八年度级第十三章《轴对称》知识点及典型例题.pdf

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1、第十三章轴对称第十三章轴对称一、知识点归纳一、知识点归纳一轴对称和轴对称图形一轴对称和轴对称图形1 1、有一个图形沿着某一条直线折叠有一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于那么就说这两个图形关于这条直线对称这条直线对称,这条直线叫做对称轴这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点折叠后重合的点是对应点,叫做对称点叫做对称点 两个图形关于直两个图形关于直线对称也叫做轴对称线对称也叫做轴对称2 2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的局部能够互相重合直线两旁的局部能够互相重合,这

2、个图形就叫这个图形就叫做轴对称图形做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴这条直线就是它的对称轴.对称轴必须是直线对称轴必须是直线3 3、对称点：折叠后重合的点是对应点、对称点：折叠后重合的点是对应点,叫做对称点叫做对称点.4 4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线线段的垂直平分线.类似的类似的,轴对称图形的对称轴轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分轴对称图形上对应

3、线段相等、对应角相等连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分轴对称图形上对应线段相等、对应角相等.5 5画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点找到关键点,画出关键点的对应点画出关键点的对应点,按照原图顺按照原图顺序依次连接各点序依次连接各点.二二、轴对称与轴对称图形的区别和联系、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系,成轴对称的两个图形是全等形；成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图轴对称图形是一个具有特殊形状的图形形是一个具有特殊形状的图形,把一个轴对称图形沿对称轴分

4、成两个图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形是全等这两个图形是全等形形,并且成轴对称并且成轴对称_1 1：都是折叠重合：都是折叠重合2;2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形,反之亦然反之亦然.三线段的垂直平分线三线段的垂直平分线1 1经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线或线段的中叫做这条线段的垂直平分线或线段的中垂线垂线2 2线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反

5、过来,与一条线段两个端与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上证明是必须有两个点因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点证明是必须有两个点因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合的集合四用坐标表示轴对称四用坐标表示轴对称1 1、点、点x,yx,y关于关于 x x 轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为-x,y-x,y；2 2、点、点x,yx,y关于关于 y y 轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为x,-yx,-y；.五关于坐标轴夹角平分线对称五关于坐标轴夹角平分线对称点点 P Px,yx,y关于第一、三

6、象限坐标轴夹角平分线关于第一、三象限坐标轴夹角平分线 y yx x 对称的点的坐标是对称的点的坐标是y,xy,x点点 P Px,yx,y关于第二、四象限坐标轴夹角平分线关于第二、四象限坐标轴夹角平分线 y yx x 对称的点的坐标是对称的点的坐标是y,y,x x六关于平行于坐标轴的直线对称六关于平行于坐标轴的直线对称点点 P Px,yx,y关于直线关于直线 x xm m 对称的点的坐标是对称的点的坐标是2m2mx,yx,y；点点 P Px,yx,y关于直线关于直线 y yn n 对称的点的坐标是对称的点的坐标是x,2nx,2ny y；七等腰三角形七等腰三角形1 1、等腰三角形性质：、等腰三角形

7、性质：性质性质 1 1：等腰三角形的两个底角相等简写成：等腰三角形的两个底角相等简写成 等边对等角等边对等角性质性质 2 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.三线合一三线合一2 2、等腰三角形的判定：等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等简写成那么这两个角所对的边也相等简写成 等角对等边等角对等边.八等边三角形八等边三角形1 1、定义：三条边都相等的三角形、定义：三条边都相等的三角形,叫等边三角形叫等边三角形.它是特殊的等腰三角形它是特殊的等腰三角形.

8、2 2、性质和判定：、性质和判定：1 1等边三角形的三个内角都相等等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于并且每一个角都等于 6060 .2 2三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形.3 3有一个角是有一个角是 6060 的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形.4 4在直角三角形中在直角三角形中,如果一个锐角等于如果一个锐角等于 3030 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半.九其他结论九其他结论1 1三角形三个内角的平分线交于一点三角形三个内角的平分线交于一点,并且这一点到三边的距离等并且这一点到三边的距离等.2 2三角

