北京市房山区2022届高三一模数学试题解析版.pdf

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1、试卷第 1 页，共 5 页 北京市房山区 2022 届高三一模数学试题 本试卷满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上 3非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回 一、单选题

2、1已知集合 A=2，1，0，1，2，22Bx x，则AB（）A2，1，0，1，2 B1，0，1 C2，2 D0，1 2在复平面内，复数 z对应的点的坐标为（2，1），则z z（）A5 B3 C54i D34i 3若0ab，且ab，则下列不等式一定成立的是（）A22ab B11ab C2baab D2abab 4若6axx的展开式中的常数项为20，则 a=（）A2 B2 C1 D1 5已知M为抛物线220 xpy p上一点，M到抛物线的焦点的距离为4，到x轴的距离为3，则p（）A12 B1 C2 D4 6数列 na是等差数列，若35a，1511109aa，则15a a（）试卷第 2 页，共 5

3、页 A92 B9 C10 D20 7大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为31log2100Qv，其中 Q表示鲑鱼的耗氧量，则鲑鱼以 1.5m/s 的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为（）A2600 B2700 C2 D27 8已知函数 22cos1f xx，则“Z4kk”是“f x为奇函数”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9已知直线 l被圆 C：222xy所截的弦长不小于 2，则下列曲线中与直线 l一定有公共点的是（）A21yx B2211xy C2212xy D221xy 10已知

4、U是非实数集，若非空集合 A1，A2满足以下三个条件，则称（A1，A2）为集合 U 的一种真分拆，并规定（A1，A2）与（A2，A1）为集合 U的同一种真分拆 A1A2=0 A1A2=U(1,2)iA i 的元素个数不是iA中的元素.则集合 U=1，2，3，4，5，6的真分拆的种数是（）A5 B6 C10 D15 二、填空题 11若双曲线22210 xyaa的一条渐近线方程为12yx，则a_.12函数 fx的图象在区间（0,2）上连续不断，能说明“若 fx在区间（0,2）上存在零点，则(0)(2)0ff”为假命题的一个函数 fx的解析式可以为 fx=_.13如图，正方体 ABCDA1B1C1D

5、1的棱长为 2，点 O 为底面 ABCD的中心，点 P在侧面 BB1C1C 的边界及其内部运动.给出下列四个结论：试卷第 3 页，共 5 页 D1OAC；存在一点 P，D1OB1P；若 D1OOP，则D1C1P面积的最大值为5；若 P 到直线 D1C1的距离与到点 B 的距离相等，则 P 的轨迹为抛物线的一部分.其中所有正确结论的序号是_.三、双空题 14已知a、b是单位向量，2cab且ac，则ab=_，c _.15将函数 sin 2f xx的图象向右平移6个单位长度后得到函数 g（x）的图象，g（x）=_；若 g（x）在区间0，m上的最小值为 g（0），m的最大值为_.四、解答题 16如图，

6、在三棱柱111ABCABC中，1BB 平面ABC，11ABBCBB (1)求证：AC平面11BAC；(2)若ABBC，求 1AA与平面11BAC所成角的正弦值；试卷第 4 页，共 5 页 直线AC与平面11BAC的距离.17在ABC 中，sincosbAaB.(1)求B的大小；(2)再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得ABC存在且唯一，求ABC 的面积 条作1cos2A ；条件2b；条件：AB 边上的高为62.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解答计分.18良好的生态环境是最普惠的民生福祉.北京市集中开展大气污染防止以来，在经

7、济快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降.2021 年经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得里程碎式突破.下表是 2021 年每个月空气质量优良和污染的天数统计.月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 合计 空气质量优良天数 24 18 11 27 23 21 26 29 27 29 23 30 288 空气质量污染天数 7 10 20 3 8 9 5 2 3 2 7 1 77 (1)从 2021 年中任选 1 天，求这一天空气质量优良的概率；(2)从 2021 年的 4 月、6 月和 9 月中各任选一天，设随机变量 X表示

8、选出的 3 天中质量优良的天数，求 X 的分布列；(3)在 2021 年的 1 月、3 月、5 月、7 月、8 月、10 月、12 月中，设空气质量优良天数的方差为21s，空气质量污染天数的方差为22s，试判断21s，22s的大小关系.（结论不要求证明）试卷第 5 页，共 5 页 19已知函数 lnexf xxa.(1)当0a 时，求曲线()yf x在1x 处的切线方程；(2)若()f x在区间（0，e存在极小值，求 a 的取值范围.20已知椭圆 C的离心率为32，长轴的两个端点分别为2,0A，2,0B.(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点1,0的直线与椭圆 C交于 M，N（不与 A，B重合）

