中考数学辅助线.pdf

《中考数学辅助线.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学辅助线.pdf（31页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、.几何辅助线图作法探讨几何辅助线图作法探讨一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分复杂，假设通过适当的变换，即添加适当的辅助线图，将原图形转换成一个完整的、特殊的、简单的新图形，那么能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，原问题顺利获解。有许多初中几何常见辅助线作法歌诀，下面这一套是很好的：人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经历。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长

2、缩短可试验。三角形中两中点，连接那么成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上假设有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。

3、还要作个切圆，角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。外相切的两圆，经过切点公切线。假设是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假设图形较分散，对称旋转去实验。根本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。jz*.在几何题的证明或求解时，需要构成一些根本图形来求证解时往往要通过添加辅助线图来形成，添加辅助线图，构成的根本图形是结果，构造的手段是方法。笔者从作辅助线的结果和方法两方面将几何辅助线图作法归纳为结果1构造根本图形

4、；2构造等腰边三角形：3构造直角三角形；4构造全等三角形；5构造相似三角形；6构造特殊四边形；7构造圆的特殊图形；方法8根本辅助线；9截取和延长变换；10对称变换；11平移变换；12旋转变换。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。一、构造根本图形：一、构造根本图形：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做根本图形，添辅助线往往是具有根本图形的性质而根本图形不完整时补完整根本图形。如平行线，垂直线，直角三角形斜边上中线，三角形、四边形的中位线等。等腰边三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊四边形和圆的特殊图形也都是根本图形，但我们后面把它们单独表述。典型例题：典型例题：例

5、例 1.1.20122012 江江 3 3 分分如图，a/b,1 65,2 140,则 3【】00A.100B.105C.110D.1150000例例 2.2.20122012 宿迁宿迁 3 3 分分点 E，F，G，H 分别是四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点，假设 ACBD，且ACBD，那么四边形 EFGH 的形状是.填“梯形“矩形“菱形【答案】【答案】矩形。【考点】【考点】三角形中位线定理，矩形的判定。【分析】【分析】如图，连接 AC，BD。E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点，根据三角形中位线定理，HEABGF，HGACEF。又ACBD，EHG=HG

6、F=GFE=FEH=900。四边形 EFGH 是矩形。且ACBD，四边形EFGH 邻边不相等。四边形 EFGH 不可能是菱形。例例 3.3.20122012 天门、仙桃、潜江、江汉油田天门、仙桃、潜江、江汉油田3 3 分分如图，线段AC=n+1其中 n 为正整数，点 B 在线段 AC 上，在线段 AC 同侧作正方形 ABMN 及正方形 BCEF，连接 AM、ME、EA 得到AME当AB=1 时，AME的面积记为 S1；当 AB=2 时，AME 的面积记为 S2；当 AB=3 时，AME 的面积记为 S3；当 AB=n 时，AME 的面积记为 Sn当 n2 时，SnSn1=jz*.【答案】【答案

7、】2n 1。2【考点】【考点】正方形的性质，平行的判定和性质，同底等高的三角形面积，整式的混合运算。【分析】【分析】连接 BE，在线段 AC 同侧作正方形 ABMN 及正方形 BCEF，BEAM。AME 与AMB 同底等高。AME的面积=AMB的面积。当 AB=n 时，AME 的面积为Sn面积为Sn12n，当 AB=n1 时，AME 的21n 12。2当 n2 时，112n 121。SnSn1n2n 1=n+n 1n n+1=2222例例 4.4.2012620126 分分如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，E 是 AB 的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且GDF

8、=ADF。1求证：ADEBFE；2连接 EG，判断 EG 与 DF 的位置关系，并说明理由。【答案】【答案】解：1证明：ADBC，ADE=BFE两直线平行，错角相等。E 是 AB 的中点，AE=BE。又AED=BEF，ADEBFEAAS。2EG 与 DF 的位置关系是 EGDF。理由如下：ADE=BFE，GDF=ADF，GDF=BFE 等量代换。GD=GF 等角对等边。又ADEBFE，DE=EF全等三角形对应边相等。EGDF等腰三角形三线合一。例例 5.5.2012XX102012XX10 分分如图，矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4将纸片折叠，使顶点A 与边 CD 上的点 E 重合，折痕F

