2023届广东省高三压轴卷数学试卷含解析.pdf

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1、2023 年高考数学模拟试卷 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00之间.用A表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人

2、到达的时间为x，小张离开家的时间为y，(,)x y看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A的概率()P A等于（）A58 B25 C35 D78 2已知函数2()e(2)exxf xttx（0t），若函数()f x在xR上有唯一零点，则t的值为（）A1 B12或 0 C1 或 0 D2 或 0 3若实数,x y满足不等式组2,36,0,xyxyxy则3xy的最小值等于（）A4 B5 C6 D7 4已知命题 p:直线 ab，且 b平面，则 a；命题 q:直线 l平面，任意直线 m，则 lm.下列命题为真命题的是（）Apq Bp（非 q）C（非 p）q Dp（非 q）5ABC中，角,A B C

3、的对边分别为,a b c，若1a，30B，2 7cos7C，则ABC的面积为（）A32 B3 C7 D72 6已知数列 na是公差为()d d 0的等差数列，且136,a a a成等比数列，则1ad（）A4 B3 C2 D1 7 在正方体1111ABCDABC D中，点E，F，G分别为棱11AD，1D D，11AB的中点，给出下列命题：1ACEG；/GC ED；1B F 平面1BGC；EF和1BB成角为4.正确命题的个数是（）A0 B1 C2 D3 8若将函数 2sin16f xx的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数 g x的图象，则下列说法正确的是（）A函数 g x在0

4、6，上单调递增 B函数 g x的周期是2 C函数 g x的图象关于点 012，对称 D函数 g x在0 6，上最大值是 1 9设全集U R，集合02Axx，1Bx x，则集合AB（）A2,B2,C,2 D,1 10已知集合2lgsin9Ax yxx，则()cos22sinf xxxxA，的值域为（）A31,2 B31,2 C11,2 D2,22 11若4log 15.9a，1.012b，0.10.4c，则（）Acab Babc Cbac Dacb 12以下三个命题：在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；若两个变量的线性相关性越

5、强，则相关系数的绝对值越接近于 1；对分类变量X与Y的随机变量2k的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（）A3 B2 C1 D0 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13记等差数列 na和 nb的前n项和分别为nS和nT，若357nnSnTn，则77ab_.14 一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,5)A，(3,0,0)B，(0,1,0)C，(3,1,5)D，则该四面体的外接球的体积为_ 15已知实数,x y满足330101xyxyy 则点,P x y构成的区域的面积为_，2xy的最大值为_ 16已知函数

6、32,02()32,02xxxf xx，若312fmfm，则实数m的取值范围为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）已知椭圆222210 xyabab的右焦点为23,0F，离心率为e.（1）若32e，求椭圆的方程；（2）设直线ykx与椭圆相交于A、B两点，M、N分别为线段2AF、2BF的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且2322e，求k的取值范围.18（12 分）已知矩形纸片ABCD中，6,12ABAD，将矩形纸片的右下角沿线段MN折叠，使矩形的顶点 B 落在矩形的边AD上，记该点为 E，且折痕MN的两端点 M，N 分别在边,AB BC上

7、.设,MNBMNl，EMN的面积为 S.（1）将 l 表示成 的函数，并确定 的取值范围；（2）求 l 的最小值及此时sin的值；（3）问当 为何值时，EMN的面积 S 取得最小值？并求出这个最小值.19（12 分）求函数132yxx的最大值 20（12 分）已知函数sin()xf xx，0 x.（1）求函数()f x在2x处的切线方程；（2）当0m时，证明：()lnf xmxx对任意(0,)x恒成立.21（12 分）在三角形 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若31sin,tan53AAB，角C为钝角，5.b （1）求sinB的值；（2）求边c的长.22（10 分）已知函

8、数2()2sin2 3sincos1,.f xxxxxR（1）求 f(x)的单调递增区间；（2）ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若()12Af且 A 为锐角，a=3，sinC=2sinB，求 ABC 的面积.参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解.【详解】解：事件A发生，需满足xy，即事件A应位于五边形BCDEF内，作图如下：1111722218P A 故选：D【点睛】考查几何概型，是基础题.2C【解析】求出函数的导函数，当0t 时，只

