因式分解的应用——初中数学竞赛讲义1.pdf

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1、-.因式分解的应用一、利用因式分解判断整除性一、利用因式分解判断整除性例例 1 1 2n1 和 2n+1 表示两个连续的奇数(n 是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被 8 整除证明证明(2n1)2(2n1)2=(2n12n1)(2n12n1)=4n2=8n 这两个连续奇数的平方差能被8 整除例例 2 2x3+y3+z33xyz 能被(x+y+z)整除证明证明因式分解，得原式即(x+y+z)(x+y+z xyyzzx)，x3+y3+z33xyz 能被(x+y+z)整除例例 3 3 设 4xy 为 3 的倍数，求证：4x+7xy2y 能被 9 整除证明证明 4x+7xy2y=(4xy)(x+2

2、y)，又 x+2y=4xy3x+3y=(4xy)3(xy)原式(4xy)(4xy)3(xy)(4xy)3(4xy)(xy)4xy 为 3 的倍数4x+7xy2y 能被 9 整除例例 4 4 设实数 abcd，如果 x=(ab)(cd)，y=(ac)(bd)，z=(ad)(bc，那么 x、y、z 的大小关系为()A.xyzB.yzxC.zxyD.不能确定解解：abcd，-优选2222222222-.xy=(ab)(cd)(ac)(bd)=acbdabcd=(ad)(cb)0，即；xy。同理同理 yz=(ab)(dc)0，即 yz。xyz，选 A。说明：因式分解能使说明：因式分解能使 x xy y

3、 和和 y yx x 两个差式显示出正负性质，到达可比拟的目的。两个差式显示出正负性质，到达可比拟的目的。二、二、因式分解解计算题因式分解解计算题例例 5 5 计算以下各题：(1)233.145.931.41800.314(2)解：解：(1)适当变形之后，提取公因式：原式233.14593.14183.143.14(235918)=3.14100=314(2)原式说明：上述这些计算，巧妙应用了因式分解，使运算过程显得灵活、简捷。说明：上述这些计算，巧妙应用了因式分解，使运算过程显得灵活、简捷。例例 6 6 积的整数局部为()A.1B.2C.3D.4分析：分析：这道题，要求 99 个括号里的数值

4、的乘积，当然不能用常规方法去实乘。观察其特点：每个分母是相邻奇数或偶数的积，记为n(n2)；每个括号的分子相加又都是n(n2)1=(n1)2，于是，设所求式子之积为S，那么有1S2，应选 A。说明：这时用了因式分解，使隐含的数量关系明显化。说明：这时用了因式分解，使隐含的数量关系明显化。三、利用因式分解化简求值三、利用因式分解化简求值-优选-.例例7 7acbd=0，那么 ab(c2d2)cd(a2b2)的值等于_。解：解：原式=(abc2a2cd)(abd2b2cd)=ac(bcad)bd(adbc)=(adbc)(acbd)=(adbc)0=0说明：利用因式分解，先化简代数式，上述的求值题

5、变得十容易了。说明：利用因式分解，先化简代数式，上述的求值题变得十容易了。例例 8 8 ab=3,ac=326,求(cb)(ab)2+(ac)(ab)+(ac)2的值分析：分析：所求的代数式中含有cb，可以通过的 ab=3 与 ac=326来推得cb解解：由得 cb=332622所以 原式=33263 326 3(326)23=3 (326)=2726=1四、利用因式分解解方程四、利用因式分解解方程例例 9 9 解方程x24x)22(x24x)15=0解：解：将原方程左边分解因式，可得x24x3)(x24x5)=0(x1)(x3)(x1)(x5)=0由此得 x+10 或 x3=0，或 x1=0

6、，或 x5=0原方程的解是 x1=1，x2=3，x3=1，x4=5例例 1010 求方程 4x24xy3y2=5 的整数解。解：解：原方程或化为(2x3y)(2xy)=5因为 x、y 是整数，故 2x3y 和 2xy 必是整数。又5=51=(5)(1)，因此原方程可化为四个方程组：解这四个方程组，便可得原方程的四组解为：-优选-.说明：因式分解的运用，使这两道方程转化为我们熟悉的一次方程。说明：因式分解的运用，使这两道方程转化为我们熟悉的一次方程。五、利用因式分解化简五、利用因式分解化简例例 1111 化简31(111.1333.3000.0)3103n1分析分析 1111=933330000

7、=3(11110000)=3(11111111)102n110n1=3()99解：解：(111.1333.3000.0)131103n1102n110n133)=(3999113n(103102n310n1)391=(10n1)327=原式=31(10n1)327n=(101)=3333六、利用因式分解证明等式不等式六、利用因式分解证明等式不等式例例 1212 三角形的三边 a、b、c 满足等式abc3abc，证明这个三角形是等33313边三角形分析分析 要证明以 a、b、c 为边的三角形是等边三角形，只要能证明a=b=c 即可，题中给出了关于 a、b、c 的关系式abc3abc，利用因式分解

8、将它变形，在利333-优选-.用非负数的性质即可。解：解：abc3abc333即(a+b+c)(a b cabbcca)=0a+b+c0a b cabbcca=0(a 2ab b)+(b 2bc c)+(c 2ac a)=0(a b)=(b c)=(c a)=0a=b=c这个三角形是等边三角形例例 1313 设 a、b、c 为ABC 的三边，求证abc2bc0abc0(a+b+c)(abc)0abc2bcAC,2假设 BC=83.25，MD=12,求AB AC14如题图，在ABC 中，ABCACB,ADBC 于 D，P 是 AD 上任一点，求证：AC+BPAB+PC22lACDMBAPBDC答

9、案或提示答案或提示1.证明 原式=(14)3+1=1963+1=197(196-196+1)能被 197 整除2.(x，y，z)为(7，12，18)；(7，18，12)；(12，7，18)；(12，18，7)，(18，7，12)，(18，12，7)共 6 组解3.ABC 为等边三角形4.m 2或m 225时，方程 2x2xy6y2+mx+17y12=0 的图象是两条直线65.x=990,y=9896.xy，以及 p 是质数，那么只能是-优选-.2xp=1或2xp=p22yp=p22yp=1x p 1或x p(p 1)2y 2p(p 1)2y p 12由于 y 是大于 2 的质数，且 p 是奇数，于是p 12为整数所以求得的解是整数7.39900058.9982009.x=3,y=2或 x=-5,y=2或 x=-3,y=-2或 x=5,y=210.x=2,y=311.012.略13.1运用勾股定理2199814.略-优选