9、G 分别与 AB，CD 交于点 G，F，AE 与 FG 交于点O1如图 1，求证：A，G，E，F 四点围成的四边形是菱形；2如图 2，当AED 的外接圆与 BC 相切于点 N 时，求证：点 N 是线段 BC的中点；jz*.3如图 2，在2的条件下，求折痕FG 的长【答案】【答案】解：1由折叠的性质可得，GA=GE，AGF=EGF，DCAB，EFG=AGF。EFG=EGF。EF=EG=AG。四边形 AGEF 是平行四边形EFAG，EF=AG。又AG=GE，四边形AGEF 是菱形。2连接 ON，AED 是直角三角形，AE 是斜边，点 O 是 AE 的中点，AED 的外接圆与 BC 相切于点 N，O

10、NBC。点 O 是 AE 的中点，ON 是梯形 ABCE 的中位线。点 N 是线段 BC 的中点。3OE、ON 均是AED 的外接圆的半径，OE=OA=ON=2。AE=AB=4。在 RtADE 中，AD=2，AE=4，AED=30。在 RtOEF 中，OE=2，AED=30，OF 2 34 3。FG=2OF。33二、二、构造等腰构造等腰边边三角形：三角形：当问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰 边三角形；出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰边三角形。通过构造等腰边三角形，应用等腰边三角形的性质得到一些边角相等关系，到达求证解的目的。典型例题：典型例题：例例

11、1.1.20122012、4 4 分分如图，在等腰ABC 中，ABAC，BAC50BAC的平分线与 AB 的中垂线交于点 O，点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合，那么CEF 的度数是【答案】【答案】50。连接 BO，ABAC，AO 是BAC 的平分线，AO 是 BC 的中垂线。jz*.BOCO。BAC50，BAC的平分线与 AB 的中垂线交于点 O，OABOAC25。等腰ABC中，ABAC，BAC50，ABCACB65。OBC652540。OBCOCB40。点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合，EOEC，CEFFEO。CEFFEO18002400250。例例 2.2.2012102012

12、10 分分如图，ABC 是等边三角形，点D、F 分别在线段 BC、AB 上，EFB=60，DC=EF1求证：四边形 EFCD 是平行四边形；2假设 BF=EF，求证：AE=AD【答案】【答案】证明：1ABC 是等边三角形，ABC=60。EFB=60，ABC=EFB。EFDC错角相等，两直线平行。DC=EF，四边形 EFCD 是平行四边形。2连接 BE。BF=EF，EFB=60，EFB是等边三角形。EB=EF，EBF=60。DC=EF，EB=DC。ABC是等边三角形，ACB=60，AB=AC。EBF=ACB。AEBADCSAS。AE=AD。例例 3.3.201112201112 分如图，在梯形分

13、如图，在梯形 ABCDABCD 中，中，AD/BCAD/BC，A ABDC，过点 D 作 DEBC，垂足为 E，并延长 DE 至 F，使 EFDE联结 BF、CD、AC1求证：四边形 ABFC 是平行四边形；2如果 DE2BECE，求证四边形ABFC 是矩形【答案】【答案】解：1证明：连接 BD。梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC，AC=BD，ACB=DBCDEBC，EF=DE，BD=BF，DBC=FBC。AC=BF，ACB=CBF。ACBF。四边形 ABFC 是平行四边形；2DE2BECE，DECE。BEDEDEB=DEC=90，BDEDEC。CDE=DBE，jz*.BFC=BDC=B

14、DECDE=BDEDBE=90。四边形 ABFC 是矩形。三、构造直角三角形：三、构造直角三角形：通过构造直角三角形，应用直角三角形的性质得到一些边角关系勾股定理，两锐角互余，锐角三角函数，到达求证解的目的。典型例题：典型例题：例例 1.1.2012XX32012XX3 分分：在ABC 中，AC=a，AB 与 BC 所在直线成 45角，AC 与 BC 所在直线形成的夹角的余弦值为225即 cosC=5，那么 AC 边上的中线长是55【答案】【答案】585a或a。1010【分析】【分析】分两种情况：ABC 为锐角三角形时，如图1，BE 为 AC 边的中线。作ABC 的高 AD，过点 E 作 EF

