2023学年黑龙江省大庆市让胡路区铁人高三下学期联考数学试题含解析.pdf

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1、2023 年高考数学模拟试卷 注意事项 1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回 2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 05 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置 3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符 4作答选择题，必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用 05 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效 5如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题

2、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知1111143579，如图是求的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入 A121in B12ii C(1)21nin D(1)2nii 2某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A23 B43 C2 D4 3两圆224xay和221xyb相外切，且0ab，则2222a bab的最大值为（）A94 B9 C13 D1 4已知12log 13a 131412,13b，13log 14c，则,a b c的大小关系为（）Aabc Bcab Cbca Dacb 5一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A48 12 2 B60 1

3、2 2 C72 12 2 D84 6已知点P是双曲线222222:1(0,0,)xyCabcabab上一点，若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为214c，则双曲线C的离心率为（）A2 B52 C3 D2 7已知复数12izi（i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）A31,55 B31,55 C3 1,5 5 D3 1,5 5 8公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌

4、龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米.所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（）A5101900米 B510990米 C4109900米 D410190米 9设12,F F分别是双线2221(0)xyaa的左、右焦点，O为坐标原点，以12FF为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B两点（,A B位于y轴右侧），且四边形2OAF B为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（）A0 xy B30 xy C30 xy D30 xy 10函数的图象可能是下列哪一个？（）A B C D 11在直三棱柱111ABCABC

5、中，己知ABBC，2ABBC，12 2CC，则异面直线1AC与11AB所成的角为（）A30 B45 C60 D90 12521mxx的展开式中5x的系数是-10，则实数m()A2 B1 C-1 D-2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若5(3)nxx的展开式中各项系数之和为 32，则展开式中 x 的系数为_ 14若随机变量的分布列如表所示，则E（）_，21D_ -1 0 1 P a 14 2a 15已知过点O的直线与函数3xy 的图象交于A、B两点，点A在线段OB上，过A作y轴的平行线交函数9xy 的图象于C点，当BCx轴，点A的横坐标是 16小李参加有关“学习

6、强国”的答题活动，要从 4 道题中随机抽取 2 道作答，小李会其中的三道题，则抽到的 2 道题小李都会的概率为_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 C：22ypx（0p）的焦点 F 在直线10 xy 上，平行于 x 轴的两条直线1l，2l分别交抛物线 C 于 A，B 两点，交该抛物线的准线于 D，E 两点.（1）求抛物线 C 的方程；（2）若 F 在线段AB上，P 是DE的中点，证明：APEF.18（12 分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的 100 人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所

7、示），规定 80 分及以上者晋级成功，否则晋级失败 晋级成功 晋级失败 合计 男 16 女 50 合计 （1）求图中a的值；（2）根据已知条件完成下面22列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取 4 人进行约谈，记这 4 人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望()E X（参考公式：22()()()()()n adbckab cdac bd，其中nabcd ）20P Kk 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0k 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 19

8、（12 分）设函数 22lnf xxax，（Ra）.（1）若曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为2yxm，求实数 a、m 的值；（2）若 2122fxf x对任意2,x恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）关于 x 的方程 2cos5f xx能否有三个不同的实根？证明你的结论.20（12 分）在直角坐标系 x0y 中，把曲线1:C2cos(2sinxy 为参数)上每个点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，得到曲线2.C以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线3C的极坐标方程sin()4 2.4（1）写出2C的普通方程和3C的直角坐标方程；（2）设点M 在2C上，点N 在3

9、C上，求|MN|的最小值以及此时 M 的直角坐标.21（12 分）已知 ABC 三内角 A、B、C 所对边的长分别为 a，b，c，且 3sin2A+3sin2B4sinAsinB+3sin2C（1）求 cosC 的值；（2）若 a3，c6，求 ABC 的面积 22（10 分）为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间(2,2)xs xs之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中x,s 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得15s（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）求样本平均数的大小；（2）若一个

10、零件的尺寸是 100 cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件.参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】由于111113579中正项与负项交替出现，根据SSi可排除选项 A、B；执行第一次循环：0 1 1S ，若图中空白框中填入(1)21nin，则13i ，若图中空白框中填入(1)2nii，则13i ，此时20n 不成立，2n；执行第二次循环：由均可得113S ，若图中空白框中填入(1)21nin，则15i，若图中空白框中填入(1)2nii，则35i，此时20n 不成立，3n；执行第三次循环：由可

