习题与复习题详解----高等代数.pdf
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1、第第 五五 章章习习 题题 与与 复复 习习 题题 详详 解解(矩矩 阵阵 特特征征 值值 和和 特特 征征 向向 量量)-高高 等等 代代 数数(共共3 3 4 4 页页)-本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-习题习题1.(1)若 A2=E,证明 A 的特征值为 1 或1;(2)若 A2=A,证明 A 的特征值为 0 或 1.证明证明(1)A2 E所以A2的特征值为1,故A的特征值为1(2)A2 A所以两边同乘A的特征向量X,得A2X AX,即2X X()X 0,由于特征向量非零,故 022即 0或12.若正交矩阵有实特征值,证明它的实特征值为 1
2、或1.证明证明设A是正交阵,故有ATA E,AT A1AT与A有相同的特征值,1故设A的特征值是,有=,即 13求数量矩阵 A=aE 的特征值与特征向量.解解设A是数量阵,则a0A aE 000000a000aaE A a000a所以:特征值为 a(n 重),A 属于 a 的特征向量为 k1(1,0,0)T+k2(0,1,0)T+kn(0,0,1)T,(k1,k2,kn不全为 0)4求下列矩阵的特征值与特征向量.113(1)0120022324(2)20242322 112(3)2 221 212(4)533102a1aT(5)A 2b1b2ana1b1ab2bn,其中,2,(a1 0,b1
3、0)且T 0.abnn解(解(1 1)11AE 0100322 0,求得特征值为:121,3 2,分别代入AX=0,0,求得A 属于特征值 1 的全部特征向量为 k(1,0,0)T,(k0)A 属于特征值 2 的全部特征向量为 k(1,2,1)T,(k0)解(解(2 2)3AE 242492r1r322344902c1c3023149223按第一列展开(1)49(1)2(8)2求得特征值:12 1,38将其代入(AE)X 0 0,求得特征向量:3121 1时,X k11k20,k1,k2不全为零10 118时,X kk 0 21解(解(3 3)12AE 2122211112 r1r2r3212
4、 (1)212212112121011(1)112 (1)(1)(3)021解得:11,2 1,3 3代入(AE)X 0 0,求得特征向量:A 属于特征值-1 的全部特征向量为 k(1,-1,0)T,(k0);A 属于特征值 1 的全部特征向量为 k(1,-1,1)T,(k0);A 属于特征值 3 的全部特征向量为 k(0,1,-1)T,(k0)解(解(4 4)251130223r35r20211302752直接展开:(1)221(1)3特征值为-1,-1,-1;A 属于特征值-1 的全部特征向量为 k(1,1,-1)T,(k0)4解(解(5 5)a1aA 2b1b2ana1b1a1b2a b
5、a2b2bn2 1anb1anb2a1bna2bnanbn设为A的任一特征值,A的属于的特征向量为:,则A于是A2A2而A2TT(T)T(T)TT 0故2=0,因为特征向量 0,所以 0,即矩阵A的所有特征值为 0.a1b2a1b1a ba2b2AE 2 1anb2anb1bnb1b20000初等行变换000解得基础解系:b3b2bb11 0 1 1,20100a1b1a2bna ba1 0,b1 02 1anbnanb1a1bna1b2a2b2anb2a1bna2bnanbnbnb1 0 n-101特征值为 0(n 重);A 属于 n 重特征值 0 的全部特征向量为:b3bn2bb1b1b1
6、 0 0 1 k10+k21+kn10(k1,k2,kn1不全为零)00155.设12A2 212221(1)求A的特征值与特征向量;(2)求E A1特征值与特征向量.解(1)1223113AE 212r1r2r3212c3c222212212310430(1)4122132(1)(5)(1)121,3 5将1代入特征矩阵:222 A E222111000222000故属于1的特征向量为11 k11 k20(k1,k2不全为0)01将1代入特征矩阵:422 A5E242211 121224000属于3 5的特征向量:1 k1(k 0)1(2)E A1的特征值为:11 2,11455610112