15、BC 于点 F。在 RtACD 中，AC=a，cosC=25，5CD=255a，AD=a。55在 RtABD 中，ABD=45，BD=AD=3 55a。BC=BD+CD=a。55点 E 是 AC 的中点，EFAD，EF是ACD 的中位线。FC=BF=5511DC=a，EF=AD=a。2251025a。52217285 25225aa=a=a。在 RtBEF 中，由勾股定理，得BE BF EF 1020105ABC 为钝角三角形时，如图2，BE 为 AC 边的中线。作ABC 的高 AD。在 RtACD 中，AC=a，cosC=25，5CD=255a，AD=a。55在 RtABD 中，ABD=45

16、，BD=AD=jz*55a。BC=BD=a。55.点 E 是 AC 的中点，BE 是ACD 的中位线。BE=51AD=a。210综上所述，AC 边上的中线长是585a或a。1010例例 2.2.2012XX32012XX3 分分如图，在矩形 ABCD 中，ADAB，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为 MN，连结假设CDN 的面积与CMN 的面积比为 14，那么A2【答案】【答案】D。过点 N 作 NGBC 于 G，四边形 ABCD 是矩形，四边形 CDNG 是矩形，ADBC。CD=NG，CG=DN，ANM=CMN。由折叠的性质可得：AM=CM，AMN=CMN，ANM=AM

17、N。AM=AN。AM=CM，四边形 AM 是平行四边形。AM=CM，四边形AM 是菱形。CDN 的面积与CMN 的面积比为 1：4，DN：CM=1：4。设 DN=x，那么 AN=AM=CM=4x，AD=BC=5x，CG=x。BM=x，GM=3x。在 RtCGN 中，NG CN2CG2在 RtMNG 中，MN GM2 NG2B4C2 5D2 6MN的值为【】BM4x2 x2 15x，3x215x=2 6x，2MN2 6x=2 6。应选 D。BMx例例 3.3.20122012 市市 5 5 分分如图，在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点 E，BAC=900，CED=450，DCE=90

18、0，DE=2，BE=22求 CD 的长和四边形 ABCD 的面积【答案】【答案】解：过点 D 作 DHAC，CED=45，DHEC，DE=2，EH=DH=1。又DCE=30，DC=2，HC=3。AEB=45，BAC=90，BE=22，jz*.AB=AE=2。AC=2+1+3=3+3。S四边形ABCD1193 32（33）1（33）。222【考点】【考点】勾股定理，含 30 度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，四、构造全等三角形：四、构造全等三角形：通过构造全等三角形，应用全等三角形对应边、角相等的性质，到达求证解的目的。典型例题：典型例题：例例 1.1.2012520125 分分如图

19、，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，将ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 B处，又将CEF沿 EF 折叠，使点 C 落在 EB与 AD 的交点 C处那么 BC：AB 的值为。例例 2.2.2012320123 分分如图，ABCD，E，F 分别为 AC，BD 的中点，假设 AB=5，CD=3，那么 EF 的长是【】A4B3C2D1【答案】【答案】D。【考点】【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。【分析】【分析】连接 DE 并延长交 AB 于 H，CDAB，C=A，CDE=AHE。E 是 AC 中点，DE=EH。DCEHAEAAS。jz*.DE

20、=HE，DC=AH。F 是 BD 中点，EF 是DHB 的中位线。EF=BH=ABAH=ABDC=2。EF=1。应选 D。例例 3.3.201212201212 分分如下图，现有一边长为4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一点不与点A、点 D重合将正方形纸片折叠，使点B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H，折痕为 EF，连接 BP、BH1求证：APB=BPH；2当点 P 在边 AD 上移动时，PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；3设AP 为 x，四边形EFGP 的面积为 S，求出S 与 x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？假设存在，求