9、形三个边的中垂线交于一点三角形三个边的中垂线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等并且这一点到三个顶点的距离相等.3 3常用辅助线：三线合一；过中点做平行线常用辅助线：三线合一；过中点做平行线二、专题训练二、专题训练考点一、关于考点一、关于 轴对称图形与轴对称图形与 轴对称的认识轴对称的认识1如下几何图形中,错误错误!线段错误错误!角错误错误!直角三角形错误错误!半圆,其中一定是轴对称图形的有A1 个 B2 个 C3 个D4 个2图 9-19 中,轴对称图形的个数是 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个3正 n 边形有_条对称轴,圆有_条对称轴考点二、轴对称变换与用坐标表示轴对称考点二、轴

10、对称变换与用坐标表示轴对称.1.在平面镜里看到背后墙上电子钟示数为12:50 这时的实际时间应该是：2.一辆小汽车在水面上的倒影如图,那么从倒影中看出这个小车的车牌号是3、在健美操训练房的墙壁上有一面大镜,小明、小颖、珍珍三人正在训练,从镜中看,小明在小颖的右后方,而珍珍在小颖的左前方,你能说出他们实际所站的方位?4、点 P2,3关于 y 轴的对称点为 Qa,b,如此 a+b 的值是 .5、将点 A3,2沿 x 轴向左平移 4 个单位长度得到点 A,点 A 关于 y 轴对称点的坐标是.6、点 P3,-1关于 x 轴对称点 Q 的坐标是a+b,1-b,如此 a=.7、点 A-1,-2和 B5,2

11、,将点 A 向平移个单位长度后得到的点与B 点关于 x 轴对称.8、点 A关于直线 y=3 对称的点 A 的坐标是.b考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形典例：1、如图,阴影局部是由 5 个小正方形组成的一个直角图形,请用两种方法分别在如下图方格内涂黑两个小正方形,使它们成为轴对称图形2、如图是 44 正方形网格,其中已有 3 个小方格涂成了黑色现在要从其余13 个白色小方格中选出一个也涂成黑色,使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形,这样的白色小方格有 _个3、如以下图的正方形网格中,网格线的交点称为格点 A、B是两格点,如果 C 也是图中的格点,

12、且使得ABC 为等腰三角形,如此点 C 的个数是.考点四、线段垂直平分线的性质考点四、线段垂直平分线的性质典例 1、如图,DE 是ABC 中 AC 边的垂直平分线.1 假如 BC=8厘米,AB=10 厘米,如此EBC 的周长为；2假如ABC 的周长=20cm,AC=8cm,如此EBC 的周长为.2、如图,ABC 的边 BC 的垂直平分线与边 BA 的垂直平分线的交点 M 恰好在 AC 上,且 AC=16cm,如此 BM=;CPM 的面积=ABC 面积.3、如图,ABC 中,A=90,BD 为ABC 平分线,DEB BBC,E 是 BC 的中点,1求C 的度数.2如果ABD 面积为 6,AB=4

13、,求 BD.E EA1 题DEBBDC如果 AC=16cm,AD:DB=3：5,求 AD 的长.A AN3 题D DC C4、如图,在 RtABC 中,ACB=90,BAC 的平分线交 BC 于 D.过 C点作 CGAB 于 G,交 AD 于 E.过 D 点作 DFAB 于 F.如下结论：CED=CDE；SAECSAEG ACAG；ADF=2ECD；SCED SDFB；CE=DF.其中正确结论的序号是 A B C DCAM2 题AECD4 题GFB考点五、等腰三角形的特征和识别考点五、等腰三角形的特征和识别典例 1、如以下图,ABC 中,AC=AD=BD,DAC=80,如此B 的度数是.2、等

14、腰三角形的一个内角为80,如此另两个角的度数是_ _1 题3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40,如此它的一个底角的度数是_4、等腰三角形的两边为3cm 和 4cm,如此周长为 .假如两边为 3cm 和 6cm,如此周长为 cm.5、等腰三角形的周长为28cm,一边长为 8cm,如此这个三角形另两边的长为.6、如图,A AF F6 题9 题C CABCE EE E中,AB=AC,BC=BD,AD=DE=EBA 的度数7、在等腰ABC中,AB=AC,其周长为20cm,如此AB边的取值X围 是B BC CA AB BD D A 1cmAB4cm B 5cmAB10cm C 4cmAB8cm

