?【思考与分析】我们由三角形内角和可知，A+

8、C=10,又因为B=C2,可得AB+C=+22A8，即可求出A 的度数.我们还可以用方程来解这道题,根据三角形内角和定理与B=A 这两个已知条件求未知量的度数。用方程解决问题，我们必须在弄清题中已知数量和未知数量的关系的基础上，要抓住题中的不变量,建立等量关系。题中的不变量是三角形内角和等于 180，其等量关系是A+B+C=80,然后我们用数学语言把这个等量关系式转化为方程。设A 的度数为，则可以用 2x 分别表示、C 的度数,将这个等式转化为方程 x+x+2180,即可求出A 的度数.解法一：因为=C=A，A+B+C0,所以A+B+CA2A=8，即A6解法二:设A 的度数为 x，则B、C 的

9、度数都为 2，列方程得 xx21，解得 x=6，即A36。【例 10】判断适合下列条件的三角形 AC 是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形.（1)A=8,=25；(2)A-B0,C3;【思考与分析】根据角判断三角形的形状，我们只需求出三角形中各角的度数就可以了,本题判断三角形是否是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形,只需求出三角形中最大角的度数即可。(）题通过直接计算就可以求出的度数，（)(3）题不便于直接计算,可以运用方程思想抓住等量关系，列方程进行求解.解：（1)因为=80,B=25，所以C=8-802=75,所以三角形 ABC 是锐角三角形.(）设x,则=(0+），C(x36）,所以

10、x(0）(-36)=8，解得 x2,所以最大角A=92，所以三角形 ABC 是钝角三角形.（3）设=x，B=x，=6x，则 x+2x+6x=180,解得 x=2，所以120,所以三角形 AB是钝角三角形。【小结】利用方程求角度是我们常用的方法之一。在三角形中，给出的条件不能直接求出结果,且各角之间有相互关系,我们可以设其中一个角为未知数,再把其它角用此未知数表示,然后列方程即可求解.利用高线与边垂直的性质求度数【例 1】已知BC 的高为 A，BAD70，A=20,求BC 的度数【思考与分析】由于 AD 为底边 B上的高,过做底边的垂线时，垂足 D 可能落在底边 BC 上，也有可能落在 BC 的

11、延长上。因此,我们需要分情况讨论.解:(1）当垂足 D 落在C 边上时,如图，因为A=0，C=20，所以BAC=BAA=00=90。（2)当垂足 D 落在 B的延长线上时,如图,因为BD70，AD20，所以BAC=BDCD=700=0所以B为0或 50.【小结】由于三角形可以分为锐角三角形、直角三角形与钝角三角形，在题目所给条件中如果没有确切说明三角形的具体类型时,我们就要分类讨论,以防遗漏。2。利用三角形面积公式求线段的长度【例 1】如图，AB中，D，CE 是AC 的两条高，BC=5c,AD=3m,C=4m，你能求出的长吗？【思考与分析】由于三角形面积等于底与高乘积的一半.因此，三角形的面积

12、就有三种不同的表达方式.我们若设BC 的三边长分别为 a,b,c，对应边上的高分别为 ha，hb,hc1,那么三角形的面积 S=21aha=21bhb=2hc.本题中已知三角形的两条高与其中一条高所对应1的边,求另一条边,利用三角形面积 SC=21解:SAB212153=21CAD=2AE1BCAD=2ACE,解决十分方便。15B4，解得 AB=4()【小结】用同一个三角形不同的面积表达式建立等式求线段的长度，是一种很重要的方法,在今后的学习中,我们应注意这种方法的运用【例 1】如图，已知 AD、AE 分别是三角形 AB的中线、高，且 AB=5cm,A=3c,则三角形 ABD 与三角形 ACD

13、 的周长之差为,三角形 AD 与三角形 AD 的面积之间的关系为.【思考与解】(1）三角形 AB与三角形 ACD 的周长之差(AB+D+A)(D+CD+A)=BBD-CA.而 BD=CD,所以上式=BA=(cm).1（2)因为 S三角形 ABD=21BDAE，S三角形 ACD=2DAE，而 B=CD,所以三角形 ABD=三角形CD.【例 1】如图,在三角形 AC 中,1,G 为 AD 的中点,延长 BG 交 AC 于 E。F 为 A上的一点，CFA于 H.下列判断正确的有（)。()A是三角形 AB的角平分线。(2）BE 是三角形 AB边 AD 上的中线。(3)CH 为三角形D 边 AD 上的高

14、.A.个B。2 个.3 个D.0 个【思考与解】由1=2，知 A平分BA,但 AD 不是三角形 ABE 内的线段，所以()不正确;同理,E 虽然经过三角形 ABD 边 A的中点 G,但E 不是三角形BD 内的线段，故(2)不正确;由于HAD 于 H,故 C是三角形C边 AD 上的高,（)正确.应选.【例 1】如图，在直角三角形 ABC 中，ACB=90，CD 是 AB 边上的高,AB=13m,=cm，Cm()求三角形C 的面积。(2)求 CD 的长。1【思考与分析】求直角三角形的面积,有两种方法：S21长）;S=2(a、b 为两条直角边的ch(c 为直角三角形斜边的长,h 为斜边上的高）.由此