21、出这个最小值；假设不存在，请说明理由1BH。2【答案】【答案】解：1如图 1，PE=BE，EBP=EPB又EPH=EBC=90，EPHEPB=EBCEBP，即PBC=BPH。又ADBC，APB=PBC。APB=BPH。2PHD 的周长不变为定值 8。证明如下：如图 2，过 B 作 BQPH，垂足为Q。由1知APB=BPH，又A=BQP=90，BP=BP，ABPQBPAAS。AP=QP，AB=BQ。又AB=BC，BC=BQ。又C=BQH=90，BH=BH，BCHBQHHL。CH=QH。PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。3如图 3，过 F 作 FMAB，垂

22、足为 M，那么 FM=BC=AB。又EF 为折痕，EFBP。jz*.EFM+MEF=ABP+BEF=90。EFM=ABP。又A=EMF=90，AB=ME，EFMBPAASA。EM=AP=xx2在 RtAPE 中，4BE+x=BE，即BE 2+。8x2CF BE EM 2+x。8222又四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等，11x21212SBECFBC=4+x 4=x 2x+8=x 2+6。224220例例 4.4.2011XX32011XX3 分分如图，在ABC中，ACB90，A15，AB8，那么 ACBC 的值为【】A14B163C415D16【答案】【答案】D。【考点】【考点】全等

23、三角形的判定和性质，锐角三角函数。【分析】【分析】延长 BC 到点 D，使CDCB，连接AD，过点D 作 DEAB，垂足为点E。那么知ACDACB，从而由得CADA15，ADAB。因此，在RtADE 中，AD8，BAD30，DEADsin304。从而 SADE14，当 x=2 时，S 有最小值 6。211ABDE16，又 SADEBDAC2212BCACACBC，即ACBC16。2例例 5.5.2011320113 分分如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，分别以 AB、BC、CA 为一边向ABC 外作正方形 ABDE、BCMN、CAFG，连接 EF、GM、ND，设AEF、BND、CGM的

24、面积分别为 S1、S2、S3，那么以下结论正确的选项是【】AS1S2S3BS1S2S3CS1S3S2DS2S3S1【答案】【答案】A。【分析】【分析】过点 D 作 DQMN 交 CB 的延长线于点 P，交 MN 的延长线于点 Q；jz*.过点 E 作 ERGF 交 CA 的延长线于点 S，交 GF 的延长线于点 R。易证CGMCABSAS，即 S2SABC；易证PBDCABAAS，BP=AC，即 S3的底为 BN=BC，高为 BP=AC，S2SABC；易证SEACABAAS，AS=BC，即 S1的底为 FA=CA，高为 AS=BC，S2SABC。S1S2S3SABC。应选 A。例例 6.6.2

25、011820118 分分如图 AB=AC，CDAB 于 D，BEAC 于 E，BE 与 CD 相交于点 O1求证 AD=AE；2连接 OA，BC，试判断直线 OA，BC 的关系并说明理由【答案】【答案】解：1证明：在ACD 与ABE 中，A=A，ADC=AEB=90，AB=AC，ACDABEAAS。AD=AE。2 2在 RtADO 与 RtAEO 中，OA=OA，AD=AE，ADOAEOHL。DAO=EAO。即 OA 是BAC 的平分线。又AB=AC，OABC。五、五、构造相似三角形：构造相似三角形：通过构造相似三角形，应用相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质，到达求证 解的目的。典型例题

26、：典型例题：例例 1.1.2012320123 分分如图，矩形 ABCD 中，AB=2，AD=4，AC 的垂直平分线 EF 交 AD 于点 E、交 BC 于点 F，那么EF=【答案】【答案】5。【分析】【分析】连接 EC，AC、EF 相交于点 O。AC 的垂直平分线 EF，AE=EC。四边形 ABCD 是矩形，D=B=90，AB=CD=2，AD=BC=4，ADBC。AOECOF。AOOE。OCOFOA=OC，OE=OF，即EF=2OE。jz*.5在 RtCED 中，由勾股定理得：CE2=CD2+ED2，即 CE2=4CE2+22，解得：CE=。2在 RtABC 中，AB=2，BC=4，由勾股定

