二,等差等比数列性质练习题(含答案)以及基础知识点.pdf

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1、-一、等差等比数列根底知识点一、等差等比数列根底知识点一知识归纳：1概念与公式：等差数列：1.定义：假设数列an满足an1 an d(常数),则an称等差数列；2.通项公式：an a1(n 1)d ak(n k)d;3.前n项和公式：公式：Snn(a1 an)n(n 1)na1d.22an1q常数，则an称等比数列；2.通项公式：an等比数列：1.定义假设数列an满足an a1qn1 akqnka1 anqa1(1 qn);3.前 n 项和公式：Sn(q 1),当 q=1 时Sn na1.1 q1 q2简单性质：首尾项性质：设数列an:a1,a2,a3,an,1.假设an是等差数列，则a1 a

2、n a2 an1 a3 an2;2.假设an是等比数列，则a1an a2an1 a3an2.中项及性质：1.设a，A，b成等差数列，则 A 称a、b的等差中项，且A a b;22.设a,G,b成等比数列，则 G 称a、b的等比中项，且G ab.设p、q、r、s为正整数，且p q r s,1.假设an是等差数列，则ap aq ar as;2.假设an是等比数列，则apaq aras;顺次 n 项和性质：1.假设an是公差为d的等差数列，则a,a,akkk1kn12nk2n13nnkkn2n3nk组成公差为 n2d 的等差数列；2.假设an是公差为q的等比数列，则为偶数时这个结论不成立假设an是等

3、比数列，a,a,ak1kn1k2n1k组成公差为qn的等比数列.注意：当q=1，n则顺次n项的乘积：a1a2an,an1an2a2n,a2n1a2n2a3n组成公比这qn的等比数列.z.2-假设an是公差为 d 的等差数列,1.假设n为奇数，则Sn na中且S奇 S偶 a中(注:a中指中项,即a中 an1,而 S 奇、S偶指所有奇数项、所有2偶数项的和；2.假设n为偶数，则S偶 S奇nd.2二学习要点：1学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用根本公式，注意公差d0 的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;公差d0 的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+

4、bn;公比q1 的等比数列的前n项公式可以写成Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3巧设公差、公比是解决问题的一种重要方法，例如：三数成等差数列，可设三数为a,a+m,a+2m或a-m,a,a+m 三 数 成等 比 数 列，可 设 三 数为 a,aq,aq2(或a，a,aq)四 数 成 等 差 数 列，可 设 四 数 为qa,a m,a 2m,a 3m(或a 3m,a m,a m,a 3m);四 数 成 等 比 数 列，可 设 四 数 为a,aq,aq,a

5、q(或23aa,aq,aq3),等等；类似的经历还很多，应在学习中总结经历.3qq例 1解答下述问题：1 1 1,成等差数列，求证：a b cb c c a a b1成等差数列；,abcbbb2a,c 成等比数列.222解析该问题应该选择中项的知识解决，112a c2c),2ac b(a acbacb22b ca bbc c a abb(a c)a2 c2(1)acacac2(a c)22(a c).b(a c)bb c c a a b,成等差数列;abcbbbb2b(2)(a)(c)ac(a c)()2,22242bbba,c 成等比数列.222评析判断或证明一个数列成等差、等比数列主要方法

6、有：根据中项性质、根据定义判断，.等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为128 2，求项数 n.z.-解析设公比为q,a1a3a5an10244 2a2a4an1128 2 等 差 数 列 an 中，公 差d 0，在 此 数 列 中 依 次 取 出 局 部 项 组 成 的 数 列：ak1,ak2,akn恰为等比数列,其中k11,k2 5,k317,求数列kn的前n项和.解析a1,a5,a17成等比数列,a5 a1a17,2(a1 4d)2 a1(a116d)d(a1 2d)0d 0,a1 2d,数列akn的公比q a5a1 4d 3,a1a1akn a13n

7、1 2d 3n1而akn a1(kn1)d 2d (kn1)d由，得kn 23n11,3n1kn的前n项和Sn 2 n 3n n 1.31评析例 2 是一组等差、等比数列的根本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的根本功.例 3解答下述问题：三数成等比数列，假设将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.解析设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为ad,a,a+d，则有有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.解析设此四数为a 15,a 5,a 5,a 15(a 15),解得a

8、 62或a 12(不合),所求四数为 47，57，67，77评析巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求假设干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.二、等差等比数列练习题二、等差等比数列练习题一、选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列A为常数数列B为非零的常数数列C存在且唯一D不存在2.、在等差数列Aanan中，a1 4,且a1,a5,a13成等比数列，则an的通项公式为 3n 1Ban n 3Can 3n 1或an 4Dan n 3或an 43、a,b,c成等比数列，且x,y分别为a与b、b与c的等差中项，则ac的值为xy.z.-A1B2C2D 不确定