9、两点，直线 AM与直线4x 交于点 Q，求证：MBNMBQBNSSBQ.21若无穷数列na满足如下两个条件，则称na为无界数列：0na（n=1，2，3.）对任意的正数，都存在正整数 N，使得na.(1)若21nan，2cos()nbn（n=1，2，3.），判断数列na，nb是否是无界数列；(2)若21nan，是否存在正整数 k，使得对于一切nk，都有12231.1nnaaanaaa成立？若存在，求出 k的范围；若不存在说明理由；(3)若数列na是单调递增的无界数列，求证：存在正整数 m，使得12231.1mmaaamaaa.答案第 1 页，共 18 页 参考答案：1B【解析】【分析】求出集合

10、A，B，由此能求出AB.【详解】因为集合 A=2，1，0，1，2，22=22Bx xxx，所以 AB 1，0，1.故选：B.2A【解析】【分析】直接写出复数,z z，再按照复数的乘法运算即可求得结果.【详解】由题意知，i22izz，2i524ii2z z.故选：A.3C【解析】【分析】取3,2ab 即可判断 A、B、D 选项是错误的，由基本不等式即可判断 C 选项是正确的.【详解】取3,2ab 满足0ab，且ab，此时22ab，A 错误；取3,2ab 满足0ab，且ab，此时11ab，B 错误；0,0baab可得22bab aaba b，C 正确；取3,2ab 满足0ab，且ab，此时2aba

11、b，D 错误.故选：C.4D 答案第 2 页，共 18 页【解析】【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求的展开式的常数项.【详解】已知6axx的展开式中的通项公式为：66 21rrrrTCax，令620r，求得：3r，可得展开式的常数项为：63320Ca=，解得：1a.故选：D.5C【解析】【分析】分析可知点M的纵坐标为3，由抛物线的定义可求得p的值.【详解】由题意可知点M的纵坐标为3，抛物线220 xpy p的准线方程为2py ，由抛物线的定义可得342p，解得2p.故选：C.6B【解析】【分析】由条件可得153210aaa，然后可得答案.【详解】因为数列 na是等差数列，35a，所以1

12、53210aaa，因为15151511109aaaaa a，所以159a a，故选：B 7D【解析】【分析】根据题中函数关系式，令0v 和1.5，分别求出对应的Q，即可得出结果.答案第 3 页，共 18 页【详解】解：因为鲑鱼的游速(单位：m/s)可以表示为31Qlog2100v，其中 Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数，当一条鲑鱼静止时，0v，此时13Q10log2100，则1Q1100，耗氧量为1100Q；当一条鲑鱼以1.5m/s的速度游动时，1.5v，此时31Q1.5log2100，所以3Qlog3100，则Q27100，即耗氧量为2700Q，因此鲑鱼以 1.5m/s 的速度游动时的耗氧量与静止

13、时的耗氧量的比值为2700=27100.故选：D.8A【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式以及已知条件求出，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】因为 22cos1cos 22f xxx，若函数 f x为奇函数，则2Z2kk，解得Z42kk，因为,Z42kk,Z4kk，因此，“Z4kk”是“f x为奇函数”的充分而不必要条件.故选：A.9C【解析】【分析】由题意知可以得到原点到直线的距离小于等于 1，即直线上有一点到原点的距离小于等于1，故直线l一定经过圆面221xy内的点，再画出图象，结合图象分析即可【详解】解：直线l被圆22:2C xy所截的弦长不小于 2，圆心(0,0)到直线l的距离

14、小于或等答案第 4 页，共 18 页 于 1，故直线l一定经过圆面221xy内的点，在平面直角坐标系中分别画出221xy，222111yxxy，、2212xy、221xy的图象如下所示：对于 A：对于 B：对于 C 答案第 5 页，共 18 页 对于 D：结合图象可知，在四个选项中只有这个点一定在椭圆2212xy内或椭圆2212xy上，l与椭圆一定有公共点 故选：C 10A【解析】【分析】由真分拆的定义及规定即可求解.【详解】解：由题意，集合 U=1，2，3，4，5，6的真分拆有125,1,2,3,4,6AA；121,4,2,3,5,6AA；123,4,1,2,5,6AA；124,5,1,2,