15、D 4cmAB10cm8、如图,C、E 和 B、D、F 分别在GAH 的两边上,且 AB=BC=CD=DE=EF,假如A=18,如此GEF 的度数是A80 B90 C100 D108A9、如图,CA=CB,DF=DB,AE=AD,如此A 的度数A30 B.40 C.36 D.4610、如图,E 在ABC 的 AC 边的延长线上,D 点在 AB 边上,DE 交 BC 于点DF,DF=EF,BD=CE.求证：ABC 是等腰三角形.CB11 题F11、如图,AF 是ABC 的角平分线,BDAF 交 AF 的延长线于 D,DEAC交 AB 于E,求证：AE=BEE12、在图中,直线 MN 与线段 AB

16、 相交于点 O,1=2=451 如图,假如 AO=OB,请写出 AO 与 BD 的数量关系和位置关系；2 将图中的 MN 绕点 O 顺时针旋转得到如下图,其中 AO=OB求证：AC=BD,AC BD；D D8 题考点六、等边三角形的特征和识别考点六、等边三角形的特征和识别典例 1、如下推理中,错误的答案是 AABC,ABC 是等边三角形 BABAC,且BC,ABC 是等边三角形CA60,B60,ABC 是等边三角形 DABAC,B60,ABC 是等边三角形2、如图,等边三角形 ABC 中,D 是 AC 的中点,E 为 BC 延长线上一点,且 CECD,DMBC,垂足为 M.求证：M 是 BE

17、的中点.BMC3 题EAD3、：如图,ABC 为正三角形,D 是 BC 延长线上一点,连结 AD,以 AD 为边作等边三角形 ADE,连结 CE,用你学过的知识探索 AC、CD、CE 三条线段的长度有何关系?试写出探求过程4、如图,在等边ABC 的顶点 A、C 处各有一只蜗牛,它们同时出发,分别以一样的速度由A 向 B 和由 C 向 A爬行,经过 t 分钟后,它们分别爬行到 D、E 处,请问1在爬行过程中,CD 和 BE 始终相等？.2如果将原题中的由 A 向 B 和由 C 向 A 爬行,长线爬行,EB 与 CD 交于点 Q,其他条件不变,如图程中CQE 的大小保持不变请利用图 2情形,3如果

18、将原题中由 C 向 A 爬行改为沿着 BCA的延长线爬行,连接 DE 交 AC 于 F,其他条件不变,如图3,如此爬行过程中,DF 始终等于 EF 是否正确CD改为沿着AB和CA的延2所示,蜗牛爬行过求证：CQE=60；B考点七、考点七、3030所对的直角边是斜边的一半所对的直角边是斜边的一半1、如图：ADC 中,A=15,D=90,B 在 AC 的垂直平分线上,AB=34,如此 CD=A.15 B.17 C.16 D.以上全不对2、如图,BAC=30,P 是BAC 平分线上一点,PM AC,PDAC,PD=28,如此 AM=3、如图,AB=AC,DEAB 于 E,DFAC 于 F,BAC=1

19、20,BC=6,如此 DE+DF=4、在ABC中,AB AC，A120,AB的垂直平分线交BC于点 F,交AB于点E如果EF=1,求BC的长考点八、折纸问题考点八、折纸问题1、有一本书折了其中一页的一角,如图：测得AD=30cm,BE=20cm,BEG=60,折痕EF的长2、如图 1,将矩形沿对称轴折叠,在对称轴处剪下一块,余下局部的展开图为3、将一矩形纸片按如图方式折叠,BC、BD为折痕,折叠后DBEoA AE EF FB BD DC C第3题AFCAB与EB与在同一条直线上,如此CBD的度数A.大于 90 B.等于 90 C.小于 90 D.不能确定A考点九、最短路径问题考点九、最短路径问

20、题1、小明在牛头山 A 处到对面凤凰山市场处买菜,然后回钟楼 B 住处,请你给小明设计出他出行的最短AD路线图.CAEBEAP2、正E方形AABPEBBCCBD 的面积是 36,ABE 是等边三角形,点 E 在正方形的内部,在 AC 上有一动CF点 P,使得 PD+PE 的和最小,如此这个最小值为.3、如图,ABC 是等边三角形,AD 是BAC 的平分线,且 AD=4,E 是 AB 上的中点,在 AD 上求一点 P,使 PE+PB最小,最小值为.4、如图,在 RtABC 中,C=90,B=60,点 D 是 BC 边上的点,CD=4,BE=3,将ABC 沿直线 AD 翻折,使点C 落在 AB 上的 E 处,假如点 P 是 AD 上的动点,如此PEB 的周长的最小值是.