15、可知 ab=ch，在 a、b、c、四个量中，已知其中三个量,就可以求出第四个量。解：(）在直角三角形B中,ACB=,B12cm,C5cm,1所以C2CC=0（c）。21(）因为D 是 AB 边上的高，所以 SAC260CD=13cm.1ABCD,即21C=0。解得【例 1】如图 1 所示，你能求出AB+D+F 的度数吗?【思考与解】我们可以连结 EF,把A+B+C+DE+F 的度数转化为求四边形CEF的内角和。如图 2 所示。因为+D+AD=OFE+OFOEF80，所以AB+C+D+E+FOFE+OEFC+B+F60。【例】如图,凸六边形CDF 的六个角都是 12,边长 AB=cm，B=8cm

16、,C=1,DE=6m,你能求出这个六边形的周长吗？【思考与分析】要求六边形的周长，必须先求出边 E和F 的长。由六边形 ACDEF 的六个角都是 120，可知六边形的每一个外角的度数都是 60，如图 4，如果延长A,得到的AF60，延长 E，得到的PFA60,两条直线相交形成三角形 APF,在三角形 AP中,P 的度数为18-600，因此三角形 APF 是等边三角形。同样的道理,我们分别延长 AB、DC,交于点 G，那么三角形 BGC 为等边三角形分别延长 FE、CD 交于点 H,则三角形 DH也是等边三角形.所以G=H0.所以三角形 GHP 也是等边三角形。于是我们得到三角形 APF、三角形

17、C、三角形 DE、三角形 GHP 四个等边三角形。于是就把多边形的问题转化为和等边三角形有关的问题利用等边三角形的三边相等的性质，可以轻松的求出F 和的长，从而求出六边形 ABCDF的周长.解：如图,分别作直线 AB、D、EF 的延长线使它们交于点、H、。因为六边形BCDE的六个角都是 10,所以六边形 ABEF 的每一个外角的度数都是 60。所以三角形 APF、三角形 BGC、三角形 DHE、三角形 GP 都是等边三角形。所以 GC=BC=8cm,DHDE=6所以 GH=8+16=25cm，FA=PPGAB-BG=5-,EF=PH-F-E=5-5-64c。所以六边形的周长为8+116+4+1

18、5=6cm。【反思】本题解题的关键是利用多边形和三角形的关系，通过添加辅助线，利用六边形构造出等边三角形,从而利用转化的思想,把多边形问题转化为和三角形有关的问题，利用三角形的性质、定理来解答多边形的问题。方程思想是我们学习数学的重要思想方法之一。用方程思想求解数学问题时，应从题中的已知量与未知量的关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程,再通过解方程,使问题得到解决。方程思想应用非常广泛。我们不但能用方程思想解决代数问题，而且还能够解决有关的几何问题。【例 18】已知三角形的第一个内角是第二个内角的 1。5 倍，第三个内角比这两个内角的和大 3,求这三个内角的度数。【思考

19、与分析】题中的已知量是“第一个内角是第二个内角的 1。5 倍,第三个内角比这两个内角的和大0,未知量是这三个角的度数.题中没有给出三角形内角的度数。但第一个内角和第三个内角与第二个内角的度数相关联，所以解这道题的关键是求出第二个内角的度数。要想解决这个问题，不妨设第二个内角的度数为 x，利用方程思想来解。根据三角形的内角和为 10,由此我们可以得到这样的等式关系:第一个内角+第二个内角+第三个内角180。当我们用数学语言表示第二个内角为 x，第一个内角为 1。5x，第三个内角为x+15x+3,利用代换法，将上述的等量关系转化为方程:x+1。5x+（+1。+0)=0。通过解这个方程就能使问题得到

20、解决.解:设这个三角形的第二个内角的度数为 x,则第一个内角的度数为.5x,第三个内角的度数为(+1。5+30)，列方程可得 x+1。5x+(x+1。5+30)180，解得 x30.所以三角形的三个内角分别为,3，10。【例 19】如图，已知在三角形C 中,CABC=A,BD 是 A边上的高,求DB的度数。【思考与分析】我们欲求BC 的度数,因为DBC 是直角三角形 DBC 的一个内角,因此问题转化为求C 的度数,由已知条件知三角形BC 的三个内角关系为C=ABC=2A，又根据三角形内角和定理有等量关系：AAB+C=10，从而我们用一个角的度数来表示另外两个角，代入这个等量关系求三个内角的度数,即用方程的方法解决问题.可设A,则=BC2x，代入上述等量关系得方程 x+x2x18，可解得的值,从而可求得BC 的度数解:设A=x,CABC=x，在三角形 ABC 中，x2x+x=80,解得 x=36,则=72.因为D 是C 边上的高，所以BC90。在直角三角形 BDC 中,DBC=90-721