11、得11135S ，符合题意，由可得13135S ，不符合题意，所以图中空白框中应填入(1)21nin，故选 C 2B【解析】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积【详解】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：则该四棱锥的体积为211421333ABCDVSPA 正方形.故选：B.【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题 3A【解析】由两圆相外切，得出229ab，结合二次函数的性质，即可得出答案.【详解】因为两圆224xay和221xyb相外切 所以223ab，即229ab 222222229819

12、2499aaaa bab 当292a 时，2222a bab取最大值8119494 故选：A【点睛】本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题.4D【解析】由指数函数的图像与性质易得b最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a和c的大小关系，进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知1314120131b，由对数函数的图像与性质可知12log 13 1a，13log 14 1c，所以b最小；而由对数换底公式化简可得1132log 13 log 14a c lg13 lg14lg12 lg13 2lg 13 lg12lg14lg12lg13 由基本不等式可知21l

13、g12lg14lg12 lg142，代入上式可得 2221lg 13lg12 lg14lg 13 lg12lg142lg12lg13lg12lg13 221lg 13lg1682lg12lg13 11lg13lg168lg13lg16822lg12lg13 lg13 lg 168lg13 lg 1680lg12lg13 所以ac，综上可知acb，故选：D.【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.5B【解析】画出几何体的直观图，计算表面积得到答案.【详解】该几何体的直观图如图所示：故2422 62 624 66 2 264 12

14、 22S .故选：B.【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.6A【解析】设点P的坐标为(,)m n，代入椭圆方程可得222222b ma na b，然后分别求出点P到两条渐近线的距离，由距离之积为214c，并结合222222b ma na b，可得到,a b c的齐次方程，进而可求出离心率的值.【详解】设点P的坐标为(,)m n，有22221mnab，得222222b ma na b.双曲线的两条渐近线方程为0bxay和0bxay，则点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为2222222222222b ma nbmanbmana babcabab，所以222

15、214a bcc，则22244()acac，即22220ca，故2220ca，即2222cea，所以2e.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，构造,a b c的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.7A【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得出答案.【详解】解：1(1)(2)312(2)(2)55iiiziiii，z在复平面内对应的点的坐标是31,55.故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题 8D【解析】根据题意，是一个等比数列模型，设11100,0.110naqa，由110.110010nna，解得4n，再求和.

16、【详解】根据题意，这是一个等比数列模型，设11100,0.110naqa，所以110.110010nna，解得4n，所以 44441110011011111001190aqSq.故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力，属于中档题.9B【解析】由于四边形2OAF B为菱形，且2OFOA，所以2AOF为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率.【详解】如图，因为四边形2OAF B为菱形，2OFOAOB，所以2AOF为等边三角形，260AOF，两渐近线的斜率分别为3和3.故选：B 【点睛】此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题.10A

17、【解析】由排除选项;排除选项；由函数有无数个零点，排除选项,从而可得结果.【详解】由，可排除选项，可排除选项；由可得，即函数有无数个零点，可排除选项,故选 A.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11C【解析】由条件可看出11ABAB，则1BAC为异面直线1AC与11AB所成的角，可证得三角形1BAC中，1ABBC，解得1tanB

18、AC，从而得出异面直线1AC与11AB所成的角【详解】连接1AC，1BC，如图：又11ABAB，则1BAC为异面直线1AC与11AB所成的角.因为ABBC，且三棱柱为直三棱柱，1ABCC，AB 面11BCC B，1ABBC，又2ABBC，12 2CC，2212 222 3BC，1tan3BAC，解得160BAC.故选 C【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题 12C【解析】利用通项公式找到5x的系数，令其等于-10 即可.【详解】二项式展开式的通项为15552222155()()rrrrrrrTCxmxm C x，令5552

19、2r，得3r，则33554510Tm C xx，所以33510m C ，解得1m .故选：C【点睛】本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。132025【解析】利用赋值法，结合展开式中各项系数之和列方程，由此求得n的值.再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中x的系数.【详解】依题意，令1x，解得232n，所以5n，则二项式553 xx的展开式的通项为：5135522155535(3)rrrrrrrrTCxCxx 令3512r，得4r，所以x的系数为5 44455(3)2025C.故答案为：2025