15、3,6AA；124,6,1,2,3,5AA，共 5 种，答案第 6 页，共 18 页 故选：A.112【解析】【分析】写出双曲线的渐近线方程，可求得a的值.【详解】双曲线22210 xyaa的渐近线方程为1yxa，所以，112a，解得2a.故答案为：2.1221x（答案不唯一）【解析】【分析】由题中命题为假命题，可知函数 fx满足在（0,2）上存在零点，且(0)(2)0ff，进而举例即可.【详解】函数 fx的图象在区间（0，2）上连续不断，且“若 fx在区间（0,2）上存在零点，则(0)(2)0ff”为假命题，可知函数 fx满足在（0,2）上存在零点，且(0)(2)0ff，所以满足题意的函数解

16、析式可以为 21fxx.故答案为：21x（答案不唯一）.13【解析】【分析】对于，连接11,AD CD，由三角形1ACD为等边三角形判读；对于，将 D1O 进行平移到过1B点，使之具有公共顶点，根据立体图像判断，无论如何也不可能满足 D1OB1P；对于，连 接1,OE EC BD D E，证明1DO 平面OEC，所以P在线段EC上运动，当点P到点E位置时，1C P最大，此时11DC P面积最大为：max12552S.答案第 7 页，共 18 页 对于，P到直线 D1C1的距离为线段1PC的长度，所以1=PCPB，判定出 P点位置即可.【详解】对于，连接11,AD CD，由正方体的性质知三角形1

17、ACD为等边三角形，由于O为底面ABCD的中心，故为AC中点，故1ACDO，正确；对于，将 D1O 进行平移到过 B1点，使之与 B1P 具有公共顶点，根据立体图像判断，无论如何也不可能满足1B H平行或重合于 B1P，所以 D1O 不可能平行于1B H，错误；对于，取 B1B的中点 E，连 接1,OE EC BD D E，证明1DO 平面OEC，所以P在线段EC上运动，当点P到点E位置时，1C P最大，此时11DC P面积最大为：max12552S.所以正确.对于，P到直线 D1C1的距离为线段1PC的长度，所以1=PCPB，判定出 P点位置为直线1BC的垂直平分线，故错误.故正确的序号是:

18、.故答案为:.14 12#0.5 3【解析】【分析】由已知可得出0a c，可求得a b的值，利用平面向量数量积的运算性质可求得c的值.【详解】答案第 8 页，共 18 页 因为2cab且ac，则222120a caabaa ba b，可得12a b，2222124414432cabaa bb ，故3c.故答案为：12；3.15 sin 23x 56【解析】【分析】利用函数sinyA x的图象变换规律求得 g（x）的解析式；再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论.【详解】将函数 sin 2f xx的图象向右平移6个单位长度后得到函数 g（x）的图象，则 sin2sin 263g xxx.则在区间

19、0，m上，2,2333xm，要使 g（x）在区间0，m上的最小值为 g（0），则42333m，解出506m.则 m 的最大值为56.故答案为：sin 23x；56.16(1)证明见解析；(2)33；33.【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理，主要证明11ACAC即可；（2）建立坐标系，先求出平面11BAC的法向量，利用空间向量解决.(1)在三棱柱111ABCABC中，四边形11AACC为平行四边形.所以11ACAC，因为AC 平面11BAC，11AC 平面11BAC，所以AC平面11BAC.(2)因为1BB 平面ABC，,AB BC 平面ABC，所以1BB AB，1BB BC，又AB

20、BC，答案第 9 页，共 18 页 所以1,AB BC BB两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系Bxyz，则111(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1),(1,1,0),(0,0,0)ABCAB，所以1(1,1,0)BA，1(0,1,1)BC，1(0,1,0)AA，设平面11BAC的法向量为,nx y z，则 1100n BAn BC，即00 xyyz 令1x，则1y ，1z，于是(1,1,1)n.设直线1AA与平面11BAC所成的角为，则 112212|0,1,0)1,1,1|3sincos,31111AA nAA nAA n.所以1AA与平面11BAC所成角的正弦值为33.因为AC