27、理得：AC=2 5，CO=5。在 RtCEO 中，CO=5，CE=55，由勾股定理得：EO=。EF=2EO=5。22例例 2.2.2012XX2012XX 市市 1010 分分一个矩形纸片 OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A11，0，点 B0，6，点 P 为 BC 边上的动点点 P 不与点 B、C 重合，经过点 O、P 折叠该纸片，得点 B和折痕 OP设 BP=t如图，当BOP=300时，求点 P 的坐标；如图，经过点 P 再次折叠纸片，使点 C 落在直线 PB上，得点 C和折痕 PQ，假设 AQ=m，试用含有 t的式子表示 m；在的条件下，当点C恰好落在边 OA 上时，求点 P

28、的坐标直接写出结果即可【答案】【答案】解：根据题意，OBP=90，OB=6。在 RtOBP 中，由BOP=30，BP=t，得 OP=2t。OP2=OB2+BP2，即2t2=62+t2，解得：t1=2 3，t2=2 3舍去 点 P 的坐标为2 3，6。OBP、QCP分别是由OBP、QCP折叠得到的，OBPOBP，QCPQCP。OPB=OPB，QPC=QPC。OPB+OPB+QPC+QPC=180OPB+QPC=90。BOP+OPB=90，BOP=CPQ。又OBP=C=90，OBPPCQ。，OBBP。PCCQjz*.由题意设 BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，那么 PC=11t，CQ=6m

29、6t111。m t2 t 60t11。6611 t6m11 1311+13点 P 的坐标为，6或，6。33【分析】【分析】首先过点 P 作 PEOA 于 E，易证得PCECQA，由勾股定理可求得CQ的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与m 1211t t 6，即可求得 t 的值：66过点 P 作 PEOA 于 E，PEA=QAC=90。PCE+EPC=90。PCE+QCA=90，EPC=QCA。PCECQA。PEPC。ACCQPC=PC=11t，PE=OB=6，AQ=m，CQ=CQ=6m，AC CQ2AQ2 3612m。11 t。3612m 6m666t611t=，即3612m=t2。，即，

30、t6m11 t6m3612mt611 1311+131211。，t2t t 6代入，并化简，得3t222 t 36=0。解得：t1336611 1311+13点 P 的坐标为，6或，6。332例例 3.3.2012320123 分分如图，ABC 中，AB=AC，D 是 AB 上的一点，且 AD=AB，DFBC，E 为 BD 的中点假设3将m EFAC，BC=6，那么四边形 DBCF 的面积为【答案】【答案】15。【分析】【分析】如图，过 D 点作 DGAC，垂足为 G，过 A 点作 AHBC，垂足为 H，AB=AC，点 E 为 BD 的中点，且 AD=2AB，3设 BE=DE=x，那么 AD=

31、AF=4x。DGAC，EFAC，AEDE5xx4，即，解得GF=x。=4xGF5AFGFDFADDF4xDFBC，ADFABC，即，解得 DF=4。=66xBCABDGEF，又DFBC，DFG=C，4x5DFGF45RtDFGRtACH，即，解得x2=。=2ACHC6x3jz*.在 RtABH 中，由勾股定理，得AH=AB2BH236x232=36SABC59=9。211BCAH 69 27。2222S44 DF 4又ADFABC，ADF，S27=12ADF9SABCBC69S四边形DBCFSABCSADF 27 12 15。例例 4.4.2011420114 分分如图，正方体的棱长为3，点

32、M，N 分别在 CD，HE 上，CM=HC 与 NM 的延长线交于点 P，那么 tanNPH 的值为1DM，HN=2NE，21【答案】【答案】。3【考点】【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数。【分析】【分析】CM1221DM，HN2NE，CMCD，HNHECD，2333PCCM1又PCMPHN，即 PH2CH2CD。PHHN2HN1tanNPH。PH3六、构造特殊四边形：六、构造特殊四边形：通过构造平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四边形，应用它们边、角、对角线、中位线的性质，到达求证解的目的。典型例题：典型例题：例例 1.1.2012320123 分分如图，矩形