9、需(ln)0ft，即1ln10tt，令1()ln1g ttt，利用导数求其单调区间，即可求出参数t的值，当0t 时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断；【详解】解：2()e(2)exxf xttx（0t），2()2 e(2)e1e12e1xxxxfxttt，当0t 时，由()0fx得lnxt，则()f x在,lnt 上单调递减，在ln,t上单调递增，所以(ln)ft是极小值，只需(ln)0ft，即1ln10tt.令1()ln1g ttt，则211()0g ttt，函数()g t在(0,)上单 调递增.(1)0g，1t；当0t 时，()2exf xx，函数()f x在R上单调递减，(1)2e

10、10f ，2(2)22e0f，函数()f x在R上有且只有一个零点，t的值是 1 或 0.故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题.3A【解析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最小值【详解】解：作出实数x，y满足不等式组2360 xyxyxy表示的平面区域（如图示：阴影部分）由200 xyxy得(1,1)A，由3zxy得3yxz，平移3yx，易知过点A时直线在y上截距最小，所以3 1 14minz 故选：A 【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题 4C【解析】首先判断出p为假命题、q

11、为真命题，然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性，判断出正确选项.【详解】根据线面平行的判定，我们易得命题:p若直线/a b，直线b 平面，则直线/a平面或直线a在平面内，命题p为假命题；根据线面垂直的定义，我们易得命题:q若直线l 平面，则若直线l与平面内的任意直线都垂直，命题q为真命题.故:A 命题“pq”为假命题；B 命题“pq”为假命题；C 命题“pq”为真命题；D 命题“pq”为假命题.故选：C.【点睛】本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断，考查含有简单逻辑联结词的命题的真假性判断，属于基础题.5A【解析】先求出sin A，由正弦定理求得c，然后由面积公式计算【详解】由题

12、意22 721sin1()77C ，12 73217sinsin()sincoscossin()272714ABCBCBC 由sinsinabAB得sin1 sin307sin714aBbA，11213sin172272SabC 故选：A【点睛】本题考查求三角形面积，考查正弦定理，同角间的三角函数关系，两角和的正弦公式与诱导公式，解题时要根据已知求值要求确定解题思路，确定选用公式顺序，以便正确快速求解 6A【解析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.【详解】由136,a a a成等比数列得2316aaa，即211125ada ad，已知0d，解得14ad.故选：A.【点睛】本题考查了等

13、差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.7C【解析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.【详解】设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，12,0,0,0,2,2,2,1,2ACG，10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0CEDBFB.，112,2,2,1,1,0,2200ACEGAC EG ，所以1ACEG，故正确.，2,1,2,1,0,2GCED ，不存在实数使GCED，故/GC ED不成立，故错误.，112,2,1,0,1,2,2,0,2BFBGBC ，1110,20BF BGBF BC，故1

14、B F 平面1BGC不成立，故错误.，11,0,1,0,0,2EFBB，设EF和1BB成角为，则1122cos222EF BBEFBB，由于0,2，所以4，故正确.综上所述，正确的命题有2个.故选：C 【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.8A【解析】根据三角函数伸缩变换特点可得到 g x解析式；利用整体对应的方式可判断出 g x在0,6上单调递增，A正确；关于点,112对称，C错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知B错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，D错误.【详解】将 f x横坐标缩短到原来的12得：2sin

15、216g xx 当0,6x时，2,66 2x sin x在,6 2 上单调递增 g x在0,6上单调递增，A正确；g x的最小正周期为：22T 2不是 g x的周期，B错误；当12x 时，206x，112g g x关于点,112对称，C错误；当0,6x时，2,66 2x 0,1g x 此时 g x没有最大值，D错误.本题正确选项：A【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.9C【解析】集合02Axx，1Bx x，AB,2 点睛：本题

16、是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.10A【解析】先求出集合0,3A，化简 f x=22sin2sin1xx，令sinxt0,1，得 2221g ttt 由二次函数的性质即可得值域.【详解】由2sin00390 xxx，得0,3A，cos22sinf xxx 22sin2sin1xx，令sinxt，0,3x，0,1t，所以得 2221g ttt ，g t 在10,2 上递增，在1,12上递减，1311,22gg，所以 31,2g t，即 f x的值域为31,2 故选 A【点睛】本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题 11C【解析】利用指数函数