7、1 7416.已知 12 是矩阵A 471的一个特征值,求 a 的值.4a4解解71241541112A12E 47121 451 0994a4124a80a4012是A的特征值,A12E 0a 41211 7.已知 X=k是矩阵 A=121的一个特征向量.求 k 及 X 所对应的特征值.1112 解解AX X211 11 121kk11211 2k 112k 1k解得:k1 2,k21,代回得1k 2 k1 2k21112 4习题习题1.判断习题第 4 题中各矩阵能否与对角矩阵相似.如果相似,求出相似变换矩阵与对角矩阵.1)特征值121只有一个线性无关的特征向量,不能对角化2)二重根12 1
8、有两个线性无关的特征向量,可以对角化.7相似变换矩阵为112100 P 201对角阵为 0100120083)矩阵有三个互异的特征值,故可以对角化.110 100P 111对角阵为 0100110034)不能对角化.5)n1重根 0有n1个线性无关的特征向量,所以可以对角化.2判断下列矩阵是否与对角阵相似,若相似,求出可逆矩阵 P,使P1AP为对角阵.211112(1)A020(2)A010413001解解(1)2AE 04121103(2)2413(1)(2)21 1,23 2 2时,R(AE)1所以该矩阵可以对角化代入12 2,3 1解得对应的特征向量分别为:111 k14k20,k004
9、1 111所以:可逆矩阵P 400041解解(2)81AE 00110201(1)31时,R(AE)1故该矩阵不能对角化3设 A 是一个 3 阶矩阵,已知 A 的特征值为 1,1,0,A 属于这 3 个特征值的特征向量分别为1 0 1 X12,X22,X31112 求 A.解解 A 有三个互异的特征值,所以可以对角化.1A001A P0010010110P 2211120000110P00求P:1011(P|E)22101120 5121P311412k001100010 51A 164200010051221210010311111010014122610111224计算212 (k为正整数
10、).221解解1AE 22225221220112 512(5)0121521009(5)(1)2222 1时,(AE)222111000222000解得特征向量:=k1 K1,k1,k2 0112001422 24210 5时,(AE)2424222240000100解得特征向量:1=k1k 01 121122kk333212-11 1 1 12 =1 12211010115333111333(1)k1(1)k15k-1213(1)k05k11120(1)k5k1112(1)k1(1)k15k(1)k15k15k3(1)k15k2(1)k5k(1)k15k(1)k15k(1)k15k2(1)
11、k5k5设A 200 2a2,B 2233ab10110A 与 B 相似.(1)求 a,b 的值;(2)求可逆矩阵 P,使P1AP=B.解解1)A 与 B 相似,故 A 与 B 有相同的特征多项式,即:E A E B2E A 23200a2a2(2)3(a1)2(a4)2(a2)11110020(2)2(b)3(b1)2(b2)2b0bE B 00各项系数对应相等可得:2b 2a4,b2 (a4),b a2a 0,b 2(2)2001A 202,B 2311211100100100 0 212 212 012解得(A E)X 0 0的基础解系为kA E1231110000012 2400 10
12、0 1000 222 111 011解得(A2E)X 0 0的基础解系为kA2E213113110001 3 20001111011222 313 010解得(A2E)X 0 0的基础解系为kA2E30313000000111001最后解得可逆矩阵P210,使得P1APB111001x1y6.设 A=与对角阵相似,求 x,y 满足的条件.100解解AEx10101y(1)(1)(1)将1代入特征矩阵:101101AEx0yx0y101000由于A与对角矩阵相似,故R(AE)2于是xy即xy07设 A 与 B 相似,f(x)=a0 xn+a1xn1+an1x+an(a00),证明 f(A)与 f
13、(B)相似证明证明因ABan 1AanE)Pan 1P1A PanP1EP所以存在可逆P,使得P1APBP1(a0Ana1An 1现证明P1AkPBk因Bk(P1AP)kP1AkP代回P1f(A)Pa0Bna1Bn 1an 1BanEf(B)a0P1AnPa1P1An 1P故 f(A)与 f(B)相似BA08若 A 与 B 相似,C 与 D 相似,证明与00C证明证明0相似.D12若A相似于B,C相似于D1则存在P1 B1AP1,有P存在P2,有P21CP2 DPP 111P1PP2P21BDP21CP21 APP11CP21得证1P11APP2习题习题1求正交矩阵 Q,使Q1AQ为对角阵.2
