基本不等式的综合应用.pdf

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1、.根本不等式的综合应用根本不等式的综合应用根本不等式是人教版高中数学必修5 第三章第四节的内容，在高考中占有很重要的比重。而同学们在使用根本不等式的过程中往往会遇到各种各样的题型而觉得无从入手。现结合教学中实际遇到的问题，浅谈利用根本不等式求最值的各类题型的处理方法。题型一：直接利用根本不等式求最值p2ab理论依据：1当a0,b0且ab=p时，ab，当且仅当ab时等号42成立，简记为“和定积最大2当a0,b0且abp时，ab2 ab2 p，当且仅当ab时等号成立，简记为“积定和最小例 1x0,yo且2x3y6,求xy的最大值解：x0,y0且2x3y6262x 3y2 6xy，即xy3232x3

2、y3x即xy的最大值为，当且仅当2时等号成立22x3y6y123x0,yo且2,求xy的最小值xy解：x0,y0且232xy2236，即xy62xyxy23xyx2xy的最小值为 6，当且仅当即时等号成立232y3xy题型二：配凑法4的最小值x2解：x2x20例 2已知x2,求x+x444x222(x2)26x2x2x2实用文档.4时等号成立x24取得最小值 6当x 4时，xx23已知0 x,求y 4x(32x)的最大值23解：0 x 20 2x 332x 02x32x29)y 22x(32x)2(223当且仅当2x 32x，即x 时等号成立439当x 时，y 4x(32x)取得最大值42当且

3、仅当x2 b21,求a 1b2的最大值a 0,b 0且a 42b21解：a 424a2b2 4114a21b252a 1b 2a 1b 222422a 1b2当且仅当时等号成立224a b 4a 当b 1054时，a 1b2取得最大值462求y=x25x 42的最小值1x 41x24，即x 4 1，显然不成立。2错解：y=x25x 42x2+4+1x 42=x24+2 2分析：上述不等式的等号成立条件：x 4=2正解：令t x24实用文档.1t1又y t 在1，上单调递增t15y t 在t 2时的最小值为t2y t t 2y=x255的最小值为2x24题型三：“1的代换例 3x 0,y 0且1

4、2=1，求x2y的最小值xy解：x2y (x2y)(1x22x2y2x2y)14529yyxyx当且仅当2x2y，即x y时，等号成立yx又12=1x 3,y 3xyx2y的最小值为 9x 0,y 0且x2y=2，求x8y的最小值xy解：x8y8181x2y116yx()(82)xyxyxy22xy116yx(102)92xy16yx，即x 4y时等号成立xy41,y 33当且仅当又x2y=2,x x8y的最小值为 9xy x 0,y 0且2x y 2xy,求x2y的最小值解：2x y 2xy实用文档.1112xyx2y (x2y)(111xy5xy9)222xy2yx2yx2当且仅当xy，即

5、x y时，等号成立yx32又2x y 2xy，x y x2y的最小值为92题型四：整体思想构造不等式例 4x 0,y 0且x+y-3xy+5=0,求xy的最小值解：x 0,y 0 x y 2 xyx y 3xy5 2 xy3xy2 xy 5 0(3 xy 5)(xy 1)05325xy，当且仅当x y时等号成立95又x+y-3xy+5=0 x y 325xy的最小值为9xy x 0,y 0且 x+3y+xy=9,求x+3y的最小值解：x 0,y 0，x+3y+xy=99(x3y)xy 211 x3y2(x3y)()332(x3y)12(x3y)108 0(x3y 18)(x3y6)0实用文档.x3y 6，当且仅当x 3y时等号成立又x+3y+xy=9x 3,y 1x+3y的最小值为 6x 0,y 0且x2 y2 xy 3，求x y的最小值解：x 0,y 0，x2 y2 xy 32(x y）=3+xy(x y）3 xy (2x y2)232(x y）342(x y）4x y 2，当且仅当x y时等号成立又x2 y2 xy 3x y=1x y的最小值为 2小结：在应用根本不等式求最值时，一定要准确把握“一正，二定，三相等这个条件，同时，解题过程中，一般只使用一次根本不等式，假设屡次使用不等式，那么须保证各个不等式的等号能够同时成立。实用文档.