20、【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查二项式展开式指定项系数的求法，属于基础题.1414 114 【解析】首先求得a 的值，然后利用均值的性质计算均值，最后求得 D的值，由方差的性质计算21D的值即可.【详解】由题意可知2114aa，解得32a （舍去）或12a.则 11111012444E ，则 2221111111110142444416D ，由方差的计算性质得 112144DD.【点睛】本题主要考查分布列的性质，均值的计算公式，方差的计算公式，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.153log 2【解析】通过设出 A 点坐标，可得 C 点坐标，通过BCx轴

21、，可得 B 点坐标，于是再利用OAOBkk可得答案.【详解】根据题意，可设点,3aA a，则,9aC a,由于BCx轴，故9aCByy，代入3xy，可得2Bxa，即2,9aBa，由于A在线段OB上，故OAOBkk，即392aaaa，解得 3log 2a.1612【解析】从四道题中随机抽取两道共 6 种情况，抽到的两道全都会的情况有 3 种，即可得到概率.【详解】由题：从从 4 道题中随机抽取 2 道作答，共有246C 种，小李会其中的三道题，则抽到的 2 道题小李都会的情况共有233C 种，所以其概率为23241=2CC.故答案为：12【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于根据题意准确求

22、出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）24yx；（2）见解析【解析】（1）根据抛物线的焦点在直线10 xy 上，可求得p的值，从而求得抛物线的方程；（2）法一：设直线1l，2l的方程分别为ya和yb且0a，0b，ab，可得A，B，D，E的坐标，进而可得直线AB的方程，根据F在直线AB上，可得4ab ，再分别求得APk，EFk，即可得证；法二：设11,A x y，22,B x y，则121,2yyP，根据直线AB的斜率不为 0，设出直线AB的方程为1xmy，联立直线AB和抛物线C的方程，结合韦达定理，分别求出AP

23、k，EFk，化简APEFkk，即可得证.【详解】（1）抛物线 C 的焦点F坐标为,02p，且该点在直线10 xy 上，所以102p，解得2p，故所求抛物线 C 的方程为24yx（2）法一：由点 F 在线段AB上，可设直线1l，2l的方程分别为ya和yb且0a，0b，ab，则2,4aAa，2,4bBb，1,Da，1,Eb.直线AB的方程为222444baayaxba，即40 xab yab.又点1,0F在线段AB上，4ab .P 是DE的中点，1,2abP 224224142APabaaakaaa，4222EFAPbakka.由于AP，EF不重合，所以/AP EF 法二：设11,A x y，22

24、,B x y，则121,2yyP 当直线AB的斜率为 0 时，不符合题意，故可设直线AB的方程为1xmy 联立直线AB和抛物线C的方程214xmyyx，得2440ymy 又1y，2y为该方程两根，所以124yym，124y y ，112121112121APyyyyykxx，22EFyk.211121122112111114144021111APEFyyyyyyyyxyy xkkxxxx，EFAPkk 由于AP，EF不重合，所以/AP EF【点睛】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题 18(1)0.005a；(2)列联表见解析，有超过85%的把握认

25、为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，()E X=3【解析】（1）由频率和为 1，列出方程求a的值；（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写22列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.【详解】解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1，可知(20.0200.0300.040)101a，解得0.005a；（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.200.050.25，所以晋级成功的人数为1000.2525（人），填表如下：晋级

26、成功 晋级失败 合计 男 16 34 50 女 9 41 50 合计 25 75 100 假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得22100(1641 34 9)2.6132.07225 75 50 50K，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为1 0.250.75，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取 1 人进行约谈，这人晋级失败的概率为 0.75，所以X可视为服从二项分布，即34,4XB，4431()44kkkP XkC (0,1,2,3,4)k，故0404311(0)44256P XC ，13143112(1)

27、44256P XC ，22243154(2)44256P XC ，313431108(3)44256P XC ，40443181(4)44256P XC .所以X的分布列为：X 0 1 2 3 4()P Xk 1256 12256 54256 108256 81256 数学期望为3()434E X.或（1125410881()012343256256256256256E X ）【点睛】本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题若离散型随机变量,XB n p，则 ,1E Xnp D xnpp.19（1）2a ，0m；（2）4,2ln2ln3；（3）不能，证明