21、面11BAC，所以直线AC与平面11BAC的距离就是点A到平面11BAC的距离 设 A 到面11BAC的距离为h，则1|0,1,0)1,1,1|333AA nhn 17(1)45B(2)334【解析】【分析】（1）由正弦定理可得：sinsinsincosABAB，从而得到tan1B，得出答案.（2）选择条件，ABC存在且唯一.由1cos2A 得出A，由正弦定理sinsinabAB及答案第 10 页，共 18 页 2b 解出3a.方法 1：由两角差的余弦公式求出sinC，最后由面积公式计算即可.方法 2：由余弦定理求出c，最后由面积公式计算即可.选择，ABC存在且唯一.由1cos2A 得出A，因

22、为 AB边上的高为62，所以得出b，再由正弦定理求出解出3a，以下与选择条件相同.(1)由正弦定理sinsinabAB及sincosbAaB.得sinsinsincosABAB，因为sin0B，所以tan1B 因为0180B，所以45B.(2)选择条件，ABC存在且唯一，解答如下：由1cos2A ，及0135A，得120A.由正弦定理sinsinabAB及2b 得2sin120sin45a，解得3a.方法 1：由180ABC，得15C sinsin15sin 4530C sin 45cos30cos 45sin30 232162222244.所以116233sin322244ABCSabC.方

23、法 2：由余弦定理2222cosabcbcA，得21322 22cc 即2210cc，解得622c 所以1162233sin322224ABCSacB 选择，ABC存在且唯一，解答如下：由1cos2A ，及0135A，得120A.答案第 11 页，共 18 页 因为 AB 边上的高为62，所以622sin32hbA.由正弦定理sinsinabAB及2b，得2sin120sin45a，解得：3a.（以下与选择条件相同）18(1)288365(2)分布列见解析(3)2212ss【解析】【分析】（1）根据统计数据可直接求解；（2）X的所有可能取值为 0，1，2，3.再根据相互独立求出每一种情况下的概

24、率，从而可得分布列；（3）这些月份的和为定值 31，这两个量的方差相等.(1)记事件 A 为“从 2021 年中任选 1 天，这一天空气质量优良”，由统计数据可知 288365P A；(2)X 的所有可能取值为 0，1，2，3.方法 1：记事件 B为“从 4 月任选 1 天，这一天空气质量优良”，事件 C 为“从 6 月任选 1天，这一天空气质量优良”，事件 D 为“从 9 月任选 1 天，这一天空气质量优良”.由题意知，事件 B，C，D相互独立，且 2793010P BP D，2173010P C，所以 131301010101000P XP BCDP B P C P D，1()()()()

25、P XP BCDBCDBCDP B P C P DP B P C P DP B P C P D931171139611010101010101010101000，答案第 12 页，共 18 页 2()()()P XP BCDBCDBCDP B P C P DP B P C P DP B P C P D9719391793691010101010101010101000，97956731010101000P XP BCDP B P C P D.所以 X的分布列为：X 0 1 2 3 P 31000 611000 3691000 5671000 方法 2：3 9 33030 30 301000P

26、X 27 9 33 21 33 9 2761130 30 301000P X 2721 327 9 273 21 27369230 30 301000P X 2721 27567330 30 301000P X 所以 X的分布列为：X 0 1 2 3 P 31000 611000 3691000 5671000 (3)2212ss.19(1)e1yx(2)11,1e【解析】【分析】（1）由0a，得到 2lne(0)f xxx，求导，从而得到 1f，1f，写出切线方程；（2）求导 1lnexfxxax，令 1lng xxax，0,ex，易得函数 g x在区间答案第 13 页，共 18 页（0，e

27、上的最小值为 11ga，方法 1：分1a，111ea，11ea 讨论求解；方法 2：根据 f x在区间（0，e上存在极小值，由 100gg e求解.(1)当0a 时，lne(0)xf xxx，则 1lnexfxxx，所以 1ef，10f，所以曲线 yf x在1x 处的切线方程为e1yx；(2)11elnelnexxxfxxaxaxx，令 1lng xxax，0,ex，则 22111xgxxxx，解 0gx，得1x，g x与 g x的变化情况如下：x（0，1）1（1，e）g x 0+g x 极小值 所以函数 g x在区间（0，e上的最小值为 11ga，方法 1：当1a时，110ga.所以 0g