17、和对数函数的单调性比较a、b、c三个数与1和2的大小关系，进而可得出a、b、c三个数的大小关系.【详解】对数函数4logyx为0,上的增函数，则4441log 4log 15.9log 162，即12a；指数函数2xy 为R上的增函数，则1.011222b；指数函数0.4xy 为R上的减函数，则100.0.410.4c.综上所述，bac.故选：C.【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.12C【解析】根据抽样方式的特征，可判断；根据相关系数的性质，可判断；根据独立性检验的方法和步骤，可判断【详解】根据抽样是间隔相

18、同，且样本间无明显差异，故应是系统抽样，即为假命题；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于 1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于 0；故为真命题；对分类变量X与Y的随机变量2K的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越小，故为假命题 故选：C【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13115【解析】结合等差数列的前n项和公式,可得771377113111331313132132aabbbaaTbS,求解即可.【详解】由题意,1131371313

19、2aaSa,11313713132bbbT,因为357nnSnTn,所以77137713133 13 5111313 75aaSbbT.故答案为:115.【点睛】本题考查了等差数列的前n项和公式及等差中项的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.1492【解析】将四面体补充为长宽高分别为3,1,5的长方体，体对角线即为外接球的直径，从而得解.【详解】采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体的长宽高分别为3,1,5，长方体的外接球即为该四面体的外接球，外接球的直径即为长方体的体对角线3 1 53，所以球半径为32，体积为34932r.【点睛】本题主要考查了四面

20、体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.158 11 【解析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合求得区域面积以及目标函数的最值.【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示：数形结合可知，可行域为三角形，且底边长8BC，高为2，故区域面积18 282S ；令2zxy，变为2yxz，显然直线2yxz 过(6,1)B时，z 最大，故2 6 111maxz.故答案为：8；11.【点睛】本题考查简单线性规划问题，涉及区域面积的求解，属基础题.161 3(,)2 4【解析】画图分析可得函数是偶函数，且在(0,)上单调递减，利用偶函数性质()()f xf x和单调性可解.

21、【详解】作出函数 f x的图如下所示，观察可知，函数 f x为偶函数，且在,0上单调递增，在(0,)上单调递减，故(2)|31|2|31fmmfmm 213823024mmm ，故实数m的取值范围为1 3(,)2 4.故答案为：1 3(,)2 4【点睛】本题考查利用函数奇偶性及单调性解不等式.函数奇偶性的常用结论：(1)如果函数()f x是偶函数，那么()()f xf x(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）221123xy；（2）22,44.【解析】（1）由椭圆的离

22、心率求出a、b的值，由此可求得椭圆的方程；（2）设点11,A x y、22,B x y，联立直线ykx与椭圆的方程，列出韦达定理，由题意得出22AFBF，可得出220F A F B，【详解】（1）由题意得3c，32ca，2 3a.又因为222abc，23b，所以椭圆的方程为221123xy；（2）由22221xyabykx，得2222220ba kxa b.设11,A x y、22,B x y，所以120 xx，2212222a bx xba k，依题意，OMON，易知，四边形2OMF N为平行四边形，所以22AFBF.因为2113,F Axy，2223,F Bxy，所以22212121233

23、190F A F Bxxy ykx x.即2222229 1909aaka ka，将其整理为422424218818111818aakaaaa .因为2322e，所以2 33 2a，21218a.所以218k，即22,+44k .【点睛】本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，考查计算能力，属于中等题.18（1）23sincos124l（2）3sin3，l的最小值为9 32.（3）6时，面积S取最小值为8 3【解析】（1）,2ENMMNBEMA,利用三角函数定义分别表示,NB MB ME AM,且6AMMB,即可得到

24、l关于的解析式；12BN,6BM,则2312sincos36cos02BNBM,即可得到的范围；（2）由（1）,若求 l 的最小值即求2sincos的最大值,即可求24sincos的最大值,设为224()sincosf,令2cosx,则22()(1)fx x,即可设2()(1)g xx x,利用导函数判断函数的单调性,即可求得 g x的最大值,进而求解；（3）由题,23191sincos22sincos124Sl,则2268114sincosS,设2cos124t,3(1)th tt,利用导函数求得 h t的最大值,即可求得S的最小值.【详解】解:（1）,2ENMMNBEMA,故cos,sin