14、20 211(1)A 212(2)A 121112020解解(1)先求特征值和特征向量2AE 20将11代入:21202 直接展开(2)(1)4(2)4 33268 2(1)2(4)(1)(2)(4)(1)1011201211201A E202101021 012021021000000解得特征向量:231单位化得:3232P 112132 4220 220 102232 012 012AE024024000 2 3解得P2 22单位化:213133 2 420 210 2AE 23223202200110 113解得P23正交化:22323于是构成正交矩阵221333Q 2124333,Q1
15、AQ 11223233解解(2)先求特征值和特征向量1410 111000001211002AE 11211 r1+r2+r3 1201 1300112112(3)2将 0代入:211A0E1211211121010111120000001 13解得:1 11单位化:1131 3将 3代入:111111A3E111000111000111解得:P111P200正交化:P21,P310121 21 单位化 1622,1 360261311 26于是构成正交矩阵Q 1131026,Q1AQ 3130261510332已知1=6,2=3=3 是实对称矩阵 A 的三个特征值,A 的属于2=3=31 1
16、 的特征向量为 X2=0,X3=2,求 A 的属于1=6 的特征向量及矩阵11A x1解解 令A的属于16的特征向量为:X1x2x3X1TX2 X1TX3 0有:1-x x 013 解得:X11x 2x x 02311 111 6111 A 102310211131111 13111 6110232111316130131341111412114161 且 A 的属于16的特征向量为:X1 k1(k 0)1 T3.设3阶实对称矩阵A的秩为2,12 6是A的二重特征值,若1(,11,0),T2(2,11,),都是A属于特征值6的特征向量.(1)求A的另一特征值和对应的特征向量;(2)求A.解解(
17、1)因为R(A)2,所以 A 016 x1A的另一特征值为 0,令其相应的特征向量为X x2,满足x3XT2 XT1 0有:1x x 012解得:X112x x x 01231121121 6 121(2)P 111,A11161110110110011 0111216422 1211116 24233301102241113 331习题五习题五(A)(A)一、填空题一、填空题1已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1,3,-2,则 AE 的特征值为 ,A的特征值为(A)2 E的特征值为 .解解 AE 的特征值为 A 的特征值减 1,故 AE 的特征值为 0,2,-3.A的特征值为A,A 13(2
18、)6求得A*的特征值为:6,2,3(A*)2+E的特征值为:(6)2+1,(2)2+1,321.即37,5,10172n 阶矩阵 A 的特征值为 1,2,3,n,则A(n1)E .解解A-(n+1)E的特征值为:1-(n+1)=-n,2-(n+1)=1-n,3-(n+1)=2-n,n-(n+1)=-1所以 A-(n1)(n)(1n)(2 n)(1)(1)n!n3.已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1,3,5,则A E=.解解,即15,5,3A*+E的特征值为:16,6,4,A*+E 1664 384A 135 15 求得A*的特征值为:A4.设 A 为 3 阶方阵,且A2E AE A2E 0,
19、则A=,A1 2E=,A2 E=.解解由题意知:11A的特征值为2,1,2,A 4,A1的特征值为:-,1,2235A1+2E的特征值为:,3,A2的特征值为:4,1,4;A2+E的特征值为5,2,522A1 2E 452,A E 504B1 E1 1 15若 3 阶方阵 A 与 B 相似,A 的特征值为,,则O2 3 4E=.1A解解B1 EO1E 11 B E AA1A相似于B,A与B有相同的特征值,A1,B1的特征值都为:2,3,4B-E的特征值为:1,2,3B1 EOE 11 B E A123234 1441A6已知 3 阶矩阵 A-1的特征值为 1,2,3,则A的特征值为 .18解解
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