33、ABCD 中，E 是 AD 的中点，将ABE沿 BE 折叠后得到GBE，延长 BG 交 CD 于 F 点，假设 CF=1，FD=2，那么 BC 的长为【】A3 2B2 6C2 5D2 3【答案】【答案】B。【分析】【分析】过点 E 作 EMBC 于 M，交 BF 于 N。四边形 ABCD 是矩形，A=ABC=90，AD=BC，EMB=90，四边形ABME 是矩形。AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，EGN=A=90，EG=BM。ENG=BNM，ENGBNMAAS。NG=NM。jz*.E 是 AD 的中点，CM=DE，AE=ED=BM=CM。EMCD，BN：NF=BM：CM。BN=NF。NM

34、=NG=11CF=。221。2BG=AB=CD=CF+DF=3，BN=BGNG=315BF=2BN=5。22BCBF2CF25212 2 6。应选 B。例例 2.2.20122012 德阳德阳 3 3 分分 如图，点 D 是ABC 的边 AB 的延长线上一点，点F 是边 BC 上的一个动点 不与点 B 重合.以 BD、BF 为邻边作平行四边形 BDEF，又 AP那么PBC 的面积与ABC 面积之比为【】A.BE 点 P、E 在直线 AB 的同侧，如果BD1AB，41313B.C.D.4455【答案】【答案】D。【分析】【分析】过点 P 作 PHBC 交 AB 于 H，连接 CH，PF，PE。A

35、PBE，四边形 APEB 是平行四边形。PEBD。AB。，四边形 BDEF 是平行四边形，EFEFAB。P，E，F 共线。设 BD=a，BD 1AB，PE=AB=4a。PF=PEEF=3a。4PHBC，SHBC=SPBC。PFAB，四边形 BFPH 是平行四边形。BH=PF=3a。SHBC：SABC=BH：AB=3a：4a=3：4，SPBC：SABC=3：4。应选 D。例例 3.3.20122012 省省 5 5 分分如图，P 是矩形 ABCD 的任意一点，连接 PA、PB、PC、PD，得到PAB、PBC、PCD、PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：S1+S2=S3

36、+S4 S2+S4=S1+S3假设 S3=2 S1，那么 S4=2 S2假设 S1=S2，那么 P 点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是把所有正确结论的序号都填在横线上.【答案】【答案】。【分析】【分析】如图，过点 P 分别作四个三角形的高，jz*.APD 以 AD 为底边，PBC 以 BC 为底边，此时两三角形的高的和为AB，S1+S3=同理可得出 S2+S4=1S矩形 ABCD；21S矩形 ABCD。2S2+S4=S1+S3正确，那么S1+S2=S3+S4错误。假设 S3=2 S1，只能得出APD与PBC 高度之比，S4不一定等于 2S2；故结论错误。如图，假设 S1=S2，那么11P

37、FAD=PEAB，22APD 与PBA 高度之比为：PF：PE=AB：AD。DAE=PEA=PFA=90，四边形AEPF 是矩形，矩形 AEPF矩形 ABCD。连接 AC。PF：CD=PE：BC=AP：AC，即 PF：CD=AF：AD=AP：AC。APFACD。PAF=CAD。点A、P、C 共线。P 点在矩形的对角线上。故结论正确。综上所述，结论和正确。例例 4.4.2012XX2012XX 贵港贵港 8 8 分分如图，在ABCD 中，延长 CD 到 E，使 DECD，连接 BE 交 AD 于点 F，交AC 于点 G。1求证：AFDF；2假设 BC2AB，DE1，ABC60，求FG 的长。【答

38、案】【答案】解：1证明：如图 1，连接 BD、AE，四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ABCD。DECD，ABDE，ABDE。四边形 ABDE 是平行四边形。AFDF。2如图 2，在 BC 上截取 BNAB1，连接 AN，ABC60，ANB是等边三角形。AN1BN，ANBBAN60。BC2AB2，1AN。1ACAN 6030。2BAC90。由勾股定理得：AC22123。四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD。jz*.BGABAG1AG3AGBCGE。，解得 AG。GECECG113AG3在BGA 中，由勾股定理得：BGBG1，GE2123223。33434323GE，BE23。333