25、,cos2sincos2NBlMBMElAMMEl.因为6AMMB,所以sin cos2sin6ll，,所以263sin(cos21)sincosl,又12BN,6BM,则2312sincos36cos02BNBM,所以124,所以23sincos124l（2）记 2sincos,124f,则224()sincosf,设2cosx,1 23,24x,则22()(1)fx x,记2()(1)g xx x,则2()23g xxx,令()0g x,则21 23,324x,当1 2,2 3x时,0gx；当2 23,34x时,0gx,所以 g x在1 2,2 3上单调递增,在2 23,34上单调递减,故

26、当22cos3x时l取最小值,此时3sin3,l的最小值为9 32.（3）EMN的面积23191sincos22sincos124Sl,所以2268114sincosS,设2cos124t,则12324t,设3()(1)h tt t,则23()34h ttt,令()0h t,31 23,424t,所以当1 3,2 4t时,0h t；当3 23,44t时,0h t,所以 h t在1 3,2 4上单调递增,在3 23,44上单调递减,故当23cos4t,即6时,面积S取最小值为8 3【点睛】本题考查三角函数定义的应用,考查利用导函数求最值,考查运算能力.192 153【解析】试题分析：由柯西不等式

27、22222()()()abcdacdb得221(132)(33321)3xxxx 120(3332)(1)33xx 试题解析：因为221(132)(33321)3xxxx 120(3332)(1)33xx，所以2 151323yxx 等号当且仅当1133233xx，即712x 时成立 所以y的最大值为2 153 考点：柯西不等式求最值 20（1）244yx（2）见解析【解析】（1）因为cossin()2xxxfxx，可得242f，即可求得答案；（2）要证()lnf xmxx对任意(0,)x恒成立，即证lnsinmxxx对任意(0,)x恒成立.设()lng xmxx，()sinh xx，当(0,

28、)x时，()sin,1h xx，即可求得答案.【详解】（1）cossin()2xxxfxx，242f，22f，函数()f x在2x处的切线方程为244yx.（2）要证()lnf xmxx对任意(0,)x恒成立.即证lnsinmxxx对任意(0,)x恒成立.设()lng xmxx，()sinh xx，当(0,)x时，()sin,1h xx，()(ln1)g xmx，令()0g x，解得1ex，当10ex时，()0g x，函数()g x在10,e上单调递减；当1ex时，()0g x，函数()g x在1,e上单调递增.min1()eemg xg，0,()m，1em，当0m时，lnsinmxxx对任意

29、(0,)x恒成立，即当0m时，()lnf xmxx对任意(0,)x恒成立.【点睛】本题主要考查了求曲线的切线方程和求证不等式恒成立问题，解题关键是掌握由导数求切线方程的解法和根据导数求证不等式恒成立的方法，考查了分析能力和计算能力，属于难题.21（1）10sin10B （2）13c 【解析】（1）由sinsinBAAB，分别求得sincosAA，sincosABAB，得到答案；（2）利用正弦定理sinsinaAbB得到 3 10a，利用余弦定理解出13c 【详解】(1)因为角C 为钝角，3sin5A ，所以24cos1 sin5AA，又1tan3AB，所以02AB，且13sin,cos1010

30、ABAB，所以sinsinsin coscos sinBAABAABAAB 3341155101010.(2)因为sin3 10sin5aAbB，且5b ，所以3 10a ，又9coscoscos cossin sin5 10CABABAB ，则22292cos95252 3 1051695 10cababC ，所以 13c .22（1）,()63kkkZ（2）3 32【解析】（1）利用降次公式、辅助角公式化简 f x解析式，根据三角函数单调区间的求法，求得 f x的单调递增区间.（2）先由12Af求得A，利用正弦定理得到2cb，结合余弦定理列方程，求得,b c，由此求得三角形ABC的面积.【详解】（1）函数2()2sin2 3sincos1,f xxxxxR，()3sin 2cos22sin(2)6f xxxx，由222,262kxkkZ，得,63kxkkZ.所以()f x的单调递增区间为,()63kkkZ.（2）因为()2sin()126AfA且A为锐角，所以3A.由sin2sinCB及正弦定理可得2cb，又3,3aA，由余弦定理可得2222222cos3abcbcAbcbcb，解得3,2 3bc，1133 3sin32 32222ABCSbcA.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.