28、见解析【解析】（1）求出 fx，结合导数的几何意义即可求解；（2）构造 2122h xfxf x，则原题等价于 0h x 对任意2,x恒成立，即2,x时，min0h x，利用导数求 h x最值即可，值得注意的是，可以通过代特殊值，由 20h求出a的范围，再研究该范围下 h x单调性；（3）构造 2cos5g xf xx并进行求导，研究 g x单调性，结合函数零点存在性定理证明即可.【详解】（1）22lnf xxax，4afxxx，曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为2yxm，142122 1fafm，解得20am.（2）记 2122h xfxf x，整理得 2241ln21xh xxax

29、，22214 22281212xxxah xxaxxxx 由题知，2122fxf x对任意2,x恒成立，0h x 对任意2,x恒成立，即2,x时，min0h x，20h，解得42ln2ln3a，当42ln2ln3a 时，对任意2,x，10 x，2211226,48xxx，66244ln434 24 602ln2ln32ln2ln3exxa，0h x，即 h x在2,单调递增，此时 min20h xh，实数a的取值范围为4,2ln2ln3.（3）关于x的方程 2cos5f xx不可能有三个不同的实根，以下给出证明：记 22cos52ln2cos5g xf xxxaxx，0,+x，则关于x的方程

30、2cos5f xx有三个不同的实根，等价于函数 g x有三个零点，42sinagxxxx，当0a 时，0ax，记 42sinu xxx，则 42cos0uxx，u x在0,+单调递增，00u xu，即42sin0 xx，42sin0agxxxx，g x在0,+单调递增，至多有一个零点；当0a 时，记 42sinaxxxx，则 242cos42cos0axxxx，x在0,+单调递增，即 g x在0,+单调递增，g x至多有一个零点，则 g x至多有两个单调区间，g x至多有两个零点.因此，g x不可能有三个零点.关于x的方程 2cos5f xx不可能有三个不同的实根.【点睛】本题考查了导数几何意

31、义的应用、利用导数研究函数单调性以及函数的零点存在性定理，考查了转化与化归的数学思想，属于难题.20（1）2C的普通方程为221124xy，3C的直角坐标方程为80 xy.（2）最小值为2 2，此时(3,1)M 【解析】（1）由2C的参数方程消去求得2C的普通方程，利用极坐标和直角坐标转化公式，求得3C的直角坐标方程.（2）设出M点的坐标，利用点到直线的距离公式求得MN最小值的表达式，结合三角函数的指数求得MN的最小值以及此时M点的坐标.【详解】（1）由题意知2C的参数方程为2 3cos2sinxy（为参数）所以2C的普通方程为221124xy.由sin()4 2.4得cossin80，所以3

32、C的直角坐标方程为80 xy.（2）由题意，可设点M的直角坐标为(2 3cos,2sin)，因为3C是直线，所以|MN的最小值即为M到3C的距离()d，因为|2 3cos2sin8|()2 2|cos()2|62d 当且仅当52()6kkZ时，()d取得最小值为2 2，此时M的直角坐标为552 3cos,2sin(66)即(3,1)【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用曲线参数方程求解点到直线距离的最小值问题，属于中档题.21（1）23；（2）52或3 52【解析】（1）利用正弦定理对已知代数式化简，根据余弦定理求解余弦值；（2）根据余弦定理求出

33、b1 或 b3，结合面积公式求解.【详解】（1）已知等式 3sin2A+3sin2B4sinAsinB+3sin2C，利用正弦定理化简得：3a2+3b23c24ab，即 a2+b2c243ab，cosC222223abcab；（2）把 a3，c6，代入 3a2+3b23c24ab 得：b1 或 b3，cosC23，C 为三角形内角，sinC2513cos C，S ABC12absinC123b5532b，则 ABC 的面积为52或3 52【点睛】此题考查利用正余弦定理求解三角形，关键在于熟练掌握正弦定理进行边角互化，利用余弦定理求解边长，根据面积公式求解面积.22（1）66.5 （2）属于【解析】（1）利用频率分布直方图的平均数公式求解；（2）求出(2,2)xs xs，即可判断得解.【详解】（1）35 10 0.00545 10 0.01055 10 0.01565 10 0.030 x 75 10 0.02085 0.01595 10 0.00566.5（2）266.53096.5,266.53036.5,10096.5xsxs 所以该零件属于“不合格”的零件【点睛】本题主要考查频率分布图中平均数的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.