39、1233四边形 ABDE 是平行四边形，BF BE3。FG3。233例例 5.5.2012720127 分分如图，在四边形ABCD 中，ADBC，对角线AC 的中点为 O，过点 O 作 AC 的垂直平分线分别与AD、BC 相交于点 E、F，连接 AF。求证：AE=AF。【答案】【答案】证明：连接 CE。ADBC，AEO=CFO，EAO=FCO，。又AO=CO，AEOCFOAAS。AE=CF。四边形 AECF 是平行四边形。又EFAC，平行四边形AECF 是菱形。AE=AF。【考点】【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。例例 6.6.20122012 省省 1111 分分

40、如图1，在矩形 ABCD 中，把B、D 分别翻折，使点 B、D 分别落在对角线 BC 上的点 E、F 处，折痕分别为 CM、AN.1求证：ANDCBM.2请连接 MF、NE，证明四边形 MFNE 是平行四边形，四边形 MFNE 是菱形吗？请说明理由？3P、Q 是矩形的边 CD、AB 上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图 2所示，假设PQ=CQ，PQMN。且AB=4，BC=3，求 PC 的长度.jz*.【答案】【答案】1证明：四边形ABCD 是矩形，D=B，AD=BC，ADBC。DAC=BCA。又由翻折的性质，得DAN=NAF，ECM=BCM，DAN=BCM。ANDCBMASA。2证明：ANDC

41、BM，DN=BM。又由翻折的性质，得DN=FN，BM=EM，FN=EM。又NFA=ACDF=BACEMA=MEC，FNEM。四边形 MFNE 是平行四边形。四边形 MFNE 不是菱形，理由如下：由翻折的性质，得CEM=B=900，在EMF 中，FEMEFM。FMEM。四边形 MFNE 不是菱形。3解：AB=4，BC=3，AC=5。设 DN=x，那么由 SADC=SANDSNAC得3 x5 x=12，解得 x=33，即 DN=BM=。22过点 N 作 NHAB 于 H，那么 HM=43=1。在NHM 中，NH=3，HM=1，由勾股定理，得 NM=10。PQMN，DCAB，四边形NMQP 是平行四

42、边形。NP=MQ，PQ=NM=10。又PQ=CQ，CQ=10。在CBQ 中，CQ=10，CB=3，由勾股定理，得 BQ=1。NP=MQ=131。PC=4=2。222【考点】【考点】翻折问题，翻折的性质，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理。jz*.七、构造圆的特殊图形：七、构造圆的特殊图形：通过构造圆的特殊图形，应用圆周角定理、垂径定理、切线与过切点的半直径的关系、两圆相切公切线的性质、两圆相交公共弦的性质等，到达求证解的目的。典型例题：典型例题：例例 3.3.20122012 日照日照 4 4 分分如图，过A、C、D 三点的圆的圆心为

43、E，过 B、F、E三点的圆的圆心为 D，如果A=63，那么=【答案】【答案】180。【分析】【分析】如图，连接 CE，DE，过 A、C、D 三点的圆的圆心为 E，过B、F、E 三点的圆的圆心为D，AE=CE=DE=DB。A=ACE，ECD=CDE，DEB=DBE=。jz*.A=63，AEC=18002630=540。又ECD=CDE=2，AEC=ECDDBE=3，即3=540。=180。例例 4.4.2012320123 分分如以下图 OA=OB=OC 且ACB=30，那么AOB 的大小是【】A.40【答案】【答案】C。【考点】【考点】圆周角定理。【分析】【分析】OA=OB=OC，A、B、C

44、在以 O 为圆心 OA 为半径的圆上。作O。ACB 和AOB 是同弧AB所对的圆周角和圆心角，且ACB=30，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的性质，得AOB=60。应选 C。例例 5.5.2012XX2012XX 市市 3 3 分分如图，正方形ABCD 的边长为 1，以顶点A、B 为圆心，1 为半径的两弧交于点 E，以顶点 C、D 为圆心，1 为半径的两弧交于点F，那么 EF 的长为【答案】【答案】31。【考点】【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】【分析】连接 AE，BE，DF，CF。以顶点 A、B 为圆心，1 为半径的两弧交于点 E，AB=1，AB=AE=BE