9、24、互不相等的三个正数a,b,c成等差数列，x是a,b的等比中项，y是b,c的等比中项，则x2，b2，y2三个数A成等差数列不成等比数列B成等比数列不成等差数列C既成等差数列又成等比数列D既不成等差数列，又不成等比数列5、数列an的前n项和为Sn,S2n1 4n2 2n,则此数列的通项公式为 2n 2Ban 8n 2Can 2n1Dan n2 nAan6、(z x)24(x y)(y z)，则 Ax,y,z成等差数列Bx,y,z成等比数列C1 1 11 1 1,成等差数列D,成等比数列x y zx y z7、数列an的前n项和Sn an1，则关于数列an的以下说法中，正确的个数有一定是等比数

10、列，但不可能是等差数列 一定是等差数列，但不可能是等比数列可能是等比数列，也可能是等差数列 可能既不是等差数列，又不是等比数列 可能既是等差数列，又是等比数列A4B3C2D18、数列 11111,3,5,7,前n项和为248161111112222An n1Bn n1Cn n n1Dn n n12222229、假设两个等差数列an、bn的前n项和分别为An、Bn，且满足87CAn4n 2Bn5n 5，则a5 a13b5b13的值为A10、数列79B197D208an的前n项和为Snan的通项公式ann项和为 n25n 2,则数列an的前 10 项和为A56B58C62D6011、数列 n 5为

11、,从an中依次取出第 3，9，27，3n,项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n(3n13)3n10n 33n110n 3nAB3 5CD22212、以下命题中是真命题的是()A数列an是等差数列的充要条件是anan的前n项和为Sn pn q(p 0)B一个数列C数列 an2 bn a,如果此数列是等差数列,则此数列也是等比数列 abn1an是等比数列的充要条件anan的前n项和SnD如果一个数列 abn c(a 0,b 0,b 1),则此数列是等比数列的充要条件是a c 0.z.-二、填空题二、填空题13、各项都是正数的等比数列an，公比q 1a5,a7,a8,成等差数列，则公比q

12、=a1 a5 a17a2 a6 a18=14、等差数列an，公差d 0,a1,a5,a17成等比数列，则11an,则an=415、数列an满足Sn16、在 2 和 30 之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为二、解答题解答题17、数列an是公差d不为零的等差数列，数列ab是公比为q的等比数列，b11,b2n10,b3 46，求公比q及bn。18、等差数列an的公差与等比数列bn的公比相等，且都等于d(d 0,d 1),a1 b1，a3 3b3,a5 5b5,求an,bn。19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为 216，后三个数成等差数列

13、，其和为 36，求这四个数。20、an为等比数列，a3 2,a2a420，求an的通项式。321、数列an的前n项和记为Sn,a11,an1 2Sn1n1an的通项公式；bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T315，又a1b1,a2b2,a3b3成等比数列，求Tn求等差数列22、数列an满足a11,an1 2an1(n N*).an的通项公式；bn满足4b 1.4b 1.4b 1(an1)b(n N)，证明：bn是等差数列；12nnI求数列II假设数列数列综合题一、选择题题号1答案二、二、填填空题空题13.23456789101112BDCAAACADDDD152641n14.15.()16.

14、6322933三、解答题三、解答题17.ab1=a1,ab2=a10=a1+9d,ab3=a46=a1+45d由abn为等比数例，得a1+9d2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.q=4又由abn是an中的第bna项，及abn=ab14n-1=3d4n-1,a1+(bn-1)d=3d4n-1bn=34n-1-218.a3=3b3,a1+2d=3a1d2,a1(1-3d2)=-2d.z.a5=5b5,a1+4d=5a1d4,a1(1-5d4)=-4d-15d4555n-1122n-155,得=2，d=1 或d=,由题意，d=,a=-。a=a+(n-

15、1)d=(n-6)b=a d=-()1n1n113d2555519.设这四个数为a,a,aq,2aqaqa aaq 216则q由，得a3=216,a=6a aq(3aq a)36代入，得 3aq=36,q=2这四个数为 3，6，12，18a3220.解:设等比数列an的公比为q,则q0,a2=,a4=a3q=2qqq201所以+2q=,解得q1=,q2=3,q331118当q1=,a1=18.所以an=18()n1=n1=233n.333222当q=3 时,a1=,所以an=3n1=23n3.9921.解：(I)由an1 2Sn1可得an 2Sn11n 2，两式相减得又a2 2S11 3a2

16、3a1故an是首项为1，公比为3得等比数列n1an 3设bn的公差为d由T315得，可得b1b2b315，可得b2 5故可设b1 5d,b3 5d又a11,a2 3,a3 9由题意可得5d 15d 953解得d1 2,d2102等差数列bn的各项为正，d 0d 2Tn 3n22I：nn12 n22n2an1 2an1(n N*),.z.-an1是以a11 2为首项，2 为公比的等比数列。an1 2n.2*即an 2 1(n N).II证法一：4b114b21.4bn1(an1)bn.4(b1b2.bn)n 2nbn.2(b1b2.bn)n nbn,2(b1b2.bnbn1)(n1)(n1)bn1.，得2(bn11)(n1)bn1nbn,即(n1)bn1nbn2 0,nbn2(n1)bn1 2 0.，得nbn22nbn1nbn 0,即bn22bn1bn 0,bn是等差数列。.z.