28、x 恒成立，即 0fx恒成立，所以函数 f x在区间（0，e上是增函数，无极值，不符合要求，当111ea 时，因为 110ga，1e10ega，答案第 14 页，共 18 页 所以存在 01,ex，使得 00g x x（1，0 x）0 x（0 x，e）()()g xfx 0+()f x 极小值 所以函数 f x在区间（1，e）上存在极小值 0f x，符合要求，当11ea 时，因为 1e10ega 所以函数 f x在区间（1，e）上无极值.取10,1exa，则1eln1e11e20egaaaaaaaa 所以存在 00,1x，使得 00g x 易知，0 x为函数 f x在区间（0，1）上的极大值点

29、.所以函数 f x在区间（0，e）上有极大值，无极小值，不符合要求 综上，实数 a的取值范围是11,1e.方法 2：“f x在区间（0，e上存在极小值”，当且仅当 100gg e，解得111ae.证明如下：当111ea 时，因为 100gg e，所以存在0 x，使得 00g x x（1，0 x）0 x（0 x，e）()()g xfx 0+()f x 极小值 答案第 15 页，共 18 页 所以函数 f x在区间（1，e）上存在极小值.所以实数 a 的取值范围是11,1e.【点睛】方法点睛：本题第二问()f x在区间（0，e是否存在极小值，转化为()0fx有不等零点且左负右正求解.20(1)22

30、14xy(2)证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得2a，再根据离心率求出c，最后根据222abc，求出b，即可求出椭圆方程；（2）设直线 l的方程为1xmy，11,M x y，22,N xy，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，在表示出直线AM的方程，即可求出Q点坐标，再表示出NBk、BQk，即可得到NBBQkk，即N、B、Q三点共线，即可得证；(1)解：由长轴的两个端点分别为2,0A，2,0B，可得2a，由离心率为32，可得32ca，所以3c，又222abc，解得1b，所以椭圆 C的标准方程为2214xy；(2)解：设直线 l的方程为1xmy，由22114xmyxy得224230m

31、ymy 设11,M x y，22,N xy，则12224myym，12234y ym 答案第 16 页，共 18 页 所以112AMykx，直线AM的方程为1122yyxx，所以1164,2yQx 所以2222022NByykxx，1111110466223222BQyyxxyxk 所以21122112212121212323313222222NBBQyxyxymyymyyykkxxxxxx 12122123022my yyyxx，即NBBQkk，所以N、B、Q三点共线，所以MBNMBQBNSSBQ；21(1)na是无界数列；nb不是无界数列.(2)存在，(4)k k (3)证明见解析【解析】

32、【分析】（1）对任意的正整数，取N为大于2的一个偶数，有21212NaN ，符合无界数列的定义；取=3，显然2cos()3nbn，不符合无界数列的定义.（2）讨论=1n，=2n，=3n都不成立，当4n 时，将12231.1nnaaanaaa变形为：3211221231231nnnnnaaaaaaaaanaaaaaa，从而求得 k的范围.（3）观察要证的不等式结构与（2）相似，故应用（2）变形后，再由na是单调递增的无界正数列证明.(1)na是无界数列，理由如下：对任意的正整数，取N为大于2的一个偶数，有21212NaN ，所以na是无界数列.nb不是无界数列，理由如下：答案第 17 页，共 1

33、8 页 取=3，显然2cos()3nbn，不存在正整数N，满足3Nb，所以nb不是无界数列.(2)存在满足题意的正整数 k，且4k.当=1n时，122=05aa，不成立.当=2n时，231235+157aaaa，不成立 当=3n时，323124357+2579aaaaaa，不成立 当4n 时，将12231.1nnaaanaaa变形为：3211221231231nnnnnaaaaaaaaanaaaaaa 22222221572357911n.即取4k，对于一切nk，有122311nnaaanaaa成立.(3)因为数列na是单调递增的无界数列，所以0na，121nnaaaa 所以321122123

34、1231nnnnnaaaaaaaaanaaaaaa 32111211111111nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa.即12123111nnnaaaanaaaa 因为na是无界数列，取12a，由定义知存在正整数1N，使1112Naa所以111212311NNaaaNaaa.由定义可知na是无穷数列，考察数列11Na，12Na，13Na，显然这仍是一个单调递增的无界数列，同上理由可知存在正整数2N，使得 1111221221231+11NNNNNNaaaNNaaa.故存在正整数2N，使得 答案第 18 页，共 18 页 1111221112121212312311+11+NNNNNNNNaaaaaaNNNaaaaaa21N.故存在正整数2mN，使得122111mmaaamaaa成立