45、，AEB是等边三角形。B.50C.60D.703。23同理：CD 边上的高线为：。2边 AB 上的高线为：延长 EF 交 AB 于 N，并反向延长 EF 交 DC 于 M，那么 E、F、M，N 共线。AE=BE，点 E 在 AB 的垂直平分线上。同理：点 F 在 DC 的垂直平分线上。四边形 ABCD 是正方形，ABDC。MNAB，MNDC。由正方形的对称性质，知EM=FN。jz*.3EF2EM=AD=1，EFEM=，解得 EF=3 1。2例例 6.6.2012XX2012XX、3 3 分分如图，矩形 OABC 接于扇形 MON，当=CO 时，NMB 的度数是.【答案】【答案】30。【分析】【

46、分析】连接 OB，=CO，OB=ON=2OC。四边形OABC 是矩形，BCO=90。cosBOC八、根本辅助线：八、根本辅助线：根本辅助线包括连接两点的线段、平行线、垂直线、角平分线等，如连接直角三角形直角顶点与斜边的中点构成斜边上的中线；过三角形一边的中点作另一边的平行线构成三角形的中位线；过三角形一顶点作对边的垂直线构成直角三角形；连接圆上一点和直径的两端点构成直角三角形；等等。典型例题：典型例题：1OC1。BOC=60。NMB=BOC=30。2OB2例例 2.2.2012620126 分分如图，AB=DC，DB=AC1求证：ABD=DCA，注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据2在1的

47、证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？【答案】【答案】证明：1连接 AD，在BAD 和CDA 中，AB=CD ，DB=AC，AD=AD公共边，BADCDASSS。ABD=DCA全等三角形对应角相等。jz*.2作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三角形的公共边。【考点】【考点】全等三角形的判定和性质。例例 3.3.2012320123 分分如图，在RtABC 中，ACB=90，AB 的垂直平分线 DE 交于 BC 的延长线于 F，假设F=30，DE=1，那么 EF 的长是【】A3B2C3D1【答案】【答案】B。【分析】【分析】连接 AF，DF 是 AB 的垂直平分线，AF=BF。FDAB，

48、AFD=BFD=30，B=FAB=9030=60。ACB=90，BAC=30，FAC=6030=30。DE=1，AE=2DE=2。FAE=AFD=30，例例 5.5.2012320123 分分 如图，在四边形 ABCD 中，DCAB，CBAB，AB=AD，为 AB AD 的中点，那么AEF 与多边形 BCDFE 的面积之比为【】AEF=AE=2。应选 B。CD=1AB，点 E、F 分别21111BCD7654【答案】【答案】C。【分析】【分析】如图，连接 BD，过点 F 作 FGAB 交 BD 于点 G，连接 EG，CG。DCAB，CBAB，AB=AD，CD=1AB，点 E、F 分别为 ABA

49、D 的中点，2根据三角形中位线定理，得AE=BE=AF=DF=DC=FG。图中的六个三角形面积相等。AEF 与多边形 BCDFE 的面积之比为1。应选 C。5例例 6.6.2012XX2012XX 市市 3 3 分分假设一个正六边形的周长为24，那么该正六边形的面积为【答案】【答案】24 3。【分析】【分析】根据题意画出图形，如图，连接OB，OC，过 O 作 OMBC 于 M，BOC=1360=60。6OB=OC，OBC 是等边三角形。OBC=60。正六边形 ABCDEF 的周长为 24，BC=246=4。OB=BC=4，BM=OBsinOBC=43=2 3。2SABCDEF6SOBC6BCO

50、M 642 3 24 3。jz*1212.例例 7.7.201210201210 分分ABCD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 P 在边 AD 上，过点 P 分别作 PEAC、PFBD，垂足分别为E、F，PEPF1如图，假设 PE3，EO1，求EPF 的度数；2假设点 P 是 AD 的中点，点 F 是 DO 的中点，BFBC324，求 BC 的长【答案】【答案】解：1连接 PO,PEPF，POPO，PEAC、PFBD，RtPEORtPFOHL。EPOFPO。EO3在 RtPEO 中，tanEPO，PE3 EPO30。EPF60。2点 P 是 AD 的中点，APDP。又